1、金华十校金华十校 2022 年年 11 月高三模拟考试数学试题卷月高三模拟考试数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分考试时间本试卷分选择题和非选择题两部分考试时间 120 分钟试卷总分为分钟试卷总分为 150 分请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上选择题部分（共分请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上选择题部分（共 60 分）一、选择题：本题共分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合2log2Mxx，2340Nx xx，
2、则MN（）A.04xxB.14xx C.13xx D.04xx2.已知21 i3 iz，其中i为虚数单位，则z（）A.13i22B.13i22C.3i2D.3i23.在正方形ABCD中，,E F分别为BC，CD的中点，则不正确的是（）A.12ACAFAB B.12ACAEAD C.1233ACAEAF D.ACABAD 4.已知13827a，5619log 6log 528b，56184log 69log 5c，则（）A.bacB.bcaC.abcD.acb5.打羽毛球是全民皆宜的运动标准的羽毛球由 16 根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，若把球托之外由羽毛围成的部分看成
3、一个圆台的侧面，又测得顶端所围成圆的直径是 6.8cm，底部所围成圆的直径是 2.8cm，则这个圆台的体积约是（单位：3cm）（）注：本题运算时取 3，5取 2.24，运算最后结果精确到整数位A.108B.113C.118D.1236.已知样本空间由所有满足*,Na b c，12abc且abc的数组,a b c组成，在中抽取一个数组，记事件“i”为抽到的数组中a，b，c的最大值为i，则6P（）A.512B.16C.112D.147.已知函数 cos(0)3f xx在,6 4上单调递增，且当,4 3x时，0f x 恒成立，则的取值范围为（）A.522 170,232B.4170,8,32C.42
4、80,8,33D.5220,8238.如图是一个由正四棱雉1111SABC D与棱长为a的正方体1111ABCDABC D形成的组合体，这个组合体在直径为2 3的球内，且点S，1A，1B，1C，1D在球面上，则（）A.a的取值范围是0,3B.正四棱雉1111SABC D的高可表示为2334aC.该组合体的体积最大值为204 33D.二面角111SABC的大小随着a的增大而减小二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分
5、，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分9.已知正方体1111ABCDABC D，E，F分别为11AD，1CC的中点，则（）A.直线BE与1BF所成角为90B.直线1BC与1C D所成角为60C.直线1AA与平面11ABC D所成角为45D.直线1AA与平面BFD所成角的正弦值为3310.已知函数 332f xxx，11,A x y，22,B xy，33,C xy为图象上的三点，则（）A.f x有两个零点B.若1x为极小值点，则10y C.直线0y 是曲线 yf x的切线D.若ABAC，则1231236xxxyyy 11.已知抛物线2:4C yx，过焦点 F 的直线 l 与
6、 C 交于11,A x y，22,B xy两点，12y，E 与 F 关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是与，则（）A.sintanB.AEFBEF C.90AEBD.2ab12.己知函数 f x及其导函数 fx的定义域均为 R记 g xfx，若522fx为偶函数，32gx为奇函数，则（）A.102fB.23ggC.102gD.05ff非选择题部分（共非选择题部分（共 90 分）三、填空题：本题共分）三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.二项式41xx的展开式中常数项是_14.若直线ykxb是曲线e1xy 和1exy的公切线，则实数b的值是
7、_15.已知圆221:8Oxy与圆222:(7)2Oxy，点8,1A是圆2O上的一点，过圆心1O作直线2O A的平行线与圆1O交于B点（A和B不在x轴同侧），AB交x轴于点C，以1OC为直径的圆与圆1O的一个交点为E，则圆心1O与圆心2O到直线CE的距离之和是_16.已知椭圆22:14xy，过椭圆右焦点 F 作互相垂直的两条弦AB，CD，则4ABCD的最小值为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列*nannN是首项为 1，公差为 1 的等差数列（1）求na：（2）若121
