1、 - 1 - 小题考法专训（九）小题考法专训（九） 基本初等函数、函数与方程基本初等函数、函数与方程 A 级级保分小题落实练保分小题落实练 一、选择题一、选择题 1幂函数幂函数 yf(x)的图象经过点的图象经过点(3， 3)，则，则 f(x)是是( ) A偶函数，且在偶函数，且在(0，)上是增函数上是增函数 B偶函数，且在偶函数，且在(0，)上是减函数上是减函数 C奇函数，且在奇函数，且在(0，)上是减函数上是减函数 D非奇非偶函数，且在非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数上是增函数 解析：解析：选选 D 设幂函数设幂函数 f(x)xa，则，则 f(3)3a 3，解得，解得 a1 2，则 ，则
2、 f(x)x 1 2 x，是非，是非 奇非偶函数，且在奇非偶函数，且在(0，)上是增函数上是增函数 2函数函数 yax 2 1(a0，且，且 a1)的图象恒过的点是的图象恒过的点是( ) A(0,0) B(0，1) C(2,0) D(2，1) 解析：解析：选选 C 令令 x20，得，得 x2，所以当，所以当 x2 时，时，ya010，所以，所以 yax 2 1(a0，且，且 a1)的图象恒过点的图象恒过点(2,0) 3已知已知 a0.50.8，b0.80.5，c0.80.8，则，则( ) Acba Bcab Cabc Dacb 解析：解析：选选 D y0.8x在在 R 上为单调递减函数，上为单
3、调递减函数， c0.80.8b0.80.5. yx0.8在在(0，)上为单调递增函数，上为单调递增函数， a0.50.8c0.80.8，acb. 4已知函数已知函数 f(x) 1 2 x cos x，则，则 f(x)在在0,2上的零点个数为上的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析：选选 C 作出作出 g(x) 1 2 x与 与 h(x)cos x 的图象的图象(图略图略)，可以看到其在，可以看到其在0,2上的交点上的交点 个数为个数为 3，所以函数，所以函数 f(x)在在0,2上的零点个数为上的零点个数为 3，故选，故选 C. 5若函数若函数 f(x)(x21) 2xm 2x1
4、是奇函数，则 是奇函数，则 m 的值是的值是( ) A1 B1 C2 D2 - 2 - 解析：解析：选选 B 设设 g(x)x21，h(x)2 x m 2x1，易知 ，易知 g(x)x21 是偶函数，则依题意可得是偶函数，则依题意可得 h(x)2 x m 2x1是奇函数，故 是奇函数，故 h(x)2 x m 2 x 1 h(x)2 x m 2x1，化简得 ，化简得 2xmm 2x1，解，解 得得 m1.选选 B. 6已知实数已知实数 a2ln 2，b22ln 2，c(ln 2)2，则，则 a，b，c 的大小关系是的大小关系是( ) Acba Bcab Cbac Dacb 解析：解析：选选 B
5、因为因为 0ln 21，所以，所以 a2ln 2(1,2)，c(ln 2)2(0,1)又又 b22ln 22 ln 4(3,4)，故，故 cab.故选故选 B. 7(2019 全国卷全国卷)函数函数 f(x)2sin xsin 2x 在在0,2的零点个数为的零点个数为( ) A2 B3 C4 D5 解析：解析：选选 B 令令 f(x)0，得，得 2sin xsin 2x0， 即即 2sin x2sin xcos x0， 2sin x(1cos x)0，sin x0 或或 cos x1. 又又 x0,2， 由由 sin x0，得，得 x0， 或或 2， 由由 cos x1，得，得 x0 或或 2
6、. 故函数故函数 f(x)的零点为的零点为 0，2，共，共 3 个个 8若函数若函数 f(x)loga(x2ax1)有最小值，则有最小值，则 a 的取值范围是的取值范围是( ) A(0,1) B(0,1)(1,2) C(1,2) D2，) 解析：解析：选选 C 当当 a1 时，若时，若 f(x)有最小值，则说明有最小值，则说明 yx2ax1 有最小值，故有最小值，故 yx2 ax1 中中 0，即，即 a240，1a2.当当 0a1 时，若时，若 f(x)有最小值，则说明有最小值，则说明 yx2ax 1 有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去综上可知，选有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去综上
