1、第五讲数论模块（一）概念：()c a, c b c (a + b)或c (a - b);(2)b a, c b c a.1(3)bc a b a, c a;(4)b a, c a且（b, c）= 1 bc a;整性质除(5)a b ap bp( p 0);(6)a b且c b ac bd.特征：2 / 5；整除的应用.4 / 25；8 /125；3 / 9；11；7 /11/13.性质：奇偶数的奇偶分析及应用：判断，反正：整数分拆中的最值问题.极值（最大最小离散）面积：和一定，差小乘积大；积一定，差小和小.性质：数枚举法：短除法：论(一)因数：公因数：分解质因数：最大公因数： 倍数：方法辗转相
2、除法：公式法：公倍数：求分数的最大公约数：最小公倍数：求分数的最小公倍数：因数个数：最大公因数与最小公倍数的关系：质数、合数判断质数：常用的100以内的质数质因数个数、和、积：分解质因数乘积末尾0的个数：10 = 2 5平方数性质：平方数、个位规律判定法：个位规律：1带余除法：(1)a + b p + p ；12 p , a - b p - p ；当p(2)a - b 1212如果a p ，b p带余性质12当 p p , a - b p - p + m1212(mod m)，那么数(3)a b p p ；12论（ 4）如果a b(mod m),那么m a - n.(二)中国剩余定理：余1律升
3、级满足法：前几级得数 前几级公倍数 本级余数(mod 本级数).进制数：数位与位置：2整除本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。一整除约数和倍数一般地，如 a、b、c 为整数，b0 且
4、ab=c,即整数 a 除以 b（b 不等于 0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数为 0）,我们就说，a 能被 b 整除（或者说 b 能整除 a），记作 ba.否则，称之为 a 不能被 b 整除（或者说 b 不能整除 a），记作 b a.特别的，注意 0b0(b0)，所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的倍数 还有 a1a，所以说 1 能整除任何整数，1 是任何整数的约数显然，1 能整除任意整数，任意整数都能整除 0因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数 如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 叫做 a 的约数。相关知识衔
5、接整除在自然数范围内两个数相除，除的商是整数而没有余数的情形。除尽两个数相除，所得的商是整数或有限小数。整除是除尽的一种特殊情况。除不尽一个整数除以另一个非零自然数，得到一个无限小数时的情形。二数的整除性质 （设 a，b，c 均为非零整数）性质 1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。即：如果 ca，cb，那么 c（ab）。例如：如果 210，26，那么 2（106），并且 2（106）。性质 2：如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a.即：如果 bca，那么 ba，ca。性质 3：如果 b、c 都能整除 a，且 b 和 c 互质，那么
6、b 与 c 的积能整除 a。即：如果 ba，ca，且（b，c）=1，那么 bca。例如：如果 228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性质 4：如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。即：如果 cb，ba，那么 ca。例如：如果 39，927，那么 327。性质 5：如果 b 能整除 a，那么 bm 也能整除 am即： ba，那么 bmam（m 为非 0 整数）；性质 6：如果 b 能整除 a，且 d 能整除 c，那么 bd 也能整除 ac即：ba ，且 dc ，那么 bdac； 性质 7：a 个连续自然数中必恰有一个数能被 a 整除。附加性质：若 c|b，b|
7、a，则 c|a若 b|a，则 bc|ac若 c|a，c|b，则对任意整数 m、n，有 c|manb若 b|ac，且(a，b)1，则 b|c若 b|ac，而 b 为质数，则 b|a，或 b|c(ab)|(anbn)(nN)，(ab)|(anbn)(n 为奇数)和/差的整除性积的整除性积的整除性整除的传递性整除周期性3三.数的整除特征能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括 0）的整数，必能被 2 整除； 另一方面，能被 2 整除的数，其个位数字只能是偶数（包括 0）.下面“特征”含义相似。能被 5 整除的数的特征：个
8、位是 0 或 5。能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。例如：1864=180064，因为 100 是 4 与 25 的倍数，所以 1800 是 4 与 25 的倍数.又因为 464，所以 1864 能被 4 整除.但因为 2564，所以 1864 不能被 25 整除.能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。例如：2937529000375，因为 1000 是 8 与 125 的倍数，所以 29000 是 8 与 125 的倍数.又因为 125375，所以
9、 29375 能被 125 整除.但因为 8375，所以 829375。能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。例如：判断 123456789 这九位数能否被 11 整除？解：这个数奇数位上的数字之和是 97531=25， 偶数位上的数字之和是 864220.因为 25205，又因为 115，所以 11123456789。再例如：判断 13574 是否是 11 的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0. 因为 0 是任何整数的倍数，所以 110.因此 13574 是 11 的倍数。能被
10、 7（11 或 13）整除的数的特征（方法一）：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除。例如：判断 1059282 是否是 7 的倍数？解：把 1059282 分为 1059 和 282 两个数.因为 1059-282777，又 7777，所以 71059282.因此 1059282 是 7 的倍数。再例如：判断 3546725 能否被 13 整除？解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821 分为 2 和 821 两个数，因为 8212819，又 13819，所以 13282
11、1， 进而 133546725.能被 7、11、13 整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差(大减小)能被 7 整除(即qponmcba 能被 7、11、13 整除， 7、11、13 | cba - qponm或7、11、13 | qponmcba )；qponmcba 表示这是一个多位数，而不是 q 与 p、o、c、b、a 等数的乘积。能被 7（11 或 13）整除的数的特征（方法二）：3 位一截法能被 99 整除的数的特征：n 位一截法对于合数，我们先把合数分解质因数，再一个一个的考察这样就化归为质数整除问题。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）42、5家族整除性质规律：
