1、第第 3 3次课卫星的运动次课卫星的运动测量与导航工程系导航与定位教研室陈明剑1本次课主要内容本次课主要内容l重点：重点：二体问题微分方程及其解二体问题微分方程及其解 l难点：难点：二体问题微分方程推导二体问题微分方程推导2基础知识基础知识lKepler第一定律椭圆率第一定律椭圆率 每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。椭圆的一个焦点上。lKepler第二定律面积率第二定律面积率 由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的面积过相等的面积lKepler第三定律周期律第三定律周期律 行星绕太阳公转的
2、周期行星绕太阳公转的周期T的平方与椭圆轨道的平方与椭圆轨道的长半径的长半径a的立方成正比的立方成正比3l牛顿第一运动定律牛顿第一运动定律 任一物体将保持其静止或是匀速直线运动的状态，除非有作用在物体上的力迫使其改变这种状态。l牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作用力的方向相同l牛顿第三运动定律牛顿第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的反作用()dFmvmvmrdt4RjjjtCZZYYXX222)()()(56一、研究二体问题的目的意义(The Purpose of Studying Two-Body Problem)73ingnnininiinGmm
3、Frrrrr 31njgijijjij imFGmrr gFFF总其他()dFmvmvmrdtiiiiFmrrmm总31njijijjijimrGrr 2112rrr2112212133332121()()njjjjjjrrG mmrrGmrrr 8二体问题二体问题 在天文学中，根据牛顿万有引力定在天文学中，根据牛顿万有引力定律研究空间两个天体（看成质点）在相律研究空间两个天体（看成质点）在相互引力作用下的运动规律问题。互引力作用下的运动规律问题。9如何确定卫星位置（如何定轨）(How to Get the Satellite Position)l分析卫星的受力情况分析卫星的受力情况l根据受力
4、情况，列出运动的微分方程根据受力情况，列出运动的微分方程 mFXmFa 10l解方程解方程数值法：利用计算机，对微分方程进行数值积分，直接解出某一时刻卫星的位置和速度。l优点：便于实现，精度高，现已广泛应用于精密定轨；l缺点：不能给出解析解，不便于分析卫星的运动规律。解析法：以卫星的受力解析为基础，依据牛顿第二定律（或物体的微分运动方程），推导出与卫星运动相关的参数，这是在计算机出现之前唯一的方法。l优点：便于分析卫星的运动规律；l缺点：分工推导繁琐，难以得到完整严密的运动方程的解，精度不高。111、卫星的受力情况、卫星的受力情况 地球的引力地球的引力 日月引力日月引力 潮汐力潮汐力 大气阻力
5、大气阻力 光压力光压力 12地球的引力分为两部分地球的引力分为两部分 均质球体引力均质球体引力非均匀球形部分引力非均匀球形部分引力13l卫星围绕着地球运行，作二体问题研究，必须满足以卫星围绕着地球运行，作二体问题研究，必须满足以下条件：下条件：必须在惯性系下考虑问题。卫星作为质点。卫星的体积小，与其到地球的距离相比，可忽略不计，即卫星可作为质点计。地球作为质点。地球可分成均质地球和非均质地球两部分。均质地球对外部点的引力等于球心的质点的引力。因此，如果把非均质地球的引力作为摄动力的话，均质地球可作为一个质点。142、目的意义、目的意义均质球体均质球体引力决定着卫星运动的主要规律和特征，引力决定
6、着卫星运动的主要规律和特征，它是卫星运动的近似描述；它是卫星运动的近似描述；二体问题是惟一能得到严密解的问题，而多体问二体问题是惟一能得到严密解的问题，而多体问题还不能得到严密解；题还不能得到严密解；二体问题是精确研究卫星运动的基础。二体问题是精确研究卫星运动的基础。153rrr 000333rZZrYYrXX 二、微分方程的解（面积积分）二、微分方程的解（面积积分）163rrr 3rrrrr 0rr0rr 0)(22rrrrdtrdrrdtrddtrrd 17CBAhZYXZYXkjirrCYXYXBXZXZAZYZYAX+BY+CZ=0 18hehhhChBhAeh/CBAhZYXZYXk
