1、2020年高中物理竞赛量子物理篇(进阶版)19-8波函数、薛定谔方程、一维势阱(共45张PPT)YE.E.薛定谔薛定谔 Y量子力学的量子力学的 广泛发展广泛发展用指数形式表示：用指数形式表示：19-8 19-8 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程)(2cos)(2cos),(txAxtAtxy )(2),(xtiAetxy 单色平面简谐波波动方程为：单色平面简谐波波动方程为：一、波函数一、波函数一个沿一个沿x轴正向运动，能量为轴正向运动，能量为E，动量为，动量为P的自由粒子对的自由粒子对应于沿应于沿x轴正向传播的单色平面物质波，其波函数为：轴正向传播的单色平面物质波，其波函数为：)2cos()
2、,(xtAtx利用尤拉公式：利用尤拉公式：ixexix sincos其中：其中：1 i为虚数单位。为虚数单位。可将波函数写成复数形式：可将波函数写成复数形式：)(iexp)expi()2exp-i(EtpxAtkxAxtA)t,x(E,kph,k22物质波用什么样的波函数描述？物质波用什么样的波函数描述？（下一页）（下一页）沿沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写，方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写，其波函数为：其波函数为：)(20),(xtietx hEph )pxEt(i0e)t,x(微观粒子具有波动性，其运动状态应该用微观粒子具有波动性，其运动状态应该用波函数来描写。波函数来
3、描写。其中波函数模的平方为：其中波函数模的平方为：2)rpEt(i0)rpEt(i0ee 20 )rpEt(i0e)t,r(波函数可写为：波函数可写为：考虑到自由粒子沿考虑到自由粒子沿方向传播的方向传播的三维情况三维情况，rY M.M.玻恩玻恩 Y对量子力学的对量子力学的基础研究，特基础研究，特别是量子力学别是量子力学中波函数的统中波函数的统计解释计解释二、玻恩的统计解释二、玻恩的统计解释 1926 1926年，德国物理学家玻恩（年，德国物理学家玻恩（Born,1882-1972)Born,1882-1972)提出了德布罗意波的统计解释，提出了德布罗意波的统计解释，认为波函数体现了发认为波函数
4、体现了发现粒子的概率（几率）现粒子的概率（几率），这是每个粒子在它所处环境，这是每个粒子在它所处环境中所具有的性质。中所具有的性质。在某处发现一个实物粒子在某处发现一个实物粒子的几率同德布罗意波的几率同德布罗意波 的波函数平方的波函数平方 成正比。成正比。2 如果如果 是复数，就用是复数，就用 代替代替*。2 体积体积 中发现一个粒子的几率为：中发现一个粒子的几率为：ddd*由此由此，代表单位体积内发现一个粒子的代表单位体积内发现一个粒子的几率，因而称几率，因而称几率密度几率密度。*这就是德布罗意波函数的这就是德布罗意波函数的物理意义。物理意义。玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。
5、玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间分布做周期性的变化，是可测量的。分布做周期性的变化，是可测量的。玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测量的量的，一般是，一般是 。它的含义是几率。它的含义是几率。2 对几率分布来说，重要的是相对几率分布。故对几率分布来说，重要的是相对几率分布。故和和 描述的相对几率分布是完全相同的。描述的相对几率分布是完全相同的。c 经典波的波幅如增加一倍，则相应的波动能量经典波的波幅如增加一倍，则相应的波动能量将为原来的四倍，代表了不同的波
6、动状态。将为原来的四倍，代表了不同的波动状态。dxdydzd 粒子在体积元粒子在体积元内出现的几率为：内出现的几率为：dxdydz)z,y,x(d22 dxdydz)z,y,x()z,y,x(的几率，即的几率，即几率密度几率密度为：为：粒子在粒子在 t 时刻，在时刻，在处单位体积出现处单位体积出现(x,y,z)2这就是玻恩对波函数的统计解释。这就是玻恩对波函数的统计解释。波函数必须满足的条件（称为波函数必须满足的条件（称为标准条件标准条件）：）：1.单值单值 2.有限有限 3.连续连续在整个空间出现粒子的几率应等于一，所以：在整个空间出现粒子的几率应等于一，所以：称上式为波函数的称上式为波函数
