1、 1 专题专题 一元一次方程一元一次方程章末重难点题型章末重难点题型 【考点考点 1 一元一次方程的定义】一元一次方程的定义】 【方法点拨】【方法点拨】一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式一元指方程仅含有一个未知数，一次指 未知数的次数为 1，且未知数的系数不为 0 【例 1】（2020 春巴州区校级期中）下列方程中：2x+46，x1= 1 ，3x 22x，5x7，3x 2y2，x3，其中是一元一次方程的有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【变式 1-1】（2020 春蓬溪县期末）下列方程：yx7；2x2x6；2 3m5m； 2 1 =1； 3 2 =1，6x0，其中是一
2、元一次方程的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【变式 1-2】 （2020 春贵阳月考）已知方程（m2）x|m| 1+70 是关于 x 的一元一次方程，则 m 【变式 1-3】（2020 春唐河县期末）方程（a+2）x2+5xm 323 是一元一次方程，则 a+m 2 【考点考点 2 等式性质的应用】等式性质的应用】 【方法点拨】【方法点拨】等式的性质： 等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等； 等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等. 【例 2】 （2019 秋无为县期末）宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每
3、块饼干的质量都相同， 每颗糖果的质量都相同）做了一下试验第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡； 第二次，左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放 10 克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右 盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（ ） A左盘上加 2 克砝码 B右盘上加 2 克砝码 C左盘上加 5 克砝码 D右盘上加 5 克砝码 【变式 2-1】（2019 秋新泰市期末）下列判断错误的是（ ） A如果 ab，那么 acdbcd B如果 ab，那么 2+1 = 2+1 C如果 x3，那么 x23x D如果 axbx，那么 ab 【变式 2-2】（2020 春射洪市期末）
4、设，分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持 平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（ ） A B C D 【变式 2-3】（2020永年区一模）设“、”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2）所示， 天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“”的个数为（ ） A6 个 B5 个 C4 个 D3 个 3 【考点考点 3 一元一次方程的解】一元一次方程的解】 【方法点拨】【方法点拨】一元一次方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能 代入”。 【例 3】（2020 春仁寿县期中）已知 x1 是方程(2) 2 +
5、3 6 = 4 3k 的解，则 k 的值是（ ） A4 B 1 4 C1 4 D4 【变式 3-1】（2019 秋仁怀市期末）若 x1 是方程2mx+n10 的解，则 2019+n2m 的值为（ ） A2018 B2019 C2020 D2019 或 2020 【变式 3-2】已知方程 3x32x 的解为 a+2，求关于 x 的方程 3x2（xa）3a 的解 【变式 3-3】（2020 春方城县期中）小明解方程26 5 +1= + 2 时，由于粗心大意，在去分母时，方程左 边的 1 没有乘以 10，由此得到方程的解为 x1，试求 a 的值，并正确地求出原方程的解 【考点考点 4 解一元一次方程
6、】解一元一次方程】 【方法点拨】【方法点拨】解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点， 灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向 x=a 形式转化 【例 4】（2020 春内乡县期中）解方程： （1）3（2x+5）2（4x+3）+1； （2）3 2 2+1 3 =1 【变式 4-1】（2020 秋南岗区校级月考）解方程： （1）21 3 +5 6 =2x+1； （2）1 3x 1 2（x1）= 2 3（x2） 【变式 4-2】（2019 秋潍坊期末）解方程 （1）（x4） (4)1 2 =3 (4)+2 3 （2）0