7、可知，选 C. 9(2019 兰州诊断考试兰州诊断考试)已知函数已知函数 f(x)x ln 1x 1x， ，af 1 3 ，bf 1 2 ，cf 1 4 ，则以，则以 下关系成立的是下关系成立的是( ) Acab Bcba Cabc Dacb 解析：解析： 选选 A 因为因为 af 1 3 1 3ln 1 2 1 12ln 16， ， bf 1 2 1 2ln 3 1 12ln 729， ， cf 1 4 1 4ln 5 3 1 12 ln 125 27 ，因为，因为125 27 16729，所以，所以 cab，故选，故选 A. - 3 - 10函数函数 f(x)x26xsin x 2 1(x
8、R)的零点个数为的零点个数为( ) A10 B8 C6 D4 解析：解析：选选 B 显然显然 x0 不是不是 f(x)的零点，当的零点，当 x0 时，时， 令令 x26xsin x 2 10，可得，可得 6sin x 2 x1 x， ， 则问题等价于求解函数则问题等价于求解函数 y6sin x 2 与函数与函数 yx1 x的图象的交点个数问题， 的图象的交点个数问题， 注意到两个函数都是奇函数，故考查当注意到两个函数都是奇函数，故考查当 x0 时两函数图象的交点个数即可时两函数图象的交点个数即可 作出两个函数在作出两个函数在 x0 时的图时的图象如图所示，当象如图所示，当 x6 时，时，x1
9、x 6，故当，故当 x0 时两函数图时两函数图 象交点的个数为象交点的个数为 4. 结合奇函数图象的对称性可知函数结合奇函数图象的对称性可知函数 y6sin x 2 与函数与函数 yx1 x的图象的交点个数为 的图象的交点个数为 8. 故函数故函数 f(x)x26xsin x 2 1(xR)的零点个数为的零点个数为 8.故选故选 B. 11(2019 武昌调研武昌调研)已知函数已知函数 f(x)1 3x 3 a 1 2x 2 x2 ，则，则 f(x)的零点可能有的零点可能有( ) A1 个个 B1 个或个或 2 个个 C1 个或个或 2 个或个或 3 个个 D2 个或个或 3 个个 解析：解析
10、：选选 A 因为因为1 2x 2 x21 2(x 1)23 2 0， 所以令所以令 f(x)0，得，得 a 1 3x 3 1 2x 2 x2 ， f(x)的零点转化为直线的零点转化为直线 ya 与函数与函数 g(x) 1 3x 3 1 2x 2 x2 的图象的交点的图象的交点 - 4 - g(x) x2 1 2x 2 x2 1 3x 3 x 1 1 2x 2 x2 2 1 6x 4 2 3x 3 2x2 1 2x 2 x2 2 ， 令令 g(x)0，即，即1 6x 4 2 3x 3 2x20，整理得，整理得 x2(x24x12)0， 由于由于 x24x12(x2)280，所以，所以 x0，所以
11、，所以 g(x)0，所以，所以 g(x)在在(，) 上单调递减， 所以直线上单调递减， 所以直线 ya 与函数与函数 g(x)的图象可能有的图象可能有 1 个交点， 所以个交点， 所以 f(x)的零点可能有的零点可能有 1 个 故个 故 选选 A. 12若关于若关于 x 的方程的方程 exaxa0 没有实数根，则实数没有实数根，则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) A(e2,0 B0，e2) C(e,0 D0，e) 解析：解析：选选 A 由题意可知只需证由题意可知只需证 exaxa0 恒成立，即证恒成立，即证 exa(x1) 当当 x1 时，时，a ex x1，令 ，令 f(x) ex
12、x1，则 ，则 f(x)e x x 2 x1 2 0，则，则 f(x)单调递减，即有单调递减，即有 f(x)0，解得，解得a0，即，即 a0； 当当 x1 时，时，e0 成立，成立，a 可以是任意实数；可以是任意实数； 当当 x1 时，时，a ex x1，令 ，令 f(x) ex x1，则 ，则 f(x)e x x 2 x1 2 ，当，当 x(1,2)时，时，f(x)0， f(x)单调递减，当单调递减，当 x(2，)时，时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当单调递增，所以当 x2 时，时，f(x)取得极小取得极小 值，也是最小值值，也是最小值 e2，即有，即有ae2，解得，解得 ae2. 综
13、上，实数综上，实数 a 的取值范围是的取值范围是(e2,0，故选，故选 A. 二、填空题二、填空题 13已知函数已知函数 f(x) 1 2 x， ，x0， log1 2x， ，x0， 则则 f 1 4 f log21 6 _. 解析：解析：由题可知由题可知 f 1 4 log1 2 1 4 2，因为，因为 log21 6 0，所以，所以 f log21 6 1 2 log21 6 2log266，故，故 f 1 4 f log21 6 8. 答案：答案：8 14已知函数已知函数 f(x)ln xln(4x)，给出下列四个命题：，给出下列四个命题： f(x)在在(0,2)上单调递增；上单调递增；