7、的归一化条件。归一化条件。1dxdydz2 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义用电子双缝衍射实验说明概率波的含义(1)(1)入射强电子流入射强电子流(2)(2)入射弱电子流入射弱电子流 概率波的干涉结果概率波的干涉结果 波函数统计诠释涉及对世界本质的认波函数统计诠释涉及对世界本质的认识争论至今未息。识争论至今未息。哥本哈根学派哥本哈根学派爱因斯坦爱因斯坦狄拉克（狄拉克（19721972）设归一化因子为设归一化因子为C，则归一化的波函数为，则归一化的波函数为(x)=)=C exp(-(-2 2x2 2/2)/2)计算积分得计算积分得 （）取取 0，则归一化的波函数为，则归一化的波函数为 (x)=
8、（）exp(-2x2/2)1)(2dxx例题例题3 3：将波函数将波函数 归一化归一化 2exp22xxf 这就是这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程。一维自由粒子（含时间）薛定谔方程。三、薛定谔方程三、薛定谔方程从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。)pxEt(i0e)t,x(2222px Eit 因为因为代入上两式得到：代入上两式得到：m2pE2 tixm2222 一维自由粒子的波函数为：一维自由粒子的波函数为：tiUxm2222 将将（1），（2）式引入上式的得：式引入上式的得：有势力场中粒子的总能量为：有势力场中粒子的总能量为：),(212txUpmE
9、)t,x(Upm21E2 和和这是这是势场中一维运动粒子的一般薛定谔方程势场中一维运动粒子的一般薛定谔方程 2222px （1）Eit （2）ti)t,x(Uxm2222 对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：ti)t,r(Um222 2222222zyx 称称为为拉普拉斯算符拉普拉斯算符，2 ti)t,r(Um222 四、定态薛定谔方程四、定态薛定谔方程)t(f)r()r(如势函数不是时间的函数，即如势函数不是时间的函数，即)r(UU 代入薛定谔方程得：代入薛定谔方程得：t)t(f)t(f1i)r(Um2122 用分离变量法将波函数写为：用分离变量法
10、将波函数写为：方程左边只是空间坐标的函数，方程左边只是空间坐标的函数，右边只是时间的函数，右边只是时间的函数，只有两边都等于一个常数等式才能成立。只有两边都等于一个常数等式才能成立。令这一常数为令这一常数为E。则：。则：Et)t(f)t(f1i EtiCe)t(f 积分可得积分可得：t)t(f)t(f1i)r(Um2122 令左边也等于令左边也等于E 得到：得到：)r(E)r()r(U)r(m222 这就是这就是定态薛定谔方程定态薛定谔方程Etiertr )(),(t)t(f)t(f1i)r(Um2122 定态定态:能量取确定值的状态能量取确定值的状态定态波函数定态波函数22)(r 与时间无关
11、与时间无关 txEAetitxEEtxpi,)(例：例：能量、动量和坐标算符对沿能量、动量和坐标算符对沿x x方向传播自由方向传播自由 平面波波函数平面波波函数)(),(EtxxpiAetx 的作用的作用 txpAexitxPxEtxpix,)(txxtxx,定义能量算符定义能量算符,动量算符和坐标算符动量算符和坐标算符xxtiptiEx 利用对应关系得利用对应关系得“算符关系等式算符关系等式”),(22txUmpEx),(22txUmpEx 把把“算符关系等式算符关系等式”作用在波函数上得到作用在波函数上得到),(),(2),(222txtxUxmtxti三维情况：三维情况：ipkpjpip
12、zyx),(),(2),(22trtrUmtrti 哈密顿量：哈密顿量：),(222trUmH粒子的总能量粒子的总能量若若0tHH称称 为能量算符为能量算符用哈密顿量表示薛定谔方程用哈密顿量表示薛定谔方程),(),(trHtrti能量算符的本征值问题能量算符的本征值问题 xExHEE 本征值取分立值时的本征值问题本征值取分立值时的本征值问题 xExHnnn E1，E2，.，En，.能量本征值谱能量本征值谱是能量取是能量取E Ei i时的本征态时的本征态i,.,.,21n 本征函数系本征函数系n 量子数量子数谢谢观看谢谢观看19-8 三、三、一维势阱一维势阱 势垒势垒（一）、一维无限深势阱中的粒