7、.2 0.4 0.37+1 0.2 =1 【变式 4-3】（2019 秋嘉祥县期末）解方程： （1）1 5（3x1）2= 1 10（3x+2） 1 2（2x3）； （2）0.30.5 0.3 +1.5= 0.5+0.4 0.6 4 【考点考点 5 同解方程】同解方程】 【方法点拨】【方法点拨】如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个 方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 【例 5】（2020 春太仓市期中）如果关于 x 的方程 4x2m3x+2 和 x2x3 的解相同，那么 m 【变式 5-1】（2019 秋路南区期中）已知，关于 x 的方程
8、2（x1）+3x 与 3（x+m）m1 有相同的解， 则以 y 为未知数的方程1 2y 2 3y+m6y 的解为（ ） A5 B6 C5 D6 【变式 5-2】（2019 秋东湖区期末）已知关于 x 的方程 3x2（x 3）4x 和 3+ 4 15 8 =1 有相同的 解，求这个解 【变式 5-3】（2019 秋开福区校级期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程例如：方程：2x6 与 方程 4x12 的解都为 x3，所以它们为同解方程 （1）若方程 2x311 与关于 x 的方程 4x+53k 是同解方程，求 k 的值； （2）若关于 x 的方程 3x2（x 3）4x 和 3+ 12 15 8
9、 =1 是同解方程，求 k 的值； （3）若关于 x 的方程 2x3ab2和 4x+a+b23 是同解方程，求 14a2+6ab2+8a+6b2的值 【考点考点 6 解含绝对值的一元一次方程】解含绝对值的一元一次方程】 【例 6】 （2020 春南召县月考） 若关于 x 的方程 x+22 （mx） 的解满足方程|x 1 2|1， 则 m 的值是 （ ） A1 4或 13 4 B1 4 C5 4 D 1 2或 5 4 【变式 6-1】（2019 秋孝南区期末）根据绝对值定义，若有|x|4，则 x4 或4，若|y|a，则 ya， 我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|5
10、 解：方程|2x+4|5 可化为： 2x+45 或 2x+45 当 2x+45 时，则有：2x1，所从 x= 1 2 当 2x+45 时，则有：2x9；所以 x= 9 2 故，方程|2x+4|5 的解为 x= 1 2或 x= 9 2 （1）解方程：|3x2|4； （2）已知|a+b+4|16，求|a+b|的值； （3）在（2）的条件下，若 a，b 都是整数，则 ab 的最大值是 （直接写结果，不需要过程） 5 【变式 6-2】（2020 春襄汾县期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3） 例：解绝对值方程：|2x|1 解：讨论：当 x0 时，原方程可化为 2x1，它的解是 x
11、= 1 2 当 x0 时，原方程可化为2x1，它的解是 x= 1 2 原方程的解为 x= 1 2和 1 2 问题（1）：依例题的解法，方程|1 2x|2 的解是 ； 问题（2）：尝试解绝对值方程：2|x2|6； 问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：|x2|+|x1|5 【变式 6-3】（2020 春重庆期末）阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数 x 对应的点与原点的距离；即|x|x0|；这个结论可以推广为|x1 x2|表示在数轴上数 x1，x2对应点之间的距离绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用： 例 1：解方程|x|4 容易得出，在数轴上与原点距离为 4 的点
12、对应的数为4，即该方程的 x4； 例 2：解方程|x+1|+|x2|5 由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与1 和 2 的距离之和为 5 的点对应的 x 的值在数 轴上，1 和 2 的距离为 3，满足方程的 x 对应的点在 2 的右边或在1 的左边若 x 对应的点在 2 的右 边，如图 1 可以看出 x3；同理，若 x 对应点在1 的左边，可得 x2所以原方程的解是 x3 或 x 2 例 3：解不等式|x1|3 在数轴上找出|x1|3 的解，即到 1 的距离为 3 的点对应的数为2，4，如图 2，在2 的左边或在 4 的右边的 x 值就满足|x1|3，所以|x1|3 的解为 x2 或