7、jirr19he3arccos()hiXearctan()AB 20 iiiiRRhChBhAcoscossinsinsin100)()(/13h为单位时间矢径所扫过面积的2倍21Odrdrr rer2223二、二、微分方程的解微分方程的解 1.面积积分面积积分),(ih的物理意义更明显),(ih 三个积分常量确定了卫星运行轨道是在三个积分常量确定了卫星运行轨道是在一个平面上一个平面上？这个轨道的形状是什么，又这个轨道的形状是什么，又有什么特性。有什么特性。242.轨道积分（轨道椭圆参数）轨道积分（轨道椭圆参数）OYX轨道nrVVV25OYX轨道rdtdrVVVrdtdrVVVnnrrsinc
8、os26)()(3rrVrrh rVrr)(3 )(3Vrrr )()(3rrVVrrr cos23rVrVrr 23rrrrrr2rrrrr)(rrdtd高数矢量知识：高数矢量知识：cabba)(acbbcacba)()()(27)(rrdtd)()(Vhdtdrhdtdrh rh)()(rrdtdVhdtd0)(rrVhdtdh为常量280rrVh0)()(rrrrVhr0)cos()(2rrrrVh0cos)(frrhh)()()(acbbaccba292)cos(hfrfePfhrcos1)cos1(2ehP;20cos)(frrhh30AN：升交点PS123椭园长轴线当of0ePrr
9、1min，此时r对应的点称作近地点0f。为升交点至近地点之间的夹角，称作近升角距。31l通过面积积分和轨道积分，共获取了通过面积积分和轨道积分，共获取了5个描述个描述轨道状态的参数轨道状态的参数,i确定了轨道平面在地心坐标系中的位置 ea,确定了轨道的形状 确定了轨道中短半轴在坐标系中的指向 323.卫星的平均角速度卫星的平均角速度 l卫星在各个位置上的速度是不同的。在近地点卫星在各个位置上的速度是不同的。在近地点速度最大，在远地点速度最小。速度最大，在远地点速度最小。hdtdAdtdAh212habT22222112enaTeahTn2n332222112enaTeah)1(22eahP32
10、an给定的椭圆的长半轴,平均角速度是常量，不随时间变化 344.几种近地点角的关系几种近地点角的关系辅助圆轨道QPANOSSXY35)cos1(sin1sinsin)(coscos222EeayxrEeaEbfryeEafrx辅助圆轨道QPANOSSXYEeEefEeeEfcos1sin1sincos1coscos2362)1()1()cos1)(1()cos1)(1(coscos1coscos1cos1cos1222EtgeeEeEeeEEeeEEeffftg2)1()1(2Etgeeftg375.开普勒积分开普勒积分hfrhrf22dfhrdt2EeeEreEafeEafrcos1cos)
11、(coscos)(coscos38EeeEreEafeEafrcos1cos)(coscos)(coscosdEEeedfeEeearfEEeafrEeEdEefdfEeEdEeeEEeEdEfdfcos111cos11sinsinsin1sin)cos1(sin)1(sin)cos1(sin)(cos)cos1(sinsin2222222求导39dEnEedtdEEeeenaEeaaneahEeardfhrdt)cos1(cos111)cos1(),)1(),cos1(,222223222dEEeedfcos11240tEndtdEEe0)cos1(MtnEeE)(sin它给出了偏近地点E和
12、时间t之间的关系，而偏近地点E和卫星的径向距离r又有关系。开普勒方程也间接地给出了r和t之间的关系)cos1(EearM以平均角速度以平均角速度n随时间随时间t作线性作线性变化，故称之变化，故称之为平近地角为平近地角 416.开普勒方程的解开普勒方程的解EeMEsin迭代法迭代法微分改正法微分改正法42迭代法迭代法iiEeMEEeMEMEsinsin1010iiEE1E和M都以弧度为单位 43微分改正法微分改正法当偏心率e较大时，迭代法的收敛速度就会很慢，此时可 考虑采用微分改正法，对开普勒方程取微分，可得：MEEe)sin1(EeMEsin144四、能量积分和活力积分四、能量积分和活力积分1
13、.速度关系速度关系rrrrr 3)2()(21)(2122vdtdvdtdrrdtdrr dtdrrrdtdrrdtdrr)(21)(21245)()2(232rdtdrrdtdrrrvdtdrr Krv22积分222)(rrv)2()(21)(2122vdtdvdtdrrdtdrr dtdrrrdtdrrdtdrr)(21)(212460)1(0ear0)cos(1)sin()1(22200rheeeadtdddrrrr 取卫星过近地点的位置，则有：)1()1()1()1()(222202200eaeeaearhr47akeaev2)1()1(20)12(2arvKrv2248五、轨道根数的
