1、 - 1 - 大题考法专训（一）大题考法专训（一） 解三角形解三角形 A 级级中档题保分练中档题保分练 1在在ABC 中，角中，角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c，且，且 cos2Bcos2Csin2Asin Asin B (1)求角求角 C 的大小；的大小； (2)若若 A 6， ，ABC 的面积为的面积为 4 3，M 为为 BC 的中点，求的中点，求 AM. 解：解：(1)由由 cos2Bcos2Csin2Asin Asin B， 得得 sin2Csin2Bsin2Asin Asin B 由正弦定理，得由正弦定理，得 c2b2a2ab，即，即 a2b2c2ab， 所以
2、所以 cos Ca 2 b2c2 2ab ab 2ab 1 2. 因为因为 0C，所以，所以 C2 3 . (2)因为因为 A 6，所以 ，所以 B 6. 所以所以ABC 为等腰三角形，且顶角为等腰三角形，且顶角 C2 3 . 因为因为 SABC1 2absin C 3 4 a24 3，所以，所以 a4. 在在MAC 中，中，AC4，CM2，C2 3 ， 所以所以 AM2AC2CM22AC CM cos C1642421 2 28，所以，所以 AM2 7. 2(2019 长沙统考长沙统考)已知已知ABC 的内角的内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，且，且 asin(AB)
3、csinB C 2 . (1)求角求角 A 的大小；的大小； (2)若若ABC 的面积为的面积为 3，周长为，周长为 8，求，求 a. 解：解：(1)由题设得由题设得 asin Cccos A 2， ， 由正弦定理得由正弦定理得 sin Asin Csin Ccos A 2， ， 所以所以 sin Acos A 2，所以 ，所以 2sin A 2cos A 2 cos A 2， ， 所以所以 sin A 2 1 2，故 ，故 A60 . - 2 - (2)由题设得由题设得1 2bcsin A 3，从而，从而 bc4. 由余弦定理由余弦定理 a2b2c22bccos A， 得得 a2(bc)21
4、2. 又又 abc8，所以，所以 a2(8a)212，解得，解得 a13 4 . 3在在ABC 中，角中，角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c，且，且 c7，sin C2 6 5 . (1)若若 cos B5 7，求 ，求 b 的值；的值； (2)若若 ab11，求，求ABC 的面积的面积 解：解：(1)在在ABC 中，因为中，因为 cos B5 7，且 ，且 B(0，)，所以，所以 sin B2 6 7 ， 根据正弦定理根据正弦定理 b sin B c sin C，及 ，及 c7，sin C2 6 5 ，解得，解得 b5. (2)在在ABC 中，因为中，因为 sin C2
5、 6 5 ，所以，所以 cos C 1 5. 当当 cos C1 5时，根据余弦定理 时，根据余弦定理 c2a2b22abcos C， 及及 ab11，c7， 得得 491212ab2ab 5 ，所以，所以 ab30， 所以所以 ab11， ab30， 解得解得 a6， b5 或或 a5， b6， 所以所以ABC 的面积的面积 SABC1 2absin C 6 6. 当当 cos C1 5时，根据余弦定理 时，根据余弦定理 c2a2b22abcos C， 及及 ab11，c7，得，得 ab45， 此时方程组此时方程组 ab11， ab45 无解无解 综上，综上，ABC 的面积的面积为为 6 6
6、. B 级级拔高题满分练拔高题满分练 1(2019 福州质检福州质检)在在 RtABC 中中C90 ，点，点 D，E 分别在边分别在边 AB，BC 上，上，CD5， CE3，且，且EDC 的面积为的面积为 3 6. (1)求边求边 DE 的长；的长； (2)若若 AD3，求，求 sin A 的值的值 - 3 - 解：解：(1)如图，在如图，在ECD 中，中，SECD1 2CE CDsin DCE1 2 35sin DCE3 6， 所以所以 sinDCE2 6 5 ， 因为因为 0 DCE90 ， 所以所以 cosDCE1 2 6 5 2 1 5， ， 所以所以 DE2CE2CD22 CE CD
7、 cosDCE9252351 5 28， 所以所以 DE2 7. (2)因为因为ACB90 ，所以，所以 sinACDsin(90 DCE)cosDCE1 5， ， 在在ADC 中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得 AD sinACD CD sin A， ， 即即3 1 5 5 sin A， ， 所以所以 sin A1 3. 2(2019 昆明质检昆明质检)ABC 的内角的内角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c，已知，已知 2(cacos B) 3b. (1)求角求角 A； (2)若若 a2，求，求ABC 面积的取值范围面积的取值范围 解：解：(1)由由 2(cacos B
8、) 3b 及正弦定理得及正弦定理得 2(sin Csin Acos B) 3sin B， 所以所以 2sin(AB)2sin Acos B 3sin B， 即即 2cos Asin B 3sin B， 因为因为 sin B0，所以，所以 cos A 3 2 ，又，又 0A，所以，所以 A 6. (2)因为因为 a2，所以由正弦定理得，所以由正弦定理得 b4sin B，c4sin C， 所以所以 SABC1 2bcsin A 1 4bc 4sin Bsin C. 因为因为 C(AB)5 6 B，所以，所以 sin Csin 5 6 B ， 所以所以 SABC4sin Bsin 5 6 B 4si
9、n B 1 2cos B 3 2 sin B 2sin Bcos B2 3sin2B - 4 - sin 2B 3cos 2B 3 2sin 2B 3 3. 因为因为 0B5 6 ，所以，所以 3 2B 3 4 3 ， 所以所以 3 2 sin 2B 3 1， 所以所以 0SABC2 3. 即即ABC 面积的取值面积的取值范围为范围为(0,2 3 3.如图，在平面四边形如图，在平面四边形 ABCD 中，中，ABC 为锐角，为锐角，ADBD，AC 平平 分分BAD，BC2 3，BD3 6，BCD 的面积的面积 S3 2 3 2 . (1)求求 CD； (2)求求ABC. 解：解：(1)SBCD1
10、 2BD BC sin CBD3 2 3 2 ， BC2 3，BD3 6， sinCBD1 2. ABC 为锐角，为锐角，CBD30 . 在在BCD 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 CD2BC2BD22BC BD cosCBD(2 3)2(3 6)2 22 3(3 6) 3 2 9， CD3. (2)在在BCD 中，由正弦定理得中，由正弦定理得 BC sinBDC CD sinCBD， ， 即即 2 3 sinBDC 3 sin 30 ，解得，解得 sinBDC 3 3 . BCBD，BDC 为锐角，为锐角，cosBDC 6 3 . 在在ACD 中，由正弦定理得中，由正弦定理得 AC sinADC CD sinCAD， ， 即即 AC cosBDC 3 sinCAD. 在在ABC 中，由正弦定理得中，由正弦定理得 AC sinABC BC sinBAC， ， 即即 AC sinABC 2 3 sinBAC. - 5 - AC 平分平分BAD，CADBAC. 由由得得sin ABC cosBDC 3 2 3，解得 ，解得 sinABC 2 2 . ABC 为锐角，为锐角，ABC45 .