13、 x4 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x+3|5 的解为 ； （2）方程|x2017|+|x+1|2020 的解为 ； （3）若|x+4|+|x3|11，求 x 的取值范围 6 【考点考点 7 与一元一次方程有关的新定义问题】与一元一次方程有关的新定义问题】 【例 7】（2019 秋抚州期末）我们规定，若关于 x 的一元一次方程 axb 的解为 xba，则称该方程为 “差解方程”例如：2x4 的解为 x2，且 242，则该方程 2x4 是差解方程 （1）判断：方程 3x4.5 差解方程（填“是”或“不是”） （2）若关于 x 的一元一次方程 4xm+3 是差解方程，求 m 的值 【
14、变式 7-1】（2020 春长春期末）我们规定，若关于 x 的一元一次方程 axb 的解为 a+b，则称该方程为 “合并式方程”，例如：3x= 9 2的解为 3 2，且 3 2 = 3 9 2，则该方程 3x= 9 2是合并式方程 （1）判断1 2x1 是否是合并式方程并说明理由； （2）若关于 x 的一元一次方程 5xm+1 是合并式方程，求 m 的值 【变式 7-2】（2019 秋新昌县期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个 方程的解，则称这个方程为妙解方程例如：方程 2x+40 中，242，方程的解为 x2，则方 程 2x+40 为妙解方程请根据上述定义解答下
15、列问题： （1）方程 2x+30 是妙解方程吗？试说明理由 （2）已知关于 x 的一元一次方程 3x+m0 是妙解方程求 m 的值 （3）已知关于 x 的一元一次方程 2x+ab0 是妙解方程，并且它的解是 xb求代数式 ab 的值 【变式 7-3】（2020 秋如东县期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程 为“兄弟方程” 如方程 2x4 和 3x+60 为“兄弟方程” （1）若关于 x 的方程 5x+m0 与方程 2x4x+1 是“兄弟方程”，求 m 的值； （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为 8，其中一个解为 n，求 n 的值； （3）若关于 x 的方程 2
16、x+3m20 和 3x5m+40 是“兄弟方程”，求这两个方程的解 【考点考点 8 一元一次方程的应用（数字问题）】一元一次方程的应用（数字问题）】 【例 8】（2020 秋大渡口区月考）一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与 个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小 27，求这个两位数 【变式 8-1】（2020 秋福田区期末）一个三位数，十位数字是 0，个位数字是百位数字的 2 倍，如果将这 个三位数的个位数字与百位数字调换位置得到一个新的三位数，则这个新的三位数比原三位数的 2 倍少 9，设原三位数的百位数字是 x： （1）原三位数可表示为 ，新三位数可表示为
17、； 7 （2）列方程求解原三位数 【变式 8-2】（2019 秋崇川区校级期末）小明参加启秀期末考试时的考场座位号是由四个数字组成的，这 四个数字组成的四位数有如下特征： （1）它的千位数字为 2； （2）把千位上的数字 2 向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的 2 倍少 1478，求小明 的考场座位号 【变式 8-3】一个五位数，左边三位数是右边两位数的 5 倍，如果把右边二位数移到前面，则新的五位数比 原五位数的 2 倍多 75，求原来的五位数（用方程解） 【考点考点 9 一元一次方程的应用（年龄问题）】一元一次方程的应用（年龄问题）】 【例 9】（2019 秋余杭区期末）今
18、年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，5 年前父亲的年龄比儿子年龄的 4 倍 还大 1 岁，设今年儿子 x 岁，则可列方程为（ ） A4x+1+53（x+5） B3x54（x5）+1 C3x+54（x+5）+1 D4x53（x5）+1 【变式 9-1】（2019 秋咸丰县期末）爷爷快到八十大寿了，小莉想在日历上把这一天圈起来，但不知道是 哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑笑说：“在日历上，那一天的上下左右 4 个日期的和正好等于那天爷 爷的年龄”那么小莉的爷爷的生日是在（ ） A16 号 B18 号 C20 号 D22 号 【变式 9-2】（2020 春蓬溪县期末）今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一
19、，小李发现：12 年之后，他 的年龄变成爷爷的年龄三分之一求小李爷爷今年的年龄 【变式 9-3】（2019 秋延边州期末）古希腊数学家丢番图（公元 34 世纪）的墓碑上记栽着：“他生命的 六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一 生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死 后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了”根据以上信息，请你算出： （1）丢番图的寿命； （2）丢番图开始当爸爸时的年龄； （3）儿子死时丢番图的年龄 【考点考点 10 一元一次方程的应用（折扣问题）】一元一次方程的应用（折扣
