1、 抛物线方程及性质的应用1.1.直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系(1)(1)直线与抛物线的位置关系有直线与抛物线的位置关系有_、_、_._.(2)(2)直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线有直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线有_个交点个交点.相离相离相切相切相交相交1 1x xy yF F2.2.弦长公式弦长公式设直线设直线l的方程为：的方程为：y=kx+my=kx+m，抛物线的方程为，抛物线的方程为y y2 2=2px(p=2px(p0)0)，直线与抛物线相交，两个交点直线与抛物线相交，两个交点P P1 1，P P2 2,将直线方程与抛物线方将直线方程与抛物线方程联立整
2、理成关于程联立整理成关于x(x(或或y)y)的一元二次方程形式：的一元二次方程形式：AxAx2 2+Bx+C=0(+Bx+C=0(或或AyAy2 2+By+C=0).+By+C=0).设设P P1 1(x(x1 1,y,y1 1)，P P2 2(x(x2 2,y,y2 2)，则弦长，则弦长|P|P1 1P P2 2|=|x|=|x1 1-x-x2 2|或或|y|y1 1-y-y2 2|.|.21k211k1.1.直线与抛物线只有一个公共点时，当且仅当直线与抛物线相直线与抛物线只有一个公共点时，当且仅当直线与抛物线相切，对吗？切，对吗？提示：提示：不对不对.直线与抛物线只有一个公共点包括两种情况
3、：直线与抛物线只有一个公共点包括两种情况：相切；相切；直线为抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴平行直线为抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴平行.2.2.过坐标平面上任意一点都能作出抛物线的切线吗过坐标平面上任意一点都能作出抛物线的切线吗?提示：提示：不一定不一定.根据点的位置不同而确定，当点在抛物线内部根据点的位置不同而确定，当点在抛物线内部时，作不出切线时，作不出切线.3.3.抛物线抛物线y y2 2=4x=4x被直线被直线y=xy=x所截，截得弦长是所截，截得弦长是_._.【解析【解析】方法一：把抛物线方法一：把抛物线y y2 2=4x=4x和直线和直线y=xy=x联立得方程组：联立得方程组：
4、即交点坐标是即交点坐标是(0,0)(0,0)和和(4,4)(4,4)，根据两点间距离公式得根据两点间距离公式得方法二：把抛物线方法二：把抛物线y y2 2=4x=4x和直线和直线y=xy=x联立方程组：联立方程组：消元得消元得x x2 2-4x=0-4x=0，设两交点的横坐标为，设两交点的横坐标为x x1 1,x,x2 2，解得，解得x x1 1=0=0，x x2 2=4,=4,直线斜率为直线斜率为1 1，代入弦长公式得：，代入弦长公式得：答案答案:2yxx0 x4y0y4y4x，解得或，2204044 2.2yxy4x，1 1 044 2.4 2对抛物线的焦半径与焦点弦的认识对抛物线的焦半径
5、与焦点弦的认识(1)(1)焦半径：抛物线上一点与焦点焦半径：抛物线上一点与焦点F F连线得到的线段叫做焦半连线得到的线段叫做焦半径径.(2).(2)焦点弦焦点弦:过焦点的直线与抛物线相交所得到的弦叫做焦过焦点的直线与抛物线相交所得到的弦叫做焦点弦点弦.(3).(3)求抛物线的焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而求抛物线的焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线定义的功能，即把点点距转化为点线距解决是借助于抛物线定义的功能，即把点点距转化为点线距解决.设抛物线上任意一点设抛物线上任意一点P(xP(x0 0,y,y0 0)，焦点弦的端点为，焦点弦的端点为A(xA(x1 1,y,y1 1)
6、,),B(xB(x2 2,y,y2 2)，则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下，则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半径及焦点弦长，公式如下：的焦半径及焦点弦长，公式如下：标准标准方程方程焦半焦半径径|PF|PF|焦点焦点弦弦|AB|AB|y y2 2=2px=2px(p0)(p0)y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)|AB|=|AB|=x x1 1+x+x2 2+p+p|AB|=|AB|=p-(xp-(x1 1+x+x2 2)|AB|=|AB|=y y1 1+y+y2