8、,ln2.nnnncana求数列 nc的前n项和nS18.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos3 sincBbCab（1）求角C的大小；（2）设D为边AB的中点，32CDBC，2c，求a19.如 图，在 四 棱 锥SABCD中，平 而SAD 平 面ABD，2ASDBADBCD，2SASD，2221ABBCCESF（1）求证：EF平面SAB；（2）求点E到平面SAB的距离：（3）求平面SAB与平面SBC的夹角20.浙江省实行新高考改革方案以来，英语每年安排两次考试，第一次在 1 月与选考科目同期进行，称为“首考”，第二次在 6 月与语文、数学同期进行，称为“老高考”，考生可选
9、用其中一次较好的成绩计入高考总分英语在“首考”中“一考两用”，成绩既用于评定学业水平等级又可用于高考，学考合格后的考生，英语第二次考试成绩仅用于高考，不计算学考等第.2022 年 1 月“首考”中，英语成绩达到 117 分及以上的考生，学考等第为 A某校为了解英语考试情况，随机抽取了该校男、女各*10Nn n名学生在“首考”中的英语考试成绩，情况如下表，并经过计算可得29.091男生女生A 等4n7n非 A 等6n3n（1）从*20Nn n名学生中随机选择 1 人，已知选到的学生英语学考等第为 A，求这个学生是男生的概率；（2）从*10Nn n名女生中任意选 2 人，记这 2 人中获得 A 等
10、的人数为，求的数学期望与方差附：22n adbcabcdacbd，其中nabcd 附表：20P xx0.050.0100.0050.0010 x3.8416.6357.87910.82821.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的一条渐近线为2yx，且右焦点F到这条渐近线的距离为2（1）求双曲线E的方程；（2）若双曲线E的右支上存在三点A、B、C，满足OAOB ，OCOAOB ，142BOCS，求直线AB的方程22.已知函数 211 lnR2f xxaxaxx a，记 fxg x（1）当1a 时，求函数 f x的最小值；（2）若函数 g x有三个零点123,x xx，且123xxx求
11、a的取值范围；证明：131343xxx xa 金华十校金华十校 2022 年年 11 月高三模拟考试月高三模拟考试 数学试题卷数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分考试时间本试卷分选择题和非选择题两部分考试时间 120 分钟试卷总分为分钟试卷总分为 150 分请考生按规定用分请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上 选择题部分（共选择题部分（共 60 分）分）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要
12、求的 1.设集合2log2Mxx=，2340Nx xx=，则MN=（）A.04xx B.14xx C.13xx D.04xx【答案】A【解析】【分析】先求出集 M、N，再求两集合的交集即可.【详解】由22log2log 4x=，得04x，所以04Mxx=，由2340 xx，得14x，所以14Nxx=，所以04MNxx=B.bca C.abc D.acb【答案】A【解析】【分析】解得32a=，又利用对数运算可判断53log 62=，5655661919193log 6log 5log 62log 62828log 528log 52b=+=+=，取等条件应为5619log 628log 5=，即
13、53log 62=，而53log 62，56556618181818394log 69log 512294log 62 4log 6log 5log 5c=+，取等条件为5694log 6log 5=，即53log 62=，而53log 62，故32c.故选：A.5.打羽毛球是全民皆宜的运动标准的羽毛球由 16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，若把球托之外由羽毛围成的部分看成一个圆台的侧面，又测得顶端所围成圆的直径是 6.8cm，底部所围成圆的直径是 2.8cm，则这个圆台的体积约是（单位：3cm）（）注：本题运算时取 3，5取 2.24，运算最后结果精确到整数位 A.1
14、08 B.113 C.118 D.123【答案】D【解析】【分析】由圆台的体积公式求解即可.【详解】圆台的体积为()22222216.82.83.41.43.41.4712332V=+故选：D 6.已知样本空间由所有满足*,Na b c，12abc+=且abc的数组(),a b c组成，在中抽取一个数组，记事件“i=”为抽到的数组中a，b，c的最大值为i，则()6P=（）A.512 B.16 C.112 D.14【答案】D【解析】【分析】列举出所有符合题意的数组，可得满足6=的数组个数，根据古典概型的概率公式，即可得答案.【详解】由题意可知，符合题意数组有：(1,1,10),(1,2,9(,(