13、子（一）、一维无限深势阱中的粒子质量为质量为m的粒子只能在的粒子只能在 0 xa 的区域内自由运动，的区域内自由运动，势能函数为：势能函数为：)0()0(0)(axxaxxV或88x=0 x=aV(x)定态薛定谔方程为：定态薛定谔方程为：)ax0(Edxdm2222 当当 x a 时，时，0)x(（下一页（下一页）求解定态薛定谔方程求解定态薛定谔方程)ax0(0)x(mE2dx)x(d222 )ax0(Edxdm2222 令令22mEk 代入薛定谔方程得：代入薛定谔方程得：0)x(kdx)x(d222 此方程的通解为：此方程的通解为：kxcosBkxsinA)x(由于阱壁无限高，所以由于阱壁无
14、限高，所以0)0(0)a()1(0)0cos(B)0sin(A )2(0)acos(B)asin(A （下一页（下一页）由式（由式（1）得）得 B=0 波函数为：波函数为：)1(0)0cos(B)0sin(A )2(0)acos(B)asin(A kxsinA)x(由式（由式（2）得）得0kasinA 于是于是)3,2,1n(ank,nka anmEk22即即:由此得到粒子的能量由此得到粒子的能量nE 3,2,1n,n)ma2(E2222n（下一页（下一页）3,2,1n,n)ma2(E2222n nE称为本问题中能量称为本问题中能量E 的的本征值本征值.势阱中的粒子其能量是势阱中的粒子其能量是
15、量子化量子化。当当 n=1,粒子具有最低能量粒子具有最低能量1E2221ma2E 12nEnE n叫作叫作量子数（主量子数）量子数（主量子数）称为称为基态能级基态能级22ma8h（下一页（下一页）1EE,1n oaxE势势阱阱中中粒粒子子能能级级图图2EE,2n 3EE,3n 4EE,4n （下一页（下一页）与与 En 相对应的本征函数，即本问题的解为：相对应的本征函数，即本问题的解为：式中常数可由归一化条件求得。式中常数可由归一化条件求得。最后得到薛定谔方程的解为：最后得到薛定谔方程的解为：)ax0()xansin(A)x(n dx)xan(sinAdx)x(a0222n 12aA2 a2A
16、 得到得到)ax0()xansin(a2)x(n （下一页（下一页）221ma8hE )xasin(a2)x(1 222ma8h4E )xa2sin(a2)x(2 223ma8h9E )xa3sin(a2)x(3 )xa4sin(a2)x(4 224ma8h16E （下一页（下一页）一一维维无无限限深深势势阱阱中中=1=2=3=4x粒粒子子的的波波函函数数0nnnna)x(x0a2)x(（下一页（下一页）例题：例题：在阱宽为在阱宽为a a 的无限深势阱中的无限深势阱中,一个粒一个粒子的状态为子的状态为axaxxf 2sinsin)(多次测量其能量。问多次测量其能量。问每次可能测到的值和相应概率
17、？每次可能测到的值和相应概率？能量的平均值？能量的平均值？解：解：已知无限深势阱中粒子的已知无限深势阱中粒子的 ,3,2,1,sin2)(nxanaxn ,3,2,1,22222nnmaEn（下一页（下一页）)()(xfCx 则则多次测量能量多次测量能量(可能测到的值可能测到的值)2222112maE 2222222,maE axaaxa 2sin2sin221能量的平均值能量的平均值222212252121maEEE 概率各概率各1/21/2)(21)(2121xx （下一页（下一页）势垒贯穿（隧道效应）势垒贯穿（隧道效应）在经典力学中在经典力学中,若若 ,粒子的粒子的动能为正动能为正,它只
18、能在它只能在 I 区中运动。区中运动。即粒子运动到势垒左边缘就被即粒子运动到势垒左边缘就被反射回去，不能穿过势垒。反射回去，不能穿过势垒。0VU 0VVOaIIIxIII在量子力学中在量子力学中,无论粒子能量是大于还是无论粒子能量是大于还是小于小于 都有一定的几率穿过势垒，也有都有一定的几率穿过势垒，也有一定的几率被反射。一定的几率被反射。0V0VU 我们下面只就我们下面只就 时，讨论薛定谔方程的解。时，讨论薛定谔方程的解。（下一页（下一页）势垒的势场分布写为：势垒的势场分布写为：axxxV,0,0)(axVxV0,)(0在三个区间内波函数应遵从的在三个区间内波函数应遵从的薛定谔方程分别为：薛