14、 f(x)在在(0,4)上单调递增；上单调递增； - 5 - f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x2 对称；对称； f(x)的图象上存在两点关于点的图象上存在两点关于点(2,0)对称对称 其中所有正确命题的序号为其中所有正确命题的序号为_ 解析：解析：函数函数 f(x)ln xln(4x)ln(4xx2)ln(x2)24， f(x)的定义域为的定义域为(0,4)，设，设 z4xx2， 由由 z 在在(0,2)上递增，得上递增，得 f(x)在在(0,2)上单调递增，故上单调递增，故正确，正确，错误；错误； 由由 f(2x)ln(2x)ln(2x)，f(2x)ln(2x)ln(2x)， 即即
15、f(2x)f(2x)，可得，可得 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x2 对称，故对称，故正确；正确； 由由 f(2x)f(2x)2ln(2x)2ln(2x)0， 解得， 解得 x 3， 即， 即 f(x)的图象上存在两点的图象上存在两点(2 3，0)，(2 3，0)关于点关于点(2,0)对称，故对称，故正确故答案为正确故答案为. 答案：答案： 15(2019 北京高考北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京 白梨、西瓜、桃，价格依次为白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元元/盒、盒、65 元元/盒、盒、8
16、0 元元/盒、盒、90 元元/盒为增加销量，李明盒为增加销量，李明 对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客元每笔订单顾客 网上支付成功后，李明会得到支付款的网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%. 当当 x10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付盒，需要支付_元；元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的的 最大值为最大值为_ 解析：
17、解析：顾客一次购买草莓和西瓜各顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，原价应为盒，原价应为 6080140(元元)，超过了，超过了 120 元可元可 以优惠，所以当以优惠，所以当 x10 时，顾客需要支付时，顾客需要支付 14010130(元元) 由题意知，当由题意知，当 x 确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越 少，优惠的比例越大而顾客要想得到优惠，最少要一次购买少，优惠的比例越大而顾客要想得到优惠，最少要一次购买 2 盒草莓，此时顾客支付的金盒草莓，此时顾客支付的金 额为额为(120x)元，所以元，所以(120x
18、)80%1200.7，解得，解得 x15.即即 x 的最大值为的最大值为 15. 答案：答案：130 15 16已知函数已知函数 f(x) x22x，x0， 2x，x0. 若若 f(x)1，则实数，则实数 x 的取值范围是的取值范围是_； 若方程若方程 f(x)kx3 有三个相异的实根，则实数有三个相异的实根，则实数 k 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析： 当当 x0 时，时， f(x)1 即即x22x1， 即， 即(x1)20， 则， 则 x0 成立；当成立；当 x0 时，时，f(x)1 即即2x1，解得，解得1 2 x0.综上，实数综上，实数 x 的取值范围为的取值范围为 1 2，
19、， . 由题意知， 方程由题意知， 方程 f(x)kx3 即即 f(x)kx3 有三个相异的实根，有三个相异的实根， 则函数则函数 yf(x)和和 ykx3 的图象有三个不同的交点 作出函数的图象有三个不同的交点 作出函数 yf(x)的图象如图所示 由题的图象如图所示 由题 意知直线意知直线 ykx3 和和 y2x(x0)的图象必有一个交点，所以的图象必有一个交点，所以2k0，则，则 ykx3 与与 y - 6 - x22x(x0)的图象必有两个交点联立的图象必有两个交点联立 ykx3， yx22x x0 ， 整理得整理得 x2(k2)x3 0，由，由 k2 2120， 2k0， 解得解得 k