20、问题）】 【例 10】（2020 春惠安县期末）某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利 10%，若该书的进价为 24 元，则标价为（ ） 8 A30 元 B31 元 C32 元 D33 元 【变式 10-1】（2019 秋越秀区期末）某商店以每件 120 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 20%，另一 件亏损 20%，那么商店卖出这两件衣服总的是（ ） A亏损 10 元 B不赢不亏 C亏损 16 元 D盈利 10 元 【变式 10-2】（2020毕节市）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏 损 25 元，而按原售价的九折出售，将盈利 20 元，则该商品的原售
21、价为（ ） A230 元 B250 元 C270 元 D300 元 【变式 10-3】（2019 秋沈北新区期末）甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲 服装按 50%的利润定价，乙服装按 40%的利润率定价在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折 出售，这样商店老板共获利 157 元甲、乙两件服装的成本各为多少元？ 【考点考点 11 一元一次方程的应用（利润问题）】一元一次方程的应用（利润问题）】 【例 11】（2019 秋雨花区校级期末）某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共 1000 只，这两种节能灯 的进价、售价如下表： 进价（元/只） 售价（元/只）
22、甲型 25 30 乙型 45 60 （1）如果进货款恰好为 37000 元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ （2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯 的利润率为 20%，请问乙型节能灯需打几折？ 【变式 11-1】（2019 秋武汉期末）武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价 500 元，售价 800 元；乙种服装商品每件售价 1200 元，可盈利 50% （1）每件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元； （2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共 40 件，恰好总进价用去 27500 元，求商场销售完这批服装， 共盈利多少？ （
23、3）在元旦当天，武汉大洋百货实行“满 1000 元减 500 元的优惠”（比如：某顾客购物 1200 元，他只 需付款 700 元）到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满 1000 元减 500 元”的活动张先生 买了一件标价为 3200 元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了 20 元钱问大洋百货商场晚上八点 后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？ 9 【变式 11-2】（2019 秋温岭市期末）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价 98 元，利润率 为 40%；乙种商品每件进价 80 元，售价 128 元 （1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 （2）若该
24、商场同时购进甲、乙两种商品共 50 件，恰好总进价为 3800 元，求购进甲、乙两种商品各多少 件？ （3）在“元旦“期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件， 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于 480 元 不优惠 超过 480 元，但不超过 680 元 其中 480 元不打折，超过 480 元的部分给予 6 折优惠 超过 680 元 按购物总额给予 7.5 折优惠 若小华一次性购买乙种商品实际付款 576 元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【变式 11-3】（2019 秋海州区校级期末）某超市第一次用 3600 元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品 80