19、定谔方程分别为：0VVOaIIIxIII定态薛定谔方程定态薛定谔方程的解又如何呢？的解又如何呢？0),()(212122xxEdxxdmaxxExVdxxdm0),()()(22202222axxEdxxdm),()(232322（下一页（下一页）0,0)()(12212xxkdxxdaxxkdxxd0,0)()(221222axxkdxxd,0)()(322322021)(2EVmk222mEk 令：令：定态解的含时部分：定态解的含时部分：)exp()(tEiAtf 三个区间的薛定谔方程化为：三个区间的薛定谔方程化为：（下一页（下一页）0,Re)(1xAexikxikx若考虑粒子是从若考虑粒
20、子是从 I 区入射，在区入射，在 I 区中有入射波区中有入射波反射波；粒子从反射波；粒子从I区经过区经过II区穿过势垒到区穿过势垒到III 区，区，在在III区只有透射波。粒子在处的几率要大区只有透射波。粒子在处的几率要大于在处出现的几率。于在处出现的几率。0 xax其解为：其解为：axTexxk0,)(12axCexikx,)(3根据边界条件：根据边界条件：)0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32时、空异号时、空异号为右行波为右行波（下一页（下一页）求出解的形式画于图中。求出解的形式画于图中。定义粒子穿过势垒的贯穿系数：
21、定义粒子穿过势垒的贯穿系数：2123|)0(|)(|aP)02exp()2exp(|)0(|)(|112222kTakTaP)(22exp()2exp(01EVmaak0VVaoxIIIIII隧道效应隧道效应当当 ，势垒的宽度，势垒的宽度a约约50nm 以上时，以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。eVEV50（下一页（下一页）隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜STM由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于由于电子的隧道效应，金属中的电子并不
22、完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。只要将原子线度的极细探针只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。面电子云就可能重叠。若在样品与针尖若在样品与针尖之间加一微小电之间加一微小电压压Ub电子就会穿电子就会穿过电极间的势垒过电极间的势垒形成隧道电流。形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十
23、分敏感。若控制隧道电隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。品表面的起伏。Scanning tunneling microscopy（下一页（下一页）因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度的分布；高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度的分布；使人类第一次能够实时地观使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排测到单个原子在物质表面上的排列
24、状态以及与表面电子行为有关列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。意义和广阔的应用前景。空气隙空气隙STM工作示意图工作示意图样品样品探针探针 利用利用STM可以分辨表面上可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面阵列。可以直接绘出表面的三维图象的三维图象（下一页（下一页）SAUeI 4848个个Fe原子形成原子形成“量子围栏量子围栏”，围栏，围栏中的电子形成驻波中的电子形成驻波.隧道电流隧道电流I与样品和与样品和针尖间距离针尖间距离S的关系的关系（下一页（下一页）利用光学中的受抑全反射理论，研制利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技术。年提出成象技术。它可用于不导电样品的观察。它可用于不导电样品的观察。STM样品样品必须具有一定程度的导电性；必须具有一定程度的导电性；在恒流工作模式下有时对表面某些沟在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一种技术都有槽不能准确探测。任何一种技术都有其局限性。其局限性。（结束）（结束）谢谢观看！
