1、 - 1 - 大题考法专训（八）大题考法专训（八） 导数的综合问题导数的综合问题 A 级级中档题保分练中档题保分练 1已知函数已知函数 f(x)ln x4ax，g(x)xf(x) (1)若若 a1 8，求 ，求 g(x)的单调区间；的单调区间； (2)若若 a0，求证：，求证：f(x) 1 4a 2. 解：解：(1)由由 a1 8，得 ，得 g(x)xln x1 2x 2(x 0)， 所以所以 g(x)ln xx1. 令令 h(x)ln xx1，则，则 h(x)1 x x ， 故故 h(x)在在(0,1)上单上单调递增，在调递增，在(1，)上单调递减，上单调递减，h(x)maxh(1)0， 从
2、而当从而当 x0 时，时，g(x)0 恒成立，恒成立， 故故 g(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间，无单调递增区间 (2)证明：证明：f(x)1 x 4a1 4ax x ， 由由 a0，令，令 f(x)0，得，得 x 1 4a，故 ，故 f(x)在在 0， 1 4a 上单调递增，在上单调递增，在 1 4a， ， 上单调递上单调递 减，减， 所以所以 f(x)maxf 1 4a ln 1 4a 1， 所以只需证明所以只需证明 ln 1 4a 1 1 4a 2， 即证明即证明 ln 4a 1 4a 10. 令令 (a)ln 4a 1 4a 1，则，则 (a)1 a 1
3、4a2 4a 1 4a2 ， 令令 (a)0，得，得 a1 4，令 ，令 (a)0，得，得 0a1 4，所以 ，所以 (a)在在 0，1 4 上单调递减，在上单调递减，在 1 4， ， 上单调递增，上单调递增， 所以所以 (a)min 1 4 0， 所以所以 ln 4a 1 4a 10，原不等式得证，原不等式得证 2(2019 郑州第二次质量预测郑州第二次质量预测)已知函数已知函数 f(x)axln xbx2ax. - 2 - (1)若曲线若曲线 yf(x)在点在点(1，f(1)处的切线方程为处的切线方程为 xy1 2 0，求，求 a，b 的值；的值； (2)若若 a0，b1 2时， 时，x1
4、，x2(1，e)，都有，都有|f x1 f x2 | |x1x2| 3，求，求 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)由题意知，由题意知，f(x)a(1ln x)2bxaaln x2bx，则，则 f(1)2b1，所以，所以 b1 2， ， 又又 f(1)ba3 2，所以 ，所以 a1. 即即 a1，b1 2. (2)当当 a0，b1 2时， 时，f(x)aln xx0 在在(1，e)上恒成立，上恒成立， 所以所以 f(x)在在(1，e)上单调递减上单调递减 不妨设不妨设 x1x2，则，则 f(x1)f(x2)，原不等式可化为，原不等式可化为f x1 f x2 x2x1 3， 即即 f(x1)
5、f(x2)3x23x1， 即即 f(x1)3x1f(x2)3x2. 令令 g(x)f(x)3x，则，则 g(x)在在(1，e)上单调递上单调递增，增， 所以所以 g(x)f(x)3aln xx30 在在(1，e)上恒成立，上恒成立， 即即 ax 3 ln x 在在 x(1，e)上恒成立上恒成立 令令 h(x)x 3 ln x ，x(1，e)，h(x) ln x3 x 1 ln x 2 ， 令令 (x)ln x3 x 1，x(1，e)， 则则 (x)1 x 3 x2 x 3 x2 0， 所以所以 (x)在在(1，e)上单上单调递减，调递减，(x)(e)3 e 0， 所以所以 h(x)0，h(x)
6、在在(1，e)上单调递增，上单调递增，h(x)h(e)e3，所以，所以 ae3. 综上，综上，a 的取值范围为的取值范围为e3,0 3已知函数已知函数 f(x)a 2(x 1)2xln x(a0) (1)讨论讨论 f(x)的单调性；的单调性； (2)若若 1ae，试判断，试判断 f(x)的零点个数的零点个数 解：解：(1)函数函数 f(x)的定义域为的定义域为(0，)， f(x)a(x1)11 x x 1 ax1 x ， - 3 - 令令 f(x)0，则，则 x11，x21 a， ， 若若 a1，则，则 f(x)0 恒成立，恒成立， 所以所以 f(x)在在(0，)上单调递增上单调递增 若若 0