15、1,3,8),(1,4,7),(1,5,6)，(2,2,8),(2,3,7),(2,4,6),(2,5,5),(3,3,6),(3,4,5),(4,4,4)，共 12 组，其中事件“6=”的数组有(1,5,6),(2,4,6),(3,3,6)，故()316124P=，故选：D.的 7.已知函数()cos(0)3f xx=在,6 4上单调递增，且当,4 3x时，()0f x 恒成立，则的取值范围为（）A.522 170,232 B.4170,8,32 C.4280,8,33 D.5220,823【答案】B【解析】【分析】由已知，分别根据函数()f x在区间,6 4上单调递增，在,4 3x时，()
16、0f x 恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.【详解】由已知，函数()cos(0)3f xx=在,6 4上单调递增，所以()1112 2 Z3kxkk，解得：()1112 2 2Z33kkxk+，由于()111Z,6 42 2 233kkk+，所以112 2632 43kk+，解得：()11141248Z3kkk+又因为函数()cos(0)3f xx=在,4 3x上()0f x 恒成立，所以()22222+Z232kxkk，解得：()222225Z66kkxk+，由于()222225,Z6,463kkk+，所以222462536kk+，解得：()2222586Z32kkk
17、+又因为0，当120kk=时，由可知：04432532，解得 403，；当121kk=时，由可知：02883221732，解得1782，.所以的取值范围为4170,8,32.故选：B.【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.8.如图是一个由正四棱雉1111SABC D与棱长为a的正方体1111ABCDABC D形成的组合体，这个组合体在直径为2 3的球内，且点S，1A，1B，1C，1D在球面上，则（）A.a的取值范围是(0,3 B.正四棱雉1111SABC D的高可表示
18、为2334a C.该组合体的体积最大值为204 33+D.二面角111SABC的大小随着a的增大而减小【答案】C【解析】【分析】由球心与截面圆的圆心以及球面上的点的关系结合勾股定理可判断 AB；表示出组合体的体积，利用导数研究单调性，可判断 C；表示出二面角的正切值并研究单调性可判断 D 【详解】球的直径为2 3，则半径为3，由题意知()2222+322aa，所以02a，所以()V a在(0 2，单调递增，()()204 323V aV+=，故 C正确；设二面角111SABC的平面角为，则22223322tan223333222aahaaaaaa=+2213312aa=+，易知221tan33
19、12aa=+单调递增，故 D错误；故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9.已知正方体1111ABCDABC D，E，F分别为11AD，1CC的中点，则（）A.直线BE与1B F所成角为90 B.直线1BC与1C D所成角为60 C.直线1AA与平面11ABC D所成角为45 D.直线1AA与平面BFD所成角的正弦值为33【答案】ABC【解析】
20、【分析】建立空间直角坐标系，求出正方体各顶点坐标，求出相关向量以及相关平面法向量的坐标，根据数量积的计算以及空间角的向量求法，即可判断答案.【详解】以 D 为坐标原点，以射线1,DA DC DD为,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，则1(0 0 0),(0 0 2),(2 0 0),(2 2,0),(0 2 0)DDABC，,111(10 2),(0 2 1),(2 0 2)(2 2,2),(0 2 2)EFABC，,则1(12 2),(2 01)BEB F=，,故1220BE B F=，则1BEB F ，故直线BE与1B F所成角为90，A 正确；11(2 02),
21、(022)BCC D=，,11111141cos,2|2 22 2BC C DBC C DBC C D=,又11,0,BC C D ，故11,3BC C D=，即直线1BC与1C D所成角为3，B正确；11(0 2),(2,2),(0,2)ABADAA=，00，0，,设平面11ABC D的法向量为(,)nx y z=，则120220n AByn ADxz=，令1x=，则(1,0,1)n=，故11122cos,2|22n AAn AAnAA=,因为直线与平面所成角范围为0,2，故直线1AA与平面11ABC D所成角的正弦值为22，所以直线1AA与平面11ABC D所成角为45，C 正确；(0 2
22、 1),(2 2 0)DFDB=，,设平面BFD的法向量为(,)ma b c=，则22020m DBabm DFbc=+=+=，令1a=，则(1,1,2)m=，故11146cos,3|62m AAm AAmAA=,故直线1AA与平面BFD所成角的正弦值为63，D错误.故选：ABC.10.已知函数()332f xxx=，()11,A x y，()22,B xy，()33,C xy为图象上的三点，则（）A.()f x有两个零点 B.若1x为极小值点，则10y=C.直线0y=是曲线()yf x=的切线 D.若ABAC=，则1231236xxxyyy+=【答案】AC【解析】【分析】利用导数研究()f