25、 件，乙种商品 120 件已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵 5 元甲种商品售价为 20 元/件， 乙种商品售价为 30 元/件（注：获利售价进价） （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每 件少 3 元；甲种商品按原售价提价 a%销售，乙种商品按原售价降价 a%销售，如果第二次两种商品都销 售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多 260 元，那么 a 的值是多少？ 【考点考点 12 一元一次方程的应用（工程问
26、题）】一元一次方程的应用（工程问题）】 【例 12】（2019 秋福田区校级期末）一项工程，甲单独做 5 天完成，乙单独做 8 天完成若甲先做 1 天， 然后甲、乙合作完成此项工作的3 4若设甲一共做了 x 天，则所列方程为（ ） A 5 + +1 8 = 3 4 B 5 + 1 8 = 3 4 C 5 +1 8 = 3 4 D 5 1 8 = 3 4 【变式 12-1】（2019 秋白云区期末）一件工程，甲单独做需 12 天完成，乙单独做需 8 天完成，现先由甲、 乙合作 2 天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要（ ）天才能完成该工程 A63 4 B71 3 C6 D7 1
27、0 【变式 12-2】（2020 春金山区期中）某街道 1000 米的路面下雨时经常严重积水需改建排水系统市政 公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案： 方案一：甲、乙两队合作施工，那么 12 天可以完成； 方案二：如果甲队先做 10 天，剩下的工程由乙队单独施工，还需 15 天才能完成 （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？ 【变式 12-3】（2020 秋南岗区校级月考）某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队 都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷 160 个房间，乙工程队每天能粉刷 240
28、 个房间且单独粉 刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用 20 天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用 1600 元，付乙工程队每天费用 2600 元 （1）求这个小区共有多少间房间？ （2） 为了尽快完成这项工程， 若先由甲、 乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后， 甲工程队停工了， 而乙工程队每天的粉刷速度提高 25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工 程队的工作时间的 2 倍还多 4 天，求乙工程队共粉刷多少天？ （3）经开发商研究制定如下方案： 方案一：由甲工程队单独完成； 方案二：由乙工程队单独完成； 方案三：按（2）问方式完成： 请你通过计算帮开发商
29、选择一种既省时又省钱的粉刷方案 【考点考点 13 一元一次方程的应用（行程问题）】一元一次方程的应用（行程问题）】 【例 13】（2019 春西湖区校级月考）甲、乙两人骑自行车分别从相距 36km 的两地匀速同向而行，如果甲 比乙先出发半小时，那么他们在乙出发后经 3 小时甲追上乙；如果乙比甲先出发 1 小时，那么他们在甲 出发后经 5 小时甲才能追上乙请问：甲、乙两人骑自行车每小时各行多少千米？ 【变式 13-1】（2019 秋朝阳区校级月考）A、B 两地相距 1000 千米，甲列车从 A 地开往 B 地；2 小时后， 乙列车从 B 地开往 A 地，经过 4 小时与甲列车相遇已知甲列车比乙列
30、车每小时多行 50 千米甲列车 每小时行多少千米？ 11 【变式 13-2】（2019 秋兴化市月考）A、B 两地相距 480km，C 地在 A、B 两地之间一辆轿车以 100km/h 的速度从 A 地出发匀速行驶，前往 B 地同时，一辆货车以 80km/h 的速度从 B 地岀发，匀速行驶，前 往 A 地 （1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间； （2）当两车相距 120km 时，求轿车行驶的时间； （3）若轿车到达 B 地后，立刻以 120km/h 的速度原路返回，再次经过 C 地，两次经过 C 地的时间间隔 为 2.2h，求 C 地距离 A 地路程 【变式 13-3】（2019 春西湖区校级