7、a1，则，则1 a 1， 当当 x(0,1)时，时，f(x)0，f(x)单调递增，单调递增， 当当 x 1，1 a 时，时，f(x)0，f(x)单调递减，单调递减， 当当 x 1 a， ， 时，时，f(x)0，f(x)单调递增单调递增 若若 a1，则，则 01 a 1， 当当 x 0，1 a 时，时，f(x)0，f(x)单调递增，单调递增， 当当 x 1 a， ，1 时，时，f(x)0，f(x)单调递减，单调递减， 当当 x(1，)时，时，f(x)0，f(x)单调递增单调递增 综上所述，当综上所述，当 a1 时，时，f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 0a1 时，时，f(x)在
8、在(0,1)， 1 a， ， 上单调递增，在上单调递增，在 1，1 a 上单调递减；上单调递减； 当当 a1 时，时，f(x)在在 0，1 a ，(1，)上单调递增，在上单调递增，在 1 a， ，1 上单调递减上单调递减 (2)当当 1ae 时，时，f(x)在在 0，1 a (1，)上单调递增，在上单调递增，在 1 a， ，1 上单调递减，上单调递减， 所以所以 f(x)的极小值为的极小值为 f(1)10， f(x)的极大值为的极大值为 f 1 a a 2 1 a 1 2 1 a ln 1 a a 2 1 2a ln a1. 设设 g(a)a 2 1 2a ln a1，其中，其中 a(1，e)
9、， 则则 g(a)1 2 1 2a2 1 a a 2 2a1 2a2 a 1 2 2a2 0， 所以所以 g(a)在在(1，e)上单调递增，上单调递增， 所以所以 g(a)g(e)e 2 1 2e 20. 因为因为 f(4)a 2(4 1)24ln 41 2 94ln 4ln 41 2 0， 所以存在所以存在 x0(1,4)，使，使 f(x0)0， 所以当所以当 1ae 时，时，f(x)有且只有一个零点有且只有一个零点 B 级级拔高题满分练拔高题满分练 - 4 - 1已知函数已知函数 f(x)ln xa 1 x 1 ，aR R. (1)若若 f(x)0，求实数，求实数 a 的取值集合；的取值集
10、合； (2)证明：证明：ex1 x 2ln xx2(e2)x. 解：解：(1)由已知，有由已知，有 f(x)1 x a x2 x a x2 (x0) 当当 a0 时，时，f 1 2 ln 2a0，与条件，与条件 f(x)0 矛盾，不合题意矛盾，不合题意 当当 a0 时，若时，若 x(0，a)，则，则 f(x)0，f(x)单调递减单调递减 若若 x(a，)，则，则 f(x)0，f(x)单调递增单调递增 f(x)在在(0，)上有最小值上有最小值 f(a)ln aa 1 a 1 ln a1a. 由由 f(x)0，知，知 ln a1a0. 令令 g(x)ln xx1(x0)，则，则 g(x)1 x 1
11、1 x x . 当当 x(0,1)时，时，g(x)0，g(x)单调递增；单调递增； 当当 x(1，)时，时，g(x)0，g(x)单调递减单调递减 g(x)在在(0，)上有最大值上有最大值 g(1)0， g(x)ln xx10. ln aa10. ln aa10，a1. 综上，当综上，当 f(x)0 时，实数时，实数 a 的取值集合为的取值集合为1 (2)证明：由证明：由(1)可知，当可知，当 a1 时，时，f(x)0，即，即 ln x11 x在 在(0，)上恒成立，上恒成立， 要证要证 ex1 x 2ln xx2(e2)x， 只需证当只需证当 x0 时，时，exx2(e2)x10. 令令 h(
12、x)exx2(e2)x1(x0)， 则则 h(x)ex2x(e2) 令令 u(x)ex2x(e2)，则，则 u(x)ex2. 令令 u(x)0，得，得 xln 2. 当当 x(0，ln 2)时，时，u(x)0，u(x)单调递减；单调递减； 当当 x(ln 2，)时，时，u(x)0，u(x)单调递增单调递增 即即 h(x)在在(0，ln 2)上单调递减，在上单调递减，在(ln 2，)上单调递增上单调递增 而而 h(0)1(e2)3e0，h(ln 2)h(1)0， 存在存在 x0(0，ln 2)，使得，使得 h(x0)0. - 5 - 当当 x(0，x0)时，时，h(x)0，h(x)单调递增；当单
