1、2020全国高中物理学奥林匹克竞赛人大附中竞赛班辅导讲义（含物理竞赛真题练习）物理竞赛中的数学知识 当系统各部分的宏观物理性质如密度当系统各部分的宏观物理性质如密度、温度或温度或流速不均匀时，系统就处于非平衡态流速不均匀时，系统就处于非平衡态.在不受外界在不受外界干扰时干扰时,系统总是要从非平衡态自发地过渡到平衡系统总是要从非平衡态自发地过渡到平衡态态.这种过渡称为这种过渡称为输运过程输运过程.气体气体的输运过程的输运过程输运过程有三种输运过程有三种热传导、扩散、内摩擦热传导、扩散、内摩擦.molMRTv60.1 氮气分子在氮气分子在270C时的时的平均速率为平均速率为476m.s-1.矛盾矛
2、盾气体分子热运动平均速率高，气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出克劳修斯指出：气体分子的速度：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。路程非常曲折。气体分子气体分子平均速率平均速率一、平均碰撞频率和平均自由程一、平均碰撞频率和平均自由程AB 在相同的在相同的 t时间内，分子由时间内，分子由A到到B的位移大小比它的路程小得多的位移大小比它的路程小得多扩散速率扩散速率(位移量位移量/时间
3、时间)平均速率平均速率(路程路程/时间时间)分子分子自由程自由程:气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子分子碰撞频率碰撞频率:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。假假定定每个分子都是有效直径为每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。的弹性小球。只有某一个分子只有某一个分子A以平均速率以平均速率 运动，运动，其余分子都静止。其余分子都静
4、止。v平均碰撞次数平均碰撞次数A dddvv运动方向上，以运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将为半径的圆柱体内的分子都将与分子与分子A 碰撞碰撞球心在圆柱球心在圆柱体内的分子体内的分子一秒钟内一秒钟内:分子分子A经过路程为经过路程为v相应圆柱体体积为相应圆柱体体积为vd2 圆柱体内圆柱体内分子数分子数nvd2 nvdZ2 一秒钟内一秒钟内A与其它分子与其它分子发生碰撞的发生碰撞的平均次数平均次数A dddvvnvdZ2 一切分子都在运动一切分子都在运动nvdZ22 一秒钟内分子一秒钟内分子A经过路程为经过路程为v一秒钟内一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数与其它分子发生碰撞的平均次
5、数Z平均自由程平均自由程ndZv221 与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比nkTp pdkT22 当温度恒定时当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比平均自由程与气体压强成反比平均自由程平均自由程在标准状态下，几种气体分子的平均自由程在标准状态下，几种气体分子的平均自由程气体气体)(m)(md氢氢 氮氮 氧氧 空气空气71013.1 710599.0 710647.0 8100.7 101030.2 101010.3 101090.2 101070.3 例例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞频率
6、。取分子的有效直径均碰撞频率。取分子的有效直径d=3.5 10-10m。已知。已知空气的平均分子量为空气的平均分子量为29。（18联赛模拟）联赛模拟）解：解：已知已知mdPaatmpKT105105.3,10013.10.1,273 pdkT22 m851023109.61001.1)105.3(14.341.12731038.1 空气摩尔质量为空气摩尔质量为29 10-3kg/mols/mMRTvmol4488 198105.6109.6448 svz 空气分子在标准状态下空气分子在标准状态下的平均速率的平均速率二、二、三种输运过程三种输运过程1.内摩擦内摩擦流体内各部分流动速度不同时流体内