31、月考）甲、乙两汽车从 A 市出发，丙汽车从 B 市出发，甲车每小时行 驶 40 千米，乙车每小时行驶 45 千米，丙车每小时行驶 50 千米如果三辆汽车同时相向而行，丙车遇到 乙车后 10 分钟才能遇到甲车，问何时甲丙两车相距 15 千米？ 【考点考点 14 一元一次方程的应用（面积问题）】一元一次方程的应用（面积问题）】 【例 14】（2019 秋天津期末）如图，宽为 50cm 的长方形图案由 10 个相同的小长方形拼成，其中一个小 长方形的面积为（ ）cm2 A400 B500 C300 D750 【变式 14-1】（2019 秋东阳市期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图 1）
32、按两种不同的方 式，不重叠地放在一个底面为长方形（一边长为 4）的盒子底部（如图 2、图 3），盒子底面未被卡片覆 盖的部分用阴影表示已知阴影部分均为长方形，且图 2 与图 3 阴影部分周长之比为 5：6，则盒子底部 长方形的面积为 12 【变式 14-2】 （2019 秋鄂城区期末）如图，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形 ABCD，其中 GHGK2cm，DC10cm，则长方形 ABCD 的面积为 cm2 【变式 14-3】 （2019 秋沙坪坝区校级期末）重庆市第八中学校为给学生营造良好舒适的休息环境，决定改 造校园内的一小花园，如图是该花园的平面示意图，它是由 6 个
33、正方形拼成的长方形用以种植六种不同 的植物，已知中间最小的正方形 A 的边长是 2 米，正方形 C、D 边长相等请根据图形特点求出该花园 的总面积 【考点考点 15 一元一次方程的应用（方案问题）】一元一次方程的应用（方案问题）】 【例 15】 （2019 秋岐山县期末） 2016 年春节即将来临， 甲、 乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩 甲、 乙两单位共 102 人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够 100 人经了解，该风景区的 门票价格如下表： 数量（张） 150 51100 101 张及以上 单价（元/张） 60 元 50 元 40 元 如果两单位分别单独购买门票，一
34、共应付 5500 元 （1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ （3）如果甲单位有 12 名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该 如何购买门票才能最省钱？ 13 【变式 15-1】（2019 秋当涂县期末）当涂大青山有较为丰富的毛竹资源某企业已收购毛竹 110 吨，根据 市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利 100 元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工 8 吨，每吨可获 利 1000 元；如果进行精加工，每天可加工 1.5 吨，每吨可获利 5000 元，由于受条件限制，在同一
35、天中 只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30 天）内将这批毛竹全部销售为此研究了两种方案： （1）方案一：将收购毛竹全部粗加工后销售，则可获利 元； 方案二：30 天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利 元 （2）是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在 30 天内完成？若存在， 求销售后所获利润；若不存在，请说明理由 【变式 15-2】 （2019 春海阳市期中） 某市组织学术研讨会， 需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点， 客车租赁公司现有 45 座和 60 座两种型号的客车可供租用 （1）已知 60 座的客车每辆每天的租金比
36、45 座的贵 100 元，会务组第一天在这家公司租了 2 辆 60 座和 5 辆 45 座的客车，一天的租金为 1600 元，求 45 座和 60 座的客车每辆每天的租金各是多少元？ （2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案 方案 1：若只租用 45 座的客车，会有一辆客车空出 30 个座位； 方案 2：若只租用 60 座客车，正好坐满且比只租用 45 座的客车少用两辆 请计算方案 1、2 的费用； 从经济角度考虑，还有方案 3 吗？如果你是会务组负责人，应如何确定最终租车方案，并说明理由 【变式 15-3】（2020 秋南浔区校级月考）现有 A、B 两家粮食种植基地往
