1、2020年中考数学总复习三角形及其全等考点一三角形的相关概念与性质中考真题1.(2019内蒙古包头,7,3分)如图,在RtABC中,B=90,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC于点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则ACG的面积是()A.1B.C.2D.123252答案答案C由作图可知AF是BAC的平分线,B=90,BG=1,点G到AC的距离等于1,ACG的面积是14=2.故选C.12思路分析思路分析先判断AF是BAC的平分线,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求点G到AC的距离,最后根据三
2、角形面积公式求解即可.2.(2019河南,9,3分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,D=90,AD=4,BC=3,分别以点A、C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为()A.2B.4C.3D.12210答案答案A连接FC,由作图方法及点O是AC的中点可知,BF垂直平分AC,AF=CF,AB=CB,易得1=2,ADBC,2=3,1=3,AB=AF,BC=CF=AF=3,FD=AD-AF=1.在RtDCF中,由勾股定理得CD=2,故选A.22FCDF23.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,以点
3、C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分别以点B,D为圆心,大于BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长度是()A.2B.3C.D.1235答案答案D由作图叙述可知CEAB,AE=2,BE=1,AB=AC=3,在RtACE中,CE=,故选D.223254.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为()A.17.5B.12.5C.12D.10答案答案DAB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35
4、.DAE=90,AD=AE,AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.5.(2018贵州贵阳,2,3分)如图,在ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是ABC的中线,则该线段是()A.线段DEB.线段BEC.线段EFD.线段FG答案答案B连接三角形一个顶点和它对边中点,所得的线段叫做三角形这条边上的中线,从图形中看出,线段DE、EF、FG都不经过ABC的顶点,仅有线段BE经过ABC的顶点B,所以线段BE是ABC的中线,故选B.6.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60,C=2
5、5,则BAD为()A.50B.70C.75D.80答案答案B因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.7.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40,C=36,则DAC的度数是()A.70B.44C.34D.24答案答案C由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故选C.8.(2017河北,11,2分)如图是边长为10cm的正方形铁片
6、,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是()答案答案A由勾股定理得正方形的对角线的长是10,因为10A+B.(2)证明:如图,过点B作直线DEAC,A=ABD,C=CBE,又ABD+ABC+CBE=180,A+ABC+C=180,ABC的内角和等于180.(3)证明:原式可变形为=,(a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,a2+c2=b2,ABC是以B为直角的直角三角形.aacb 2acbc 考点二三角形全等1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABC DCB的是()A.A=DB
7、.ACB=DBCC.AC=DBD.AB=DC答案答案C根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS,ASA,SAS定理,能推出ABC DCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定理,不能推出ABC DCB,选项C符合题意.故选C.2.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABC ADC,这样就有Q
8、AE=PAE.则说明这两个三角形全等的依据是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS答案答案D因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABC ADC(SSS),故选D.3.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的命题的序号为.答案答案解析解析等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等腰三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对
9、应相等,再由SAS证得原两三角形全等,命题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不能证得两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是.4.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长为.答案答案9解析解析AB=AC,B=C.又BAD=CAE,BAD CAE(ASA),CE=BD=9.5.(2017新疆,15,5分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O.下列结论中:ABC=ADC;AC与BD互相平分;AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角;四边形ABCD