23、x的单调性、极值，进而确定零点并画出函数图象，即可判断 A、B、C；在()f x图象上任找,B C两点，线段BC中垂线交()f x图象与A点，即有ABAC=，图象上找反例，判断 D.【详解】由题设2()3(1)fxx=，易知：(,1)、(1,)+上()0fx，即()f x递增，(1,1)上()0fx，即()f x递减.所以极大值为(1)0f=，极小值为(1)4f=，且(2)0f=，显然()f x有两个零点，A正确，B 错误；()f x的函数图象如下：由上分析及图知：直线0y=是曲线()yf x=的切线，C正确；在()f x图象上任找,B C两点，线段BC中垂线交()f x图象于A点，此时ABA
24、C=，如上图，在()f x图象中可取,A B C三点，其中(1,4)B，13,4y y ，13,0 x x，所以，存在12312311xxxyyy+，E与 F 关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是与，则（）A.sintan B.AEFBEF=C.90AEB D.2ab 的【答案】BD【解析】【分析】作ADx轴于D，做BCx轴于C，设直线l的方程为()1yk x=，与抛物线方程联立求出1212,xx x x+，求出sin，tan可判断 A；求出+AEBEkk可判断 B；求出tan利用基本不等式得出tan1，所以11x，即90，所以11111122tan1112=+ADxxyEDxxx，
25、即45AED，因为AEFBEF=，所以90AEB，故错误；对于 D，因为90AEB，所以0290b，11tan1=ADyFDx，11tan1=+ADyEDx，所以()()111122211122112tantan21tan111yyxxxyx+=+，所以()()()()1111 111 111 11222111121223tantan201111yxyy xyy xyy xyxxxx+=，所以tantan2，即2ab，21228 341kxxk+=+，212212441kxxk=+，222121212|()()1|ABxxyykxx=+=+42222219216(31)(41)1(41)kkk
26、kk+=+224(1)41kk+=+，由题意知，直线CD斜率为1k，同理可得 224(1)|4kCDk+=+，所以 221155|4(1)54kABCDk+=+所以 11(|4|445)()|ABCABDABCDCD+=444455|36(5)(52)|5CDABCDABABCDABCD=+=，的 当且仅当126,55ABCD=时取得等号，故综合以上，4ABCD+的最小值为365，故答案为：365.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系的应用，考查了最值问题的求解，综合性强，计算量大，解答时要能熟练应用联立方程利用根与系数的关系，求解弦长问题，解答的关键是根据弦长的表达式特征求得11|54|A
27、BCD+=，继而利用基本不等式“1”的巧用求解最值.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列()*nannN是首项为 1，公差为 1的等差数列（1）求na：（2）若121,ln2.nnnncana=求数列 nc的前n项和nS【答案】（1）2nan=（2）22lnn+【解析】【分析】（1）由于数列()*nannN是首项为 1，公差为 1，则可求得nan，即得na；（2）按照裂项求和求nS即可.【小问 1 详解】解：nan是首项为 1，公差为 1的等差数列，则()11nannn=+
28、=，可得2nan=【小问 2 详解】解：12c=，2n 时，()1ln2ln2 lnln11nnnancnnan=，12nnSccc=+()22 ln2ln1 ln3ln2lnln122lnnnn=+=+18.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos3 sincBbCab+=+（1）求角C的大小；（2）设D为边AB的中点，32CDBC=，2c=，求a【答案】（1）3C=（2）2a=【解析】【分析】(1)由已知，借助正弦定理进行边角转化，将条件转化为sin cos3sin sinsinsinCBBCAB+=+，然后利用()sinsinABC=+，进行拆分组合，即可完成角C；(2)
29、由已知，可设3CDx=，2CBx=，借助余弦定理得到等量关系，直接求解即可.【小问 1 详解】cos3 sincBbCab+=+由正弦定理可得sin cos3sin sinsinsinCBBCAB+=+由()sinsinABC=+，则有()sin cos3sin sinsinsinCBBCBCB+=+，化简可得：sin cos3sin sinsin coscos sinsinCBBCBCBCB+=+，即3sin sinsin cossinBCBCB=+，则()sin3sincos10BCC=，sin0B，3sincos10CC=，且22sinsin1CC+=，解得1cos2C=或cos1C=（