7、各部分流动速度不同时,就发生就发生内摩擦现象内摩擦现象.相邻流体层之间由于速度不同引起的相互作用力称相邻流体层之间由于速度不同引起的相互作用力称为为内摩擦力内摩擦力,也叫也叫粘滞力粘滞力.0uxz)(zuu fdfd dS0zo0 uABL流体沿流体沿x方向流速是方向流速是z的函数的函数流速梯度流速梯度dzdu沿沿z方向所出现的方向所出现的流速空间变化率流速空间变化率。粘滞力的大小与两部分粘滞力的大小与两部分的接触面的接触面dS和截面所在和截面所在处的流速梯度成正比处的流速梯度成正比。dSdzdudfz0 内摩擦系数或粘度内摩擦系数或粘度,恒为正值恒为正值.2.热传导热传导(heat cond
8、uction)当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从温度较高的地方传递到温度较低的地方，由于温差温度较高的地方传递到温度较低的地方，由于温差而产生的热量传递现象。而产生的热量传递现象。0uxz)(zuu fdfd dS0zo0 uABL1Txz)(zTT 0zoAB)(12TT dSdQ温度梯度温度梯度dzdT表示流体中温度沿表示流体中温度沿z轴轴方向的空间变化率。方向的空间变化率。在在dtdt时间内，从温度较高的一侧，通过这一平时间内，从温度较高的一侧，通过这一平面向温度较低的一侧所传递的热量，与这一平面所面向温度较低的一侧所传递的热量，与这一平面所
9、在处的温度梯度和面积元成正比在处的温度梯度和面积元成正比热导率热导率恒为正值恒为正值 能量流动方能量流动方向与温度梯向与温度梯度方向相反度方向相反dSdtdzdTKdQz0 3.扩散扩散(diffusion)物体内各部分的密度不均匀时，由于分子的热物体内各部分的密度不均匀时，由于分子的热运动，从而引起质量从密度大的区域向密度小的区运动，从而引起质量从密度大的区域向密度小的区域迁移的现象。域迁移的现象。密度梯度密度梯度dzd 表示气体的密度沿表示气体的密度沿z 轴方向轴方向的空间变化率。的空间变化率。在在dtdt时间内，通过时间内，通过dSdS传递的质量传递的质量dSdtdzdDdMz0 xz0
10、zodSdM1 2 21 )(z 扩散系数扩散系数 D减小的方向减小的方向表示扩散总沿表示扩散总沿 dSdtdzdDdMz0 三三、输运过程的微观解输运过程的微观解释释0uxz)(zuu f df d dS0zo0 uABL1.1.气体的内摩擦现象气体的内摩擦现象在微观上是分子在热运动在微观上是分子在热运动中的中的输运定向动量输运定向动量的过程的过程.也就是分子在热运动也就是分子在热运动中中通过通过dSdS面交换定向动量面交换定向动量的结果的结果.可认为气体处于平衡态可认为气体处于平衡态宏观流速宏观流速uv分子热运动平均速率分子热运动平均速率vu 如果如果在在dtdt时间内从下向上垂直越时间内
11、从下向上垂直越过过dSdS面的面的平均气体分子数平均气体分子数:dSdtvn61分子数密度分子数密度n根据分子热运动的各向同性根据分子热运动的各向同性,总分子中平均有总分子中平均有 的分子的分子从下向上垂直越过从下向上垂直越过dSdS面面.61它们离它们离dSdS面的平均距离为平均自由程面的平均距离为平均自由程 ,所以所以 在在dtdt时间内时间内,由于分子热运动由于分子热运动从下向上从下向上带过带过dSdS面的定向动量等于分子处于面的定向动量等于分子处于 的定向动量的定向动量 0z这些分子是经过最后一次碰撞越过这些分子是经过最后一次碰撞越过dSdS面的面的,0uxz)(zuu f df d
12、dS0zo0 uABL0uxz)(zuu f df d dS0zo0 uABL 0z处的定向动量处的定向动量同理同理,在在dtdt时间内时间内,由于分子热运动由于分子热运动从上向下从上向下带过带过dSdS面的定向动量面的定向动量 0611zdSdtmuvndp 0612zdSdtmuvndp可得可得dSdS面上方气体的定向动量增量面上方气体的定向动量增量)(610021 zzuudSdtmvndpdpdp0002zzzdzduuu 又又 031zdzdudSdtvnmdp 故故0uxz)(zuu f df d dS0zo0 uABL 031zdzdudSdtvnmdp dtdpdf 内摩擦力内
13、摩擦力 031zdzdudSvnmdf 031zdzdudSv dSdzdudfz0 又又 v31 粘度粘度2.2.气体内的热传导气体内的热传导在微观上是分子在热运动中在微观上是分子在热运动中的的输运热运动能量输运热运动能量的过程的过程.热导率热导率VCvk 31 VC气体定容比热气体定容比热3.3.气体内的扩散气体内的扩散在微观上是分子在热运动中在微观上是分子在热运动中输输运质量运质量的过程的过程.扩散系数扩散系数 vD31 mkTv 8 pdkT22 温度越高温度越高,气压越低气压越低,扩散进行得越快扩散进行得越快.在其它条件相同时在其它条件相同时,分子量小的扩散得快分子量小的扩散得快.热导率热导率VCvk 31 扩散系数扩散系数 vD31 v31 粘度粘度1 VCkD