10、的面积S=ACBD.正确的是.(填写所有正确结论的序号)12答案答案解析解析在ABC和ADC中,ABC ADC(SSS),ABC=ADC,正确.ABC ADC,BAC=DAC,在ABO和ADO中,ABO ADO.同理,CBO CDO.OB=OD,AOD=AOB=BOC=DOC=90,ACBD,AO与OC不一定相等,不正确.ABC ADC,BAC=DAC,ACB=ACD,ABADBCDCACAC,ABADBACDACAOAO ABD和CBD不一定相等,不正确.ACBD,四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD=BDAO+BDCO=BD(AO+CO)=ACBD,正确.12121212解题关键解题
11、关键掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.6.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:AF=DE.证明证明BE=CF,BE+EF=CF+EF,BF=CE.在ABF和DCE中,ABF DCE(SAS),AF=DE.,ABDCBCBFCE 7.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE.证明证明本小题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识.考查推理能力,满分8分.四边形ABCD是矩形,D=B=90,AD=CB.在ADF和CBE中,ADF CBE,AF=CE.,ADCB
12、DBDFBE 8.(2019河南,17(1),5分)如图,在ABC中,BA=BC,ABC=90.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是 上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.求证:ADF BDG.BD证明证明BA=BC,ABC=90,CAB=C=45.AB为半圆O的直径,ADF=BDG=90.DBA=DAB=45,AD=BD.(3分)DAF和DBG都是 所对的圆周角,DAF=DBG.ADF BDG.(5分)DE9.(2019河北,23,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合),
13、点B,E在AD异侧.I为APC的内心.(1)求证:BAD=CAE;(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;(3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值.备用图解析解析(1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE,ABC ADE.(3分)BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC.BAD=CAE.(4分)(2)PD=6-x.(5分)如图,当ADBC时,x最小,PD最大.B=30,AB=6,x=AB=6=3.PD的最大值为3.(7分)(3)m=105,n=150.(9分)提示:根据I为APC的内心可得IAC=PAC,ACI=ACP,所以AIC=18
14、0-PAC-ACP=90+APC,所以AIC的大小取决于APC的大小.假设点P与点B重合,此时AIC=90+B=105,随着点P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=90+120=150,即105AIC150,所以m=105,n=150.121212121212121212思路分析思路分析(1)根据SAS可证明ABC ADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得PD=6-x,根据x的取值判断当AP最短(ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC=90+APC,可得AIC的大小取决于APC的大小.根据30APC120进而确
15、定105AIC150,所以m=105,n=150.1210.(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE.证明证明1=2,1+DAC=2+DAC,即BAC=DAE,(1分)在ABC和ADE中,(3分)ABC ADE(ASA),(5分)BC=DE.(6分),BACDAEABADBD (其他证法参照此标准给分)11.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.证明证明ABCD,A=D.ECBF,BHA=CGD.(2分)AB=C
16、D,ABH DCG,AH=DG,AG=DH.(5分)思路分析思路分析首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABH DCG,最后根据全等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果.归纳总结归纳总结全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根据已知条件恰当选择判定定理.当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.当已知两角对应相等时可考虑证夹边相等或一角对边相等.当已知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或AAS.12.(2018吉林,16,5分)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF.求证:ABE BCF.证明证明在正方形