30、舍）故3C=【小问 2 详解】在ABC中，设3CDx=，2CBx=，2222231cos22 3CDADACxbCDACD ADx+=，2222231 4cos22 3CDBDBCxxCDBCD BDx+=，因为coscos0CDACDB+=，所以有：2222bx=+；由余弦定理：222cos2abcCab+=，代入可得2244142bxbx+=，由2222231bxxbx=+=，解得11x=，277x=（舍）因为2CBx=，所以2CB=，2a=19.如 图，在 四 棱 锥SABCD中，平 而SAD 平 面ABD，2ASDBADBCD=，2SASD=，2221ABBCCESF=（1）求证：EF
31、平面SAB；（2）求点E到平面SAB的距离：（3）求平面SAB与平面SBC的夹角【答案】（1）证明见解析 （2）22 （3）30【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出EF的方向向量和平面SAB的法向量，通过计算其向量垂直来证明线面平行；（2）利用向量法求点到面的距离；（3）利用法向量的夹角求二面角.【小问 1 详解】由已知可得：5BD=，322CD=，如图以 A 为坐标原点，AB所在直线为 x 轴，AD所在直线为 y轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,2,0D，()0,1,1S，()1,0,0B，3 10,2 2F 设(),0C x y，则由22CB=，3 22CD=，
32、可得方程组()()2222112922xyxy+=+=，解得3212xy=可得3 1,02 2C由于22CE=，可得()1,1,0E 所以1 11,2 2EF=，设平面SAB的法向量(),nx y z=，由00n SAn AB=，解得平面SAB的法向量是()0,1,1n=，()1 10,1,11,02 2n EF=，EF 不在平面 SAB 内，故/EF平面SAB【小问 2 详解】设点E到平面SAB的距离为d，由()1,1,0AE=，22AE ndn=点E到平面SAB的距离是22 【小问 3 详解】设平面SBC的法向量为(),mx y z=，由0,0.m SBm SC=可得平面SBC的法向量为(
33、)1,1,2m=，设平面SAB与平面SBC的夹角为 则3cos2n mn m=，则30=故平面SAB与平面SBC的夹角为 30 20.浙江省实行新高考改革方案以来，英语每年安排两次考试，第一次在 1 月与选考科目同期进行，称为“首考”，第二次在 6月与语文、数学同期进行，称为“老高考”，考生可选用其中一次较好的成绩计入高考总分英语在“首考”中“一考两用”，成绩既用于评定学业水平等级又可用于高考，学考合格后的考生，英语第二次考试成绩仅用于高考，不计算学考等第.2022 年 1 月“首考”中，英语成绩达到 117 分及以上的考生，学考等第为 A某校为了解英语考试情况，随机抽取了该校男、女各()*1
34、0Nn n名学生在“首考”中的英语考试成绩，情况如下表，并经过计算可得29.091 男生 女生 A 等 4n 7n 非 A 等 6n 3n （1）从()*20Nn n名学生中随机选择 1人，已知选到的学生英语学考等第为 A，求这个学生是男生的概率；（2）从()*10Nn n名女生中任意选 2人，记这 2 人中获得 A 等的人数为，求的数学期望与方差 附：()()()()()22n adbcabcdacbd=+，其中nabcd=+附表：()20P xx 0.05 0.010 0.005 0.001 0 x 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）411 （2）()75E=
35、；()72175D=【解析】【分析】（1）由条件概率的概率公式求解即可；（2）先由29.091求得5n=，再求出的可能取值以及每个值所对应的概率，即可得分布列，进而由期望与方差公式求解即可【小问 1 详解】用B表示事件“选到的学生学考等第为 A 等”，用C表示事件“选到男生”，则()()()44|1111n BCnP C Bn Bn=【小问 2 详解】由()2222201242209.091101011911nnnnnnnn=，而*Nn，可得5n=因为的可能取值为 0，1，2()235152500C C30C35P=，()113515250C C31C7P=，()203515250C C172
36、C35P=所以这 2人种获得 A等人数的概率分布列为 0 1 2 P 335 37 1735 数学期望()33177012357355E=+=方差()22273737177201253557535175D=+=21.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab=的一条渐近线为2yx=，且右焦点F到这条渐近线的距离为 2（1）求双曲线E方程；（2）若双曲线E的右支上存在三点A、B、C，满足OAOB ，()OCOAOB=+，142BOCS=，求直线AB的方程【答案】（1）2212yx=；（2）32 2yx=或32 2yx=+.【解析】【分析】（1）根据渐近线方程以及点到直线的距离公式，求得,a