14、物理意义ZYXOSNf近地点i，ae0M轨道平面倾角 升角点赤经 轨道椭圆长半轴 轨道椭圆偏心率 近升距，即升交点至近地点的角距 卫星过近地点时刻 卫星过近地点的角度 49对于近圆轨道：Meeia,sin,cos,50近点角与时间的关系近点角与时间的关系)(tnMndtdM EeEMsin )cos1(Eear dEardM)cos1(cos1)1(2EeafeeadfeardE21fefeEfeefEEeEefEeeEfEearEeafryeEafrxcos1sin1sincos1coscoscos1sin1sincos1coscos)cos1(sin1sin)(coscos22251卫星运
15、动的基本关系式卫星运动的基本关系式 feearcos1)1(2)12(2arv轨道方程 速度公式)(sin2112sin1sin)(coscos)cos1(322tnEeEanEtgeeftgEeafreEafrEear几何关系 52l思考题：思考题：1.根据上课内容推导出六个轨道参数。根据上课内容推导出六个轨道参数。2.推导活力公式。推导活力公式。3.3.推导真近点角和偏近点角关系推导真近点角和偏近点角关系53第二节第二节 二体问题的卫星星历计算二体问题的卫星星历计算二体问题的星历计算：二体问题的星历计算：已知卫星的轨道根数，按二体问题公式计已知卫星的轨道根数，按二体问题公式计算任意时刻卫星
16、的位置。算任意时刻卫星的位置。54一、卫星的瞬时位置一、卫星的瞬时位置 l在轨道直角坐标系中卫星的位置在轨道直角坐标系中卫星的位置OSr0sin)1(cos0sincos2EeeEaffrzyxEeMEsin55l天球坐标系中的位置天球坐标系中的位置313)()()(zyxRiRRzyx0sin)1()(cos)()()(2EeaeEaRiRRrZXZ56l卫星在地球坐标系中的位置卫星在地球坐标系中的位置 在精密定轨中，所求定的瞬时轨道根数目前在精密定轨中，所求定的瞬时轨道根数目前均采用均采用J2000.0 惯性坐标系惯性坐标系。卫星位置向量需先考虑岁差章动的影响先转卫星位置向量需先考虑岁差章
17、动的影响先转换到瞬时真天球坐标系中换到瞬时真天球坐标系中 57l但在实际应用中，由但在实际应用中，由GPS导航电文中一组轨道导航电文中一组轨道根数，按上面公式求得的结果已相应于瞬时天根数，按上面公式求得的结果已相应于瞬时天球系中的位置向量，因此，为转换到瞬时地球球系中的位置向量，因此，为转换到瞬时地球坐标系，只须绕坐标系，只须绕Z轴旋转该时刻的轴旋转该时刻的GAST(t)：zyxtGASTRZYX)(358l协议地球坐标系：协议地球坐标系：ZYXyRxRZYXppCTS)()(1259二、卫星的运行速度二、卫星的运行速度 0cos)1(sin22EeErnazyx1.轨道直角坐标系中轨道直角坐
18、标系中rnaEenEcos10sin)1(cos0sincos2EeeEaffrzyx60l天球坐标系中天球坐标系中313)()()(zyxRiRRzyx61l地球坐标系中地球坐标系中zyxtGASTRzyxttGASTRZYX)()(33eWSTAGzyxtGASTRzyxtGASTtGASTtGASTtGAST)(0000)(sin)(cos0)(cos)(sin3=62二、轨道计算二、轨道计算l由由 求取轨道根数求取轨道根数 rr,1计算计算,iihihihCBArrhcoscossinsinsin)()(1221BAtgCBAtgi63l2计算计算)(,Mea由活力公式：)12(2ar
19、v11222rrrvra64由方程)cos1(Eear，得：arEe1cosarrEeraEerEnaernaEaedtdEEaercoscoscoscoscos2)cos()sin()cos()sin(122EeEetgEEeEee65l进一步，有：进一步，有：nMtEeEMsin66l计算计算ifriffriffrzyxrsin)sin(cos)sin(cos)cos(sincos)sin(sin)cos(cosfyxiztgyxizftgsincossinsincossin)(167l由由 求取轨道根数求取轨道根数 21,rr1.计算计算)(,12ffiiiiffrrhffrrCBArr