17、ABCD中,AB=BC,ABC=C=90.(2分)又BE=CF,(3分)ABE BCF.(5分)13.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=.(1)求证:APM BPN;(2)当MN=2BN时,求的度数;(3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.解析解析(1)证明:P为AB中点,PA=PB.又A=B,MPA=NPB,APM BPN.(2)由(1)得PM=PN,MN=2PN,MN=2BN,PN=BN,=B=50.(3)4090.详解:BPN的外心在该三角形的内
18、部,BPN是锐角三角形,BPN和BNP都为锐角,又B=50,40BPN90,即40AC)的中线,该线段是()A.线段GHB.线段ADC.线段AED.线段AF答案答案B通过观察可知,点D为线段BC的中点,则线段AD符合题意.故选B.2.(2019北京西城一模,9)如图,在线段AD,AE,AF中,ABC的高是线段.答案答案AF解析解析因为AFBC,所以ABC的高是线段AF.3.(2019北京密云一模,9)如图所示的网格是正方形网格,则线段AB和CD的长度关系为:ABCD(填“”“”或“=”).答案答案解析解析设网格小正方形的边长为1,由勾股定理可得,AB=,CD=,即ABCD.5105104.(2
19、017北京丰台一模,14)如图,小量角器的0刻度线在大量角器的0刻度线上,且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40,那么在小量角器上对应的度数为.(只考虑小于90的角度)答案答案70解析解析由题意可知,点P和两个量角器的中心组成一个等腰三角形,所以小量角器上对应的度数为(180-40)2=70.5.(2018北京海淀一模,19)如图,ABC中,ACB=90,D为AB的中点,连接CD,过点B作CD的平行线EF,求证:BC平分ABF.证明证明ACB=90,D为AB的中点,CD=AB=BD,ABC=DCB.DCEF,CBF=DCB,CBF=ABC,
20、BC平分ABF.126.(2018北京朝阳一模,19)如图,在ACB中,AC=BC,AD为ACB的高线,CE为ACB的中线.求证:DAB=ACE.证明证明AC=BC,CE为ACB的中线,CAB=B,CEAB,CAB+ACE=90,B+ACE=90.AD为ACB的高线,D=90,DAB+B=90,DAB=ACE.7.(2018北京平谷一模,19)如图,在ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点,EF垂直平分CD,交AC于点E,交BC于点F,连接DE,求证:DEAB.证明证明AB=AC,B=C.EF垂直平分CD,ED=EC,EDC=C,EDC=B,DEAB.8.(2017北京西城一模,20)如图,
21、在ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB的延长线于点E,连接CE.求证:BCE=A+ACB.证明证明DE垂直平分BC,BE=CE.BCE=CBE.CBE=A+ACB,BCE=A+ACB.9.(2017北京朝阳二模,20)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,过点C作CEAB交AD的延长线于点E.求证:CE=AB.证明证明AB=AC,AD是BC边上的高,AD也是BAC的平分线,BAE=CAE.CEAB,E=BAE,E=CAE,CE=AC.AB=AC,CE=AB.考点二全等三角形1.(2019北京平谷一模,12)如图,在ABC中,射线AD交BC于点D,BEAD于E,CFAD于F
22、,请补充一个条件,使BED CFD,你补充的条件是(填出一个即可).答案答案答案不唯一,如BD=DC解析解析由已知条件可知BDE=CDF,BED=CFD=90,所以只需要添加一对边相等的条件,如BD=CD,答案不唯一.2.(2018北京丰台二模,19)如图,E,C是线段BF上的两点,BE=FC,ABDE,A=D,AC=6,求DF的长.解析解析ABDE,ABC=DEF.BE=FC,BE+EC=FC+EC,BC=EF.又A=D,ABC DEF,AC=DF.又AC=6,DF=6.3.(2018北京丰台一模,19)如图,在ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,DEAB于点E,DFAC于点F.求证:D
23、E=DF.证明证明连接AD.AB=AC,D是BC边的中点,ADBC,BD=CD,ADB=ADC=90,又AD=AD,ABD ACD,BAD=CAD,即AD为BAC的平分线.DEAB于点E,DFAC于点F,DE=DF.4.(2017北京海淀一模,19)如图,在ABC中,D,E是BC边上两点,AD=AE,BAD=CAE.求证:AB=AC.证明证明证法一:AD=AE,1=2.1=B+BAD,2=C+CAE,B+BAD=C+CAE.BAD=CAE,B=C.AB=AC.证法二:AD=AE,1=2.180-1=180-2,即3=4.在ABD与ACE中,ABD ACE(ASA),AB=AC.,34,BADC
24、AEADAE 5.(2017北京海淀二模,19)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.请你添加一条线把它分成两个全等的三角形,并给出证明.解析解析连接AC,则ABC ADC.证明如下:在ABC与ADC中,ABC ADC.,ABADACACCBCD一、选择题一、选择题(每小题2分,共6分)30分钟40分1.(2019北京门头沟一模,4)如图,ABC为等边三角形,如果沿图中虚线剪去B,那么1+2等于()A.120B.135C.240D.315答案答案C如图,3+4=180-B=120.1+3=180,2+4=180,1+2=360-120=240.故选C.2.(2018北京海淀一模,1
25、)用三角板作ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是()答案答案A由高线的定义可知选项A符合题意.故选A.3.(2017北京石景山一模,9)用尺规作图法作已知角AOB的平分线的步骤如下:以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OB于点D,交OA于点E;分别以点D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在AOB的内部相交于点C;作射线OC,则射线OC为AOB的平分线.由上述作法可得OCD OCE的依据是()A.SASB.AASC.ASAD.SSS12答案答案D由作图可知,OE=OD,EC=DC,OC=OC,OCD OCE(SSS).故选D.解题关键解题关键解决本题的关键是要明确使用圆规的目