7、2+p+p|AB|=|AB|=p-(yp-(y1 1+y+y2 2)|PF|=|PF|=x x0 0+p2|PF|=|PF|=-x -x0 0p2|PF|=|PF|=y y0 0+p2|PF|=|PF|=-y -y0 0p2 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系判断直线与抛物线位置关系的两种方法判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)(1)几何法几何法利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果；差影响判断的结果；(2)(2)代数法代数法设直线设直线l的方程为：的方程为：y=kx+my=kx+m，抛物线的方
8、程为，抛物线的方程为y y2 2=2px(p=2px(p0)0)，将，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(x(或或y)y)的一元二次方程的一元二次方程形式：形式：AxAx2 2+Bx+C=0(+Bx+C=0(或或AyAy2 2+By+C=0).+By+C=0).相交：相交：有两个交点：有两个交点：有一个交点：有一个交点：A=0(A=0(直线与抛物线的对称轴平行，即相交直线与抛物线的对称轴平行，即相交););相切：有一个公共点，即相切：有一个公共点，即相离：没有公共点，即相离：没有公共点，即A0;0A0;0=A0.0【典例训练【典例训练】1.1.过点过点(0
9、(0，-1)-1)的直线与抛物线的直线与抛物线x x2 2=-2y=-2y公共点的个数为公共点的个数为()()(A)0 (B)1 (C)2 (D)1(A)0 (B)1 (C)2 (D)1或或2 22.2.过点过点P(0,3)P(0,3)且与抛物线且与抛物线y y2 2=5x=5x只有一个公共点的直线方程分别只有一个公共点的直线方程分别为为_._.【解析【解析】1.1.选选D.D.因为点因为点(0(0，-1)-1)在抛物线内部，故过该点的直在抛物线内部，故过该点的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的，斜率存线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的，斜率存在时，有两个公共点，因此
10、公共点的个数是在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1 1个或个或2 2个个.2.2.分斜率存在和不存在两种情况讨论分斜率存在和不存在两种情况讨论.(1)(1)斜率不存在时斜率不存在时,过过P(0P(0，3)3)的直线方程是的直线方程是x=0;x=0;(2)(2)斜率存在时，设斜率为斜率存在时，设斜率为k k，则直线方程为，则直线方程为y=kx+3y=kx+3，与抛物，与抛物线方程线方程y y2 2=5x=5x联立得方程组联立得方程组 消去消去x x得得kyky2 2-5y+15=0-5y+15=0，当当k=0k=0时，解得时，解得y=3y=3，当，当k0k0时，时，=(-5)=(-5)2 2
11、-4k-4k15=015=0解得解得k=k=，代入直线方程得，代入直线方程得5x-12y+36=05x-12y+36=0，综上，所求直线方程是，综上，所求直线方程是x=0 x=0，y=3y=3，5x-12y+36=0.5x-12y+36=0.答案答案:x=0 x=0，y=3y=3，5x-12y+36=05x-12y+36=02ykx3y5x，512【归纳【归纳】解答题解答题2 2的注意点的注意点.提示：提示：设直线方程时要注意斜率存在与不存在两种情况讨论，设直线方程时要注意斜率存在与不存在两种情况讨论，否则会丢根否则会丢根.求抛物线被直线所截弦长求抛物线被直线所截弦长弦长的求法及注意点弦长的求
12、法及注意点(1)(1)求抛物线被直线所截弦长常用的方法是设而不求，结合根求抛物线被直线所截弦长常用的方法是设而不求，结合根与系数的关系，利用弦长公式求弦长与系数的关系，利用弦长公式求弦长.(2)(2)弦长公式弦长公式 (3)(3)化简整理出的一元二次方程形式中，注意化简整理出的一元二次方程形式中，注意0 0此方法可此方法可以推广到任意的二次曲线以推广到任意的二次曲线.22212121212121221|PP|1kxx4x xPP(1)yy4y y.k或【典例训练【典例训练】1.1.抛物线抛物线y y2 2=12x=12x截直线截直线y=2x+1y=2x+1所得弦长等于所得弦长等于_._.2.2
