1、第三章第三章 金融市场的现代数学分析方法金融市场的现代数学分析方法金融市场的现代数学分析方法 资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是由美国Stanford大学教授夏普等人在马克维茨的证券投资组合理论基础上提出的一种证券投资理论。CAPM解决了所有的人按照组合理论投资下，资产的收益与风险的问题。CAPM 理论包括两个部分：资本市场线（CML）和证券市场线（SML）。金融市场的现代数学分析方法一分离定理二资本市场线的导出三证券市场线四 系数五证券市场线与系统风险一 分离定理分离定理（Separation theorem）：投资者对风险的规避程度与该投
2、资者风险资产组合的最优构成是无关的。所有的投资者，无论他们的风险规避程度如何不同，都会将切点组合（风险组合）与无风险资产混合起来作为自己的最优风险组合。因此，无需先确知投资者偏好，就可以确定风险资产最优组合。风险厌恶较低的投资者可以多投资风险基金M，少投资无风险证券F，反之亦反。启示：若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capital allocation decision）和资产选择决策（Asset allocation decision）。资本配置决策的含义是：考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。资产选择决策的含义是：在众多的风险证券中
3、选择适当的风险资产构成资产组合。由分离定理，基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。二、资本市场线的导出（CML）假设市场中的每个投资者都是资产组合理论的有效应用者，人人都是理性的。这些投资者对每个资产回报的均值、方差以及协方差具有相同的预期，但风险规避程度不同。根据分离定理，这些投资者将选择具有相同的结构的风险基金（风险资产组合）。投资者之间的差异仅仅体现在风险基金和无风险资产的投资比例上。若市场处在均衡状态，即供给需求，且每一位投资者都购买相同的风险基金，则该风险基金应该是何种基金呢？（对这个问题的回答构成了CAPM的核心内容）这种风险基金就是市场组合（Market p
4、ortfolio），市场组合是与整个市场上风险证券比例一致的资产组合。对股票市场而言，就是构造一个包括所有上市公司股票，且结构相同的基金（如指数基金）。因为只有当风险基金等价于市场组合时，才能保证：（1）全体投资者购买的风险证券等于市场风险证券的总和市场均衡；（2）每个人购买同一种风险基金分离定理。在均衡状态下，资产组合（FM直线上的点）是市场组合M与无风险资产F构成的组合，因此，可以根据图形得到 资本市场线CML是在以预期收益和标准差为坐标的图中，表示无风险资产与风险资产构成的有效率的组合线。资本市场线上的任何一点都是表示风险资产和无风险资产相结合而得到的风险和期望收益的组合。CML的截距被
5、视为时间的报酬；CML的斜率就是单位风险溢价。在金融世界里，任何资产组合都不可能超越CML。由于单个资产一般来说，并不是最优的资产组合，因此，单个资产也位于该直线的下方。收收益益无风险收益率无风险收益率FM标准差标准差三、证券市场线（SML）CML将一项有效资产组合的期望收益率与其标准差联系起来，但它并未表明一项单独资产的期望收益率是如何与其自身的风险相联系。CAPM模型的最终目的是要对证券进行定价，因此，就由CML推导出SML。命题：若市场投资组合是有效的，则任一资产i的期望收益满足证明：考虑持有权重w资产i，和权重(1-w)的市场组合m构成的一个新的资产组合，由组合计算公式有:2()()i
6、mifmffimfmrrrrrrr2222(1)(1)2(1)wimwimimrwrw rwwww 证券i与m的组合构成的有效边界为im；Im不可能穿越资本市场线；当w=0时，曲线im的斜率等于资本市场 线的斜率。mrfri市场组合2220022(1)(1 2),/()/(),()()wwimimimmwwimmwwimmwwmfimmimmmimifmffimfmdrdwwwrrdwdwdrdrdwrrdddwrrrrrrrrrrr因此，该斜率与资本市场线相等则解得，证毕。证券市场线（Security market line）SML方程以 为截距，以 为斜率。因为斜率是正的，所以 越高的证券
7、，其期望回报率也越高。称证券市场线的斜率为风险价格，而称 为证券的风险。由 的定义，我们可以看到，衡量证券风险的关键是该证券与市场组合的协方差 ，而不是证券本身的方差。SMLim 1 rfmrirfrmfrrimmfrrimim2222()()imimiimimD rD r 四、系数系数是美国经济学家威廉夏普提出的风险衡量指标。用它反映资产组合波动性与市场波动性关系（在一般情况下，将某个具有一定权威性的股指（市场组合）作为测量股票值的基准）。如果值为1.1，即表明该股票波动性要比市场大盘高10，说明该股票的风险大于市场整体的风险，当然它的收益也应该大于市场收益，因此是进攻型证券。反之则是防守型
8、股票。无风险证券的值等于零，市场组合相对于自身的值为1。系数的计算实例：在实际操作中，人们如要计算某资产组合的预期收益率，那么，应首先获得以下三个数据：无风险利率，市场资产组合预期收益率，以及值。假定某证券的无风险利率是3%，市场资产组合预期收益率是8%，值为1.1，则该证券的预期收益率为多少？答案是：可见，值可替代方差作为测定风险的指标 ()3%(8%3%)1.18.5%pfmfrrrr五、证券市场线与系统风险 命题命题1:总风险系统风险非系统风险 设某种资产i的收益为设则由(1)(2)得到()(1)ifimfirrrr()0(2)iE()(3)ifimfrrrr22222cov0()()(
9、)0,1imiiimiimmrD rD rD 若（，），则除了无风险资产，任何资产组合都有即便是最大限分散风险的市场组合，其风险仍有由贝塔的意义可知，它定义资产风险与市场整体风险的相关关系，也就是贝塔定义了系统风险对资产的影响。命题2：组合的贝塔值是组合中各个资产贝塔值的加权平均。1i11cov r,)cov r,)ni iinmiminpiiirwrrwrw证明：若一个组合的收益率为则（故命题成立，证毕。命题3：系统风险无法通过分散化来消除。2212222112222111(),cov(,)0cov(,)0,1,2.,()()()1()11()()iiijimnppmiiinnimiiinn
10、imiiDwnrinD rD rDwwnnn 证明：若假定，由命题2可知222211222212211()()()11()lim()0,innpimiinimipmnD rnnnnnD r 由于故无法通过以资产组合的方式消除由 引起的风险，即无法通过分散化来消除系统风险。因此，我们可以得出结论：正如下图所示，组合风险随股票品种的增加而降低，但不能降低到零，因为还有系统风险。经典CAPM模型在资本市场中的应用主要体现在资产估值和资产配置两个方面。CAPM提供了消极投资策略的依据，即按市场投资组合的比例分散持有多种风险资产，该组合与无风险资产再组合，以获得所希望的风险（标准差）收益组合。组合数目组合数目 风险风险系统风险系统风险非系统风险非系统风险30