12、(21 )2 5(51 ) = 10=1101 -看最后一位(22 )4 25(52 ) = 100=1102 -看后两位(23 )8125(53 ) = 1000=1103 -看后三位.(2n )2n 5（n 5n）=110n -看后n位3、9 家族规律：（弃“3”弃“9”原理）整除的判别法：设整数 N anan-1a2a12|a1 2|N，5|a1 5|N3|a1a2an 3|N9|a1a2an 9|N4| a2 a1 25|N4|N25| a2 a1 8|N 125|N8| a3a2a1125| a3a2a1a4 a3a2a1 | 7|N7| anan-111| anan-1a4 a3a
13、2a1 | 11|N11|(a2n1a2n1a1)(a2na2n2a2) 11|Na4 a3a2a1 | 13|N13| anan-1推论：三个连续的整数的积能被 6 整除5【例题】例 1：下面有 9 个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被 2 整除？哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？（2）有哪些数能被 5 整除？哪些能被 25 整除？哪些能被 125 整除？例 2：一个三位数64 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被 3 整除，“”可能等于多少？（2）如
14、果要求这个三位数能被 4 整除，“”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除，如果有可能，“”可能等于多少？例 3：新学年开始了，同学们要改穿新的校服。小悦收了 9 位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费2 38 元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清楚了。冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？例 4：四位数29 能同时被 3 和 5 整除，求出所有满足要求的四位数.例 5：已知 45 x1993y ，求所有满足条件的六位数 x1993y 。6例 6：李老师为学校一共买了
15、 28 支价格相同的钢笔，共付人民币 9.2元，已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？例 7：已知整数 1a2a3a4a5a 能被 11 整除，求所有满足这个条件的整数。例 8：六位数2008 能同时被 9 和 11 整除这个六位数是多少？例 9：已知5152L359192L39 能被 13 整除，中间方格内的数字是多少？25个525个93ab3ab.3ab(1993个3ab)思考题：把三位数3ab 接连重复地写下去，共写 1993 个3ab ，所得的数恰是 91 的倍数，求 ab =？7【课堂练习】1.有如下 9 个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837
16、。这些数中哪些能被 3 整除？哪些能被 9 整除？哪些能同时被 2 和 3 整除？2.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234 口 6 口 8” 的号码可以申请，也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动，王经理打算申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码请问：他申请的号码可能是多少？3.(1)一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字 0如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？(2)一个多位数，它的各位数字之和为 13，如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？4.小悦写了一个两
17、位数 59，冬冬写了一个两位数 89，他们让阿奇写一个一位数放在 59 与 89 之间拼成一个五位数5989 ，使得这个五位数能被 7 整除，请问：阿奇写的数是多少？5.将自然数 1、2、3、4、5、6、7、8、9 依次重复写下去组成一个 1993 位数，这个数能否被 3 整除？6.173 是一个四位数数学老师说：“我在其中的方框内先后填入 3 个数字，得到 3 个四位数，依次能被 9、11、8 整除，”问：数学老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少？8家庭作业作业 1：判断下面 11 个数的整除性：23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954,
18、 6512, 93625, 864,(1)这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被 8 整除？(2)哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？(3)哪些数能被 3 整除？哪些数能被 9 整除？(4)哪些数能被 11 整除？407.作业 2：四位偶数64 能被 11 整除，求出所有满足要求的四位数作业 3：已知五位数 154xy 能被 8 和 9 整除，求 xy 的值。作业 4：若五位数 32x5y 能同时被 2、3、5 整除，试求满足条件的所有这样的五位数。作业 5：五位数307 能同时被 11 和 25 整除，这个五位数是多少？9作业 6：牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱
19、数记在一张纸上，但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“ 678 ”，其中方框表示被烧出的洞牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元，请问：这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？作业 7：一本老帐上记着：72 只桶，共67.9元。这里处字迹不清，请把处数字补上，并求桶的单价。作业 8：173 是一个四位数数学老师说：“我在其中的方框内先后填入 3 个数字，得到 3 个四位数，依次能被 9、11、8 整除，”问：数学老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少？冬冬和阿奇玩一个数字游戏，冬冬先将一个三位数的百位与个位填好，然后阿奇来填写这个三位数的十位，如果最后这个三位数能被 11 整除，那么阿奇获胜，否则冬冬获胜冬冬想了一会，想到了一个必胜的办法，请问：冬冬想到的办法是什么？思考题证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被 7、11、13 整除。（请用2 种方法）10