20、22 3.所以实数所以实数 k 的取值范围是的取值范围是(2,22 3) 答案：答案： 1 2， ， (2,22 3) B 级级拔高小题提能练拔高小题提能练 1多选题多选题函数函数 f(x)若实数若实数 a，b，c 满足满足 0abc， 且且 f(a)f(b)f(c)下列结论恒成立的是下列结论恒成立的是( ) Aab1 Bca3 2 Cb2 4 ac 0 Dac2b 解析：解析： 选选 ABC 由图知： 由图知： log2alog2b c3 2 ， 即即 a1 b c3 2， ，1 2 a1，运算可得，选项，运算可得，选项 A，B 恒成立；恒成立； 又又 b2 4 ac 1 a2 4 a a3
21、 2 3 1 2 a a2 a3 2 0，即选项，即选项 C 恒成立；又恒成立；又 ac2b4a 2 3a4 2a ，当，当 1 2 a1 时，时，ac2b 的符号不确定，即选项的符号不确定，即选项 D 不恒成立不恒成立 2已知函数已知函数 f(x)sin xsin 3x，x0,2，则，则 f(x)的所有零点之和等于的所有零点之和等于( ) A5 B6 C7 D8 解析：解析：选选 C f(x)sin xsin 3xsin(2xx)sin(2xx)2cos 2xsin x，令，令 f(x)0， 可得可得 cos 2x0 或或 sin x0， x0,2， 2x0,4， 由， 由 cos 2x0
22、可得可得 2x 2或 或 2x3 2 或或 2x5 2 或或 2x7 2 ， x 4或 或 x3 4 或或 x5 4 或或 x7 4 ， 由， 由 sin x0 可得可得 x0 或或 x 或或 x2， 4 3 4 5 4 7 4 027，f(x)的所有零点之和等于的所有零点之和等于 7，故选，故选 C. 3设设 f(x)e x 2a1 x1 x ，若存在唯一一个整数，若存在唯一一个整数 x 使得使得 f(x)1，则实数，则实数 a 的取值范围的取值范围 是是( ) - 7 - A. e1 2 ， B e1 2 ，e 2 1 4 C. e1 2 ，e 2 1 4 D ，e 2 1 4 解析：解析
23、：选选 B 由题意知，存在唯一的整数由题意知，存在唯一的整数 x 使使e x 2a1 x1 x 1 成立，当成立，当 x0 时，时，ex 2ax1，不合题，不合题意；当意；当 x0 时，得时，得 ex2ax1，令，令 h(x)ex，m(x)2ax1，则，则 m(x)的图的图 象过定点象过定点(0,1)，显然只有，显然只有 x1 符合题意，所以符合题意，所以 h 1 m 1 ， h 2 m 2 ， 所以所以 e2a1， e24a1， 解得解得e 1 2 ae 2 1 4 ，故选，故选 B. 4已知函数已知函数 yf(x)是定义在是定义在 R 上且以上且以 3 为周期的奇函数，当为周期的奇函数，当
24、 x 0，3 2 时，时，f(x)lg(x2 x1)，则，则 x 3 2， ，0 时，时，f(x)_，函数，函数 f(x)在区间 在区间0,3上的零点个数为上的零点个数为_ 解析：解析：设设 x 3 2， ，0 ，可得，可得x 0，3 2 ，f(x)lg(x2x1)， 由由 f(x)为奇函数可得为奇函数可得 f(x)f(x)，可得，可得 f(x)lg(x2x1)； 当当 x 0，3 2 时，令时，令 f(x)lg(x2x1)0，解得，解得 x1； 当当 x 3 2， ，0 时，令时，令 f(x)lg(x2x1)0，解得，解得 x 1； 可得可得 f(1)f(2)0，f(0)0，f(1)0，f(
25、3)0， 由由 f 3 2 f 3 2 f 3 2 ，可得，可得 f 3 2 0，所以函数，所以函数 f(x)在区间在区间0,3上有上有 5 个零点个零点 答案：答案：lg(x2x1) 5 5若对任意的若对任意的 xD，均有，均有 g(x)f(x)h(x)成立，则称函数成立，则称函数 f(x)为函数为函数 g(x)到函数到函数 h(x) 在区间在区间 D 上的上的“任性函数任性函数”已知函数已知函数 f(x)kx，g(x)x22x，h(x)(x1) (ln x1)，且，且 f(x)是是 g(x)到到 h(x)在区间在区间1，e上的上的“任性函数任性函数”，则实数，则实数 k 的取值范围是的取值
26、范围是_ 解析：解析：依题意得，依题意得，x1，e，x22xkx(x1)(ln x1)恒成立，恒成立， x2k 11 x (ln x1)在在 x1，e上恒成立上恒成立 又又 yx2 在在1，e上增函数，上增函数， (x2)maxe2，则，则 ke2. 设设 (x) 11 x (ln x1)，x1，e， 则则 (x) 1 x2(ln x 1) 11 x 1 x x ln x x2 0， (x)在在1，e上是增函数，上是增函数， - 8 - 则则 (x)min(1)2，k2. 由由知，当知，当 e2k2 时，时，x22xkx(x1)(ln x1)在在 x1，e上恒成立上恒成立 答案：答案：e2,2