13、.设抛物线设抛物线y y2 2=4x=4x截直线截直线y=2x+ky=2x+k所得的弦长所得的弦长|AB|=|AB|=则则k=_.k=_.3 5，【解析【解析】1.1.解题流程解题流程:答案答案:152.2.把抛物线把抛物线y y2 2=4x=4x与直线与直线y=2x+ky=2x+k联立得方程组联立得方程组消元消元y y整理得整理得4x4x2 2+(4k-4)x+k+(4k-4)x+k2 2=0=0，=(4k-4)=(4k-4)2 2-4-44 4k k2 20 0即即k k ，设两交点为，设两交点为A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),利用根与系数的
14、关利用根与系数的关系知系知x x1 1+x+x2 2=1-k=1-k，x x1 1x x2 2=,=,代入弦长公式得代入弦长公式得|AB|=|AB|=解得解得k=-4.k=-4.答案答案:-4-42y2xky4x，122k42(12)22k1k43 54，【互动探究【互动探究】若题若题2 2中题干不变中题干不变,k,k取何值时直线与抛物线无交取何值时直线与抛物线无交点？点？【解析【解析】把抛物线把抛物线y y2 2=4x=4x与直线与直线y=2x+ky=2x+k联立方程组得联立方程组得消元消元y y整理得整理得4x4x2 2+(4k-4)x+k+(4k-4)x+k2 2=0=0，=(4k-4)
15、=(4k-4)2 2-4-44 4k k2 20 0解解得得k k .综上，当综上，当k k 时直线与抛物线没有交点时直线与抛物线没有交点.2y2xky4x，1212【想一想【想一想】解答题解答题1 1的关键是什么？解答题的关键是什么？解答题2 2应注意的问题是什应注意的问题是什么么?提示：提示：(1)(1)关键是联立直线与抛物线方程利用弦长公式求解关键是联立直线与抛物线方程利用弦长公式求解.(2)(2)利用弦长公式求解利用弦长公式求解k k的取值时要注意满足直线与抛物线联立的取值时要注意满足直线与抛物线联立后一元二次方程的后一元二次方程的0 0 平分弦平分弦解决平分弦问题常用方法解决平分弦问
16、题常用方法(1)(1)点差法点差法.设而不求，结合中点坐标公式设而不求，结合中点坐标公式.(2)(2)待定系数法待定系数法.(3)(3)对称点法对称点法.利用对称点都在抛物线上，满足抛物线方程求解利用对称点都在抛物线上，满足抛物线方程求解.【典例训练【典例训练】1.1.已知抛物线已知抛物线y y2 2=2x=2x，点，点(5,0)(5,0)恰是直线被抛物线所截得的弦的恰是直线被抛物线所截得的弦的中点，则直线方程是中点，则直线方程是_._.2.2.抛物线抛物线y y2 2=-8x=-8x中，以中，以(-1,1)(-1,1)为中点的弦的直线方程是为中点的弦的直线方程是_._.【解析【解析】1.1.
17、由于由于(5,0)(5,0)恰在抛物线对称轴上，能符合题意的直恰在抛物线对称轴上，能符合题意的直线与对称轴垂直，故直线方程是线与对称轴垂直，故直线方程是x=5.x=5.答案答案:x=5x=52.2.方法一：设弦的两个端点坐标为方法一：设弦的两个端点坐标为A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)，则有，则有y y1 12 2=-8x=-8x1 1,y,y2 22 2=-8x=-8x2 2，两式相减得，两式相减得(y(y1 1+y+y2 2)(y)(y1 1-y-y2 2)=-8(x)=-8(x1 1-x-x2 2)，则直线的斜率则直线的斜率k=k=由于由于(-1
18、,1)(-1,1)为中点，为中点，=1=1即即y y1 1+y+y2 2=2,k=-4=2,k=-4，所以直线斜率为，所以直线斜率为-4-4且过且过点点(-1,1)(-1,1)，则直线方程是，则直线方程是y-1=-4(x+1)y-1=-4(x+1)，整理得直线方程，整理得直线方程4x+y+3=0.4x+y+3=0.121212yy8.xxyy12yy21288yy2方法二：设抛物线方法二：设抛物线y y2 2=-8x=-8x关于点关于点(-1,1)(-1,1)对称的抛物线上的任意对称的抛物线上的任意点为点为(x,y(x,y)，则点，则点(x,y(x,y)关于点关于点(-1(-1，1)1)的对称点的对称点(-2-x,2-y)(-2-x,2-y)必必在抛物线在抛物线y y2 2=-8x=-8x上，所以有上，所以有 (2-y)(2-y)2 2=-8(-2-x)=-8(-2-x)两式相减得两式相减得 4-4-4y=16x+164y=16x+16即即4x+y+3=04x+y+3=0为所求直线的方程为所求直线的方程.答案答案:4x+y+3=04x+y+3=0【想一想【想一想】解答题解答题2 2的关键点是什么？的关键点是什么？提示：提示：解答题解答题2 2的关键是设出坐标联立方程组求解或抓住抛物的关键是设出坐标联立方程组求解或抓住抛物线的对称性求解线的对称性求解.