37、b，则双曲线方程得解；（2）设出直线AB的方程，联立双曲线方程，结合韦达定理，由点C在双曲线上，三角形BOC的面积，以及OAOB，建立参数之间的方程组，求解即可.【小问 1 详解】由已知条件得：222223baab=+=，解得：12ab=，所以双曲线方程为：2212yx=.【小问 2 详解】取AB中点M，根据题意，作图如下：当k不存在时，设直线AB方程为xm=，则B点坐标为(),m m，故2212mm=，解得2m=，不妨取()2,2B，又C点坐标为()1,0，故21422BOCS=，不符合题意，故舍去；的 当k存在时，不妨设0k，则此时0m 由韦达定理得：12222kmxxk+=，212222
38、mx xk+=，122224222kmmyykmkk+=+=点C的坐标为()()()1212,xxyy+，即2224,22kmmCkk，将它代入2212yx=得：2222242222kmmkk=，化简得：222km=又12120 x xy y+=，()()()()221212121210 x xkxmkxmkx xkm xxm+=+=即22112km+=，2222mk=+，又()2OCOAOBOM=+=()12122BOCBOMAOBSSSmxx=()22222 12 22222kkmmmk+=2222222241422222kkkkk+=解得：3k=，此时2 2m=，则AB的方程为32 2y
39、x=根据对称性，AB的另外一条直线方程为32 2yx=+【点睛】关键点睛：本题考查双曲线方程的求解，以及利用韦达定理，三角形面积求解直线的方程；其中解决问题的关键是要能够建立，,k m之间的方程组，以及将三角形BOC的面积与三角形AOB的面积建立联系，属于综合困难题.22.已知函数()()()211 lnR2f xxaxaxx a=+，记()()fxg x=（1）当1a=时，求函数()f x的最小值；（2）若函数()g x有三个零点123,x xx，且123xxx【答案】（1）32.（2）2a ；证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，确定函数单调性，进而求得函数()f x
40、的最小值；（2）（i）当2a 时，判断函数的单调性，说明不合题意，当2a 时，根据导数判断函数的单调情况，结合零点存在定理，判断函数有三个零点，符合题意；（ii）由题意可判断三个零点的范围且满足131x x=，因为要证明131343xxx xa+，即33143xax+，也即2333413xxax+，又因为3331lnxa xx=，故只要证明()23323331ln41a xa xxx+，故构造函数()()2231ln41xxxxx=+，利用其单调性证明()2231ln41xxxx+即可证明结论成立.【小问 1 详解】因为()()1ln(0)fxg xxa x xx=，当1a=时，()2210
41、xxgxx+=，所以函数()g x在()0,+上单调递增，又()10g=因此，当()0,1x吋，()0g x 即函数()f x在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，故函数()f x的最小值为()312f=【小问 2 详解】（i）由()1ln(0)g xxa x xx=，所以()2211(0)xaxaxxgxxxx+=，于是，当2a 时，12xx+,仅当1x=时取等号，()0gx,仅当2a=时取等号，函数()g x在()0,+上单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意；当2a 时，令210 xax+=，得242aax=，当240,2aax或24,2aax+时，()0gx，当2244,2
42、2aaaax+时()0gx吋，22441,22aaaa+，所 以2402aag，2402aag+=，当01x，当1x 时，()0h x，故()(1)0h xh=，所以ln1xx，故ln 12aaa，则333233()3(1)331(1)0g aaaa aaaaa+=+=+，因此，()g x 在2432()aaa，内恰有一个零点（即在240)2(aa，有一个零点），在22()4422aaaa+，内有一个零点，即1x=，在234,2()aaa+内有一个零点，故()g x有三个零点，则2a （ii）由题意知12301xxx=时，先证明不等式()2231ln41xxxx+恒成立，设()()2231ln
43、41xxxxx=+，则()()()()2422221211(1)04141xxxxxxxx xx+=+，所以函数()x在()1,+上单调递增，于是()()10 x=，即当1x 时，不等式()2231ln41xxxx+恒成立 由()30g x=，可得()23332333311ln41a xxa xxxx=+，因此，2333413xxax+，两边同除以3x，得33143xax+，而131x x=，故131343xxx xa+【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值以及根据零点个数求参数范围和证明不等式问题，综合性强，计算量大，对学生的综合数学素养有很高的要求，解答时要能熟练应用导数的相关知识，比如求导，判断导数正负，判断单调性,解决函数零点问题等，解答的关键在于能根据要证明的不等式合理变式，从而构造恰当的函数，利用导数解决问题.