37、甲、乙两个粮食配送中心运送粮 食，A 地可运出粮食 80 吨，B 地可运出粮食 60 吨，其中甲地需要粮食 90 吨，乙地需要粮食 50 吨，每 吨粮食运费如下：从 A 基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨 500 元和 400 元，从 B 基地运往甲、乙 两中心的运费分别为每吨 200 元和 300 元设 A 地运送到甲中心粮食为 x 吨 （1）请根据题意填写下表（填写表中所有空格）： 运往甲地 运往乙地 A B （2）若某次运送总运费共花去 50000 元，请指出当时的调运方案； （3）按照题（2）的调运方案，从 A 基地往甲中心运送粮食，在运输途中的 E 地接到 F 地商家的一个电 话，
38、该商家需要 25 吨已知 A 基地与 E 地之间的运费为每吨 520 元，甲中心与 F 地之间的运费为每吨 480 元现 A 基地有两种方案运送到甲中心和 F 地商家： 14 方案一：从 E 地直接运送到 F 地商家，运到后把剩下的粮食运到甲中心； 方案二：先把粮食运到甲中心，再运 25 吨到 F 地商家 若方案一比方案二的总运费多 21000 元，则从 E 地到 F 地商家的运费是每吨多少元？ 【考点考点 16 一元一次方程的应用（动点问题）】一元一次方程的应用（动点问题）】 【例 16】（2019 秋市中区期末）如图，在数轴上点 A 表示的有理数为4，点 B 表示的有理数为 6，点 P 从
39、点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度在数轴上沿由 A 到 B 方向运动， 当点 P 到达点 B 后立即返回， 仍 然以每秒 2 个单位长度的速度运动至点 A 停止运动设运动时间为 t（单位：秒） （1）求 t2 时点 P 表示的有理数； （2）求点 P 与点 B 重合时 t 的值； （3）点 P 由点 A 到点 B 的运动过程中，求点 P 与点 A 的距离（用含 t 的代数式表示）； 点 P 由点 A 到点 B 的运动过程中，点 P 表示的有理数是多少（用含 t 的代数式表示）； （4）当点 P 表示的有理数与原点距离是 2 个单位时，直接写出所有满足条件的 t 的值 【变式 16-1】（
40、2020 春道里区期末）已知：如图，点 A、点 B 为数轴上两点，点 A 表示的数为 a，点 B 表 示的数为 b，a 与 b 满足|a+4|+（b8）20动点 P 从点 A 出发，以 2 个单位长度/秒的速度沿数轴向右 运动，同时动点 Q 从点 B 出发，以 1 个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动 （1）直接写出 a、b 的值，a ，b ； （2）设点 P 的运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，P、Q 两点相距 20 个单位长度； （3）若在运动过程中，动点 Q 始终保持原速度原方向，动点 P 到达原点时，立即以原来的速度向相反 的方向运动设点 P 的运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，
41、原点 O 分线段 PQ 为 1：3 两部分 15 【变式 16-2】（2019 秋抚州期末）阅读理解： 【探究与发现】 如图 1，在数轴上点 E 表示的数是 8，点 F 表示的数是 4，求线段 EF 的中点 M 所示的数对于求中点表示 数的问题，只要用点 E 所表示的数8，加上点 F 所表示的数 4，得到的结果再除以 2，就可以得到中点 M 所表示的数：即 M 点表示的数为：8+4 2 = 2 【理解与应用】 把一条数轴在数 m 处对折，使表示20 和 2020 两数的点恰好互相重合，则 m 【拓展与延伸】 如图 2，已知数轴上有 A、B、C 三点，点 A 表示的数是6，点 B 表示的数是 8
42、AC18 （1）若点 A 以每秒 3 个单位的速度向右运动，点 C 同时以每秒 1 个单位的速度向左运动设运动时间为 t 秒 点 A 运动 t 秒后，它在数轴上表示的数表示为 （用含 t 的代数式表示） 当点 B 为线段 AC 的中点时，求 t 的值 （2）若（1）中点 A、点 C 的运动速度、运动方向不变，点 P 从原点以每秒 2 个单位的速度向右运动， 假设 A、C、P 三点同时运动，求多长时间点 P 到点 A、C 的距离相等？ 【变式 16-3】（2020 春南岗区校级月考）如图，在数轴上有两点 A、B，所对应的数分别是 a、b，且满足 a+5 是最大的负整数，b3 是绝对值最小的有理数点 C 在点 A 右侧，到点 A 的距离是 2 个单位长度 （1）数轴上，点 B 表示的数是 ，点 C 表示的数是 （2）点 P、Q 为数轴上两个动点，点 P 从 A 点出发速度为每秒 1 个单位长度，点 Q 从 B 点出发速度为 每秒 2 个单位长度若 P、Q 两点同时出发，相向而行，运动时间为 t 秒求当 t 为何值时，点 P 与点 Q 之间的距离是 3 个单位长度？ 16 （3）在（2）的条件下，在点 P、Q 运动的过程中，是否存在 t 值，使点 Q 到点 A、点 B、点 C 的距离 之和为 15？若存在，求出 t 值，并直接写出此时点 P 在数轴上所表示的数；若不存在，请说明理由