26、的,同时要掌握全等三角形的判定方法.二、填空题二、填空题(每小题2分,共6分)4.(2019北京顺义一模,14)如图,DE为ABC的中位线,点F在DE上,且AFB=90,若AB=6,BC=8,则EF的长为.答案答案1解析解析DE为ABC的中位线,DE=BC=4.AB=6,AFB=90,DF=AB=3.EF=DE-DF=1.12125.(2018北京东城一模,13)含30角的直角三角板与直线l1,l2的位置关系如图所示,已知l1l2,1=60.以下三个结论中正确的是(只填序号).AC=2BC;BCD为正三角形;AD=BD.答案答案解析解析由l1l2,1=60,可得CDB=60,又CBD=60,所
27、以BCD为正三角形;ACD=A=30,所以AD=CD=BD.所以正确的结论是.6.(2018北京门头沟一模,10)如图,在55的正方形(每个小正方形的边长均为1)网格中,格点上有A、B、C、D、E五个点,如果要求连接两个点之后的线段的长度大于3且小于4,则可以连接.(写出一个答案即可)答案答案AD(答案不唯一)解析解析根据勾股定理计算两点之间的距离d,满足3d4即可,如AD、BD等,答案不唯一.三、解答题三、解答题(共28分)7.(2018北京东城一模,19)如图,在ABC中,BAC=90,ADBC于点D.BF平分ABC,交AD于点E,交AC于点F.求证:AE=AF.证明证明BAC=90,FB
28、A+AFB=90.ADBC,DBE+DEB=90.BF平分ABC,DBE=FBA,AFB=DEB,又DEB=FEA,AFB=FEA,AE=AF.解题关键解题关键解决本题的关键是要借助等角的余角相等,通过等量代换解决.8.(2017北京东城一模,20)如图,在ABC中,B=55,C=30,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,求BAD的度数.12解析解析由题意可得:MN所在直线是AC的垂直平分线,则AD=DC.C=DAC.C=30,DAC=30.B=55,BAC=180-B-C=95.BAD=BAC-CAD=65.9.(2019北
29、京石景山二模,21)如图,AB平分CAD,ACB+ADB=180.(1)求证:BC=BD;(2)若BD=10,cosADB=,求AD-AC的值.25解析解析(1)证明:在AD上截取AE,使得AE=AC,连接BE.AB平分CAD,CAB=EAB.AB=AB,ACB AEB,BC=BE,ACB=AEB.ACB+ADB=180,AEB+BED=180,ADB=BED,BE=BD.BC=BD.(2)作BFAD于点F,由(1)知BE=BD,EF=DF,在RtBFD中,BD=10,cosADB=,DF=4,DE=8,AD-AC=AD-AE=DE=8.2510.(2017北京顺义一模,23)已知:如图,四边
30、形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AC=AD,DAC=ABC.(1)求证:BD平分ABC;(2)若DAC=45,OA=1,求OC的长.解析解析(1)证明:AB=AC,ABC=ACB.DAC=ABC,DAC=ACB.ADBC.1=2.又AB=AD,1=3.2=3.BD平分ABC.(2)AB=AC,ABC=ACB.DAC=45,DAC=ABC,ABC=ACB=45.BAC=90.过点O作OEBC于E,BD平分ABC,OE=OA=1.在RtOEC中,ACB=45,OE=1,OC=.211.(2019北京房山一模,27)已知:RtABC中,ACB=90,AC=BC.(1)如图1,点D是B
31、C边上一点(不与点B,C重合),连接AD,过点B作BEAD,交AD的延长线于点E,连接CE.若BAD=,求DBE的大小(用含的式子表示);(2)如图2,点D在线段BC的延长线上时,连接AD,过点B作BEAD,垂足E在线段AD上,连接CE.依题意补全图2;用等式表示线段EA,EB和EC之间的数量关系,并证明.解析解析(1)依题意,CAB=45,BAD=,CAD=45-.ACB=90,BEAD,ADC=BDE,DBE=CAD=45-.(2分)(2)补全图形如图,(4分)猜想:当D在BC边的延长线上时,EB-EA=EC.(5分)证明:过点C作CFCE,交AD的延长线于点F.2ACB=90,ACF=B
32、CE.CA=CB,CAF=CBE,ACF BCE.(6分)AF=BE,CF=CE.ECF=90,EF=EC.即AF-EA=EC.EB-EA=EC.(7分)222解题关键解题关键解决本题的关键是借助等腰直角三角形,发现“共点等线段”,进而通过全等三角形的判定与性质寻找线段等量关系.1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是()A.作APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PCAB于点C且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PCAB,垂足为C答案答案B无论作APB的平分线
33、PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.2.(2017天津,11,3分)如图,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()A.BCB.CEC.ADD.AC答案答案B如图,连接PC,AB=AC,BD=CD,ADBC,PB=PC,PB+PE=PC+PE,PE+PCCE,当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE的长,故选B.思路分析思路分析先证PB=PC,从而可得当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,
34、最小值为CE.3.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.答案答案192解析解析连接DE,在等边ABC中,D、E分别是AB、BC的中点,DEAC,DE=EC=AC=2.12DEB=C=60.EFAC,EFC=90.FEC=30,EF=.DEG=180-60-30=90.G是EF的中点,EG=.在RtDEG中,DG=.33222DEEG22322192思路分析思路分析连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.疑难突破疑难突破本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.