13、调递增；当 x(x0,1)时，时，h(x)0，h(x)单调递减；单调递减； 当当 x(1，)时，时，h(x)0，h(x)单调递增单调递增 又又 h(0)110，h(1)e1(e2)10， 对任意对任意 x0，h(x)0 恒成立，恒成立， 即即 exx2(e2)x10. 综上所述，综上所述，ex1 x 2ln xx2(e2)x 成立成立 2已知函数已知函数 f(x)ln x2 x 1 1x ，g(x) ex 1 2x3. (1)求函数求函数 f(x)在在1，)上的最小值；上的最小值； (2)设设 ba0，证明：，证明： ba ln bln a a b 2 ； (3)若存在实数若存在实数 m，使方
14、程，使方程 g(x)m 有两个实数根有两个实数根 x1，x2，且，且 x2x13 2，证明： ，证明：x1x2 5. 解：解：(1)因为因为 f(x)1 x 2 1 x x1 1x 2 x1 2 x 1x 2 0， 所以所以 f(x)在在1，)上单调递增上单调递增 又又 f(1)0，所以，所以 f(x)minf(1)0. (2)证明：由证明：由(1)知，当知，当 x1，)时，时，f(x)ln x2 x 1 1x 0，即，即 ln x2 x 1 1x ， 由由 ba0，得，得b a 1，所以，所以 ln b a 2 b a 1 1b a ， 化简得化简得 ln bln a2 b a ba ， 所
15、以所以 ba ln bln a a b 2 . (3)证明：由证明：由ex1 1 2x13 ex2 1 2x23 m， 可得可得 ln ex11 2x13 ln ex21 2x23， ， 即即 ln ex11ln(2x13)ln ex21ln(2x23)， 所以所以 ln(2x23)ln(2x13)x2x1 2x2 3 2x13 2 . 所以由所以由(2)知，知，2 2x13 2x23 ln 2x13 ln 2x23 2x1 3 2x23 2 ，化简得，化简得2 x1 x2 6 2 2， - 6 - 即即 x1x25. 3(2019 洛阳统考洛阳统考)已知函数已知函数 f(x)1 2x 2 a
16、ln x. (1)讨论函数讨论函数 f(x)的单调性；的单调性； (2)若若 a0，函数，函数 f(x)在区间在区间(1，e)上恰有两个零点，求上恰有两个零点，求 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)f(x)xa x x 2 a x (x0) a0 时，时，f(x)0，所以，所以 f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； a0 时，由时，由 f(x)0，得，得 x a；由；由 f(x)0，得，得 0x a， 所以所以 f(x)在在(0， a)上单调递减，在上单调递减，在( a，)上单调递增上单调递增 综上，当综上，当 a0 时，时，f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 a
17、0 时，时，f(x)在在(0， a)上单调递减，在上单调递减，在( a，)上单调递增上单调递增 (2)当当 a0 时，由时，由(1)知知 f(x)在在(0， a)上单调递减，在上单调递减，在( a，)上单调递增，上单调递增， 若若 a1，即，即 0a1 时，时，f(x)在在(1，e)上单调递增，上单调递增， f(1)1 2， ，f(x)在区间在区间(1，e)上无零上无零点点 若若 1 ae，即，即 1ae2时，时，f(x)在在(1， a)上单调递减，在上单调递减，在( a，e)上单调递增，上单调递增， 所以所以 f(x)minf( a)1 2a(1 ln a) 若函数若函数 f(x)在区间在区间(1，e)上恰有两个零点，上恰有两个零点， 则需满足则需满足 f 1 1 2 0， f a 1 2a 1 ln a 0， f e 1 2e 2 a0， 解得解得 ea1 2e 2. 若若 ae，即，即 ae2时，时，f(x)在在(1，e)上单调递减，上单调递减， f(1)1 2 0，f(e)1 2e 2 a0，f(x)在区间在区间(1，e)上有一个零点上有一个零点 综上，综上，f(x)在区间在区间(1，e)上恰有两个零点时，上恰有两个零点时，a 的取值范围是的取值范围是 e，1 2e 2 .