20、coscossinsinsin)sin()sin(12210122121irrCffBAtgCBAtgicos)sin()()(2112122168l用面积比法求半通径用面积比法求半通径P（扇形面积与三角形面扇形面积与三角形面积之比）积之比）22121222221)()(sinyttffrrP69l计算计算fe,fePrcos11)cos(1)cos(2211rPferPfe)sin(cos)sin(cos)sin()sin(sin)sin(122121121211fffefffefffffefe2121)cos()sin(fefee70l计算计算M,ifriffriffrzyxrsin)si
21、n(cos)sin(cos)cos(sincos)sin(sin)cos(cosfyxiztgyxizftgsincossinsincossin)(171)211(21ftgeetgEnMtEeEMsin72l计算题：计算题：已知卫星轨道根数如下，计算卫星在已知卫星轨道根数如下，计算卫星在ti 9：00时的位置时的位置 a=9 600 000 000km e=0.01=100.000 000 0 =50.000 000 0 i=30.000 000 0 t0=8:00:00GM=3.986005 x 1014 m3/s273第三节卫星的受摄运动第三节卫星的受摄运动l一、受摄运动及其微分方程一、
22、受摄运动及其微分方程 实际上，卫星在运动中所受到的力要复杂的多：除了二体问题所考虑的正球引力外，还受到诸如地球引力的非质心引力部分、大气阻力、日月引力、光幅射压力和非惯性坐标系的惯性力等。74szszsysysxsxmfmFzmfmFymfmFx 75二、受摄运动的微分方程二、受摄运动的微分方程1.拉格朗日行星运动方程拉格朗日行星运动方程 zRzrzyRyryxRxrx333 76 参数变易法解得到以二体问题的椭圆轨道根数为基本参数变易法解得到以二体问题的椭圆轨道根数为基本变量的受摄运动方程：变量的受摄运动方程：eRenaeaRnadtdMiRenactgieRnaedtdiRienadtdR
23、ienaRenactgidtdiRenaeMRnaedtdeMRnadtda22022222222222202201211sin11sin111112772.UNW型（牛顿受摄运动方程）型（牛顿受摄运动方程）沿卫星运动方向的加速度沿卫星运动方向的加速度U，沿主法线方向沿主法线方向的加速度的加速度N和沿与前二方向成右手系的方向的和沿与前二方向成右手系的方向的加速度加速度W。主要用于计算大气阻力的摄动和光压摄动。主要用于计算大气阻力的摄动和光压摄动。78三、摄动力表达式三、摄动力表达式大地重力学知道，用球函数表示地球引力为大地重力学知道，用球函数表示地球引力为：)sincos()()(cos)(2
24、12nnmmnmnmnmnennnnemSmCPraPJrarGMrGMV79l四、实际解决方案四、实际解决方案 1.多普勒星历多普勒星历2.预报星历。拟合前预报星历。拟合前36个小时平均椭圆参数个小时平均椭圆参数，外推出，外推出16个小时，每个小时，每2分钟加入摄动改正。分钟加入摄动改正。l星历分成两部分：星历分成两部分：固定参数：经过平滑的椭圆轨道。固定参数：经过平滑的椭圆轨道。可变参数：每两分种播发一次，对平均轨道可变参数：每两分种播发一次，对平均轨道改正改正80iiaentgpsin,cos,固定参数：可变参数：E偏近角改正 a长半轴改正 垂直轨道面摄动分量 81l2.GPS星历星历采
25、用的方法很多，有时间的多项式，调采用的方法很多，有时间的多项式，调和展开式，开普勒根数加上摄动改正。和展开式，开普勒根数加上摄动改正。GPS采用最后一种。采用最后一种。82oetMiea,0 1小时更新率，参考时刻居中，小时更新率，参考时刻居中，这样精度高，参数少。这样精度高，参数少。usucCC,星升距的余弦、正弦调合改正项的振幅星升距的余弦、正弦调合改正项的振幅rsrcCC,矢径的余弦、正弦调合改正项的振幅矢径的余弦、正弦调合改正项的振幅 isicCC,倾角的余弦、正弦调合改正项的振幅倾角的余弦、正弦调合改正项的振幅83void satpos(double*eph,double Ttr,double*Trel,double*X)/*IN:ephemeris eph*/*IN:satellite GPS time Ttr*/*OUT:relativistic correction termTrel*/*OUT:satellite position X*/double M0,dn,ec,A,W0,i0,w,Wdot,Cuc,Cus,Crc,Crs,Cic,Cis,Toe,Idot,T,n0,n,M,E,Eold,snu,cnu,nu,phi,du,dr,di,u,r,i,Xdash,Ydash,Wc;84
