1、第五章 单元复习课一、轴对称中的相关概念一、轴对称中的相关概念1.1.轴对称轴对称.对于两个平面图形，如果沿一条直线对折后能够完全重合，那对于两个平面图形，如果沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，两个图形中的对应点叫做关于这条么称这两个图形成轴对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴直线的对称点，这条直线叫做对称轴.2.2.轴对称图形轴对称图形.如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条
2、直线叫做对称轴轴.3.3.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别与联系.(1)(1)区别区别.轴对称是指两个平面图形间的位置关系，轴对称图形是指一轴对称是指两个平面图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的平面图形；个具有特殊形状的平面图形；轴对称涉及两个平面图形，轴对称图形是对一个平面图形而轴对称涉及两个平面图形，轴对称图形是对一个平面图形而言的言的.(2)(2)联系联系.定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个平面图即看成两个平面图形形
3、)，那么这两个平面图形就关于这条直线成轴对称；反过来，那么这两个平面图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把成轴对称的两个平面图形看成一个整体，那么它就是一如果把成轴对称的两个平面图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形个轴对称图形.4.4.等腰三角形等腰三角形.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.5.5.等边三角形等边三角形.三边都相等的三角形叫做等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形.二、轴对称的性质和判定二、轴对称的性质和判定1.1.轴对称与轴对称图形的性质轴对称与轴对称图形的性质.(1)(1)轴对称图形轴对称图形(或关于某条直线对称的两个平面图
4、形或关于某条直线对称的两个平面图形)的对应线的对应线段段(对折后重合的线段对折后重合的线段)相等，对应角相等，对应角(对折后重合的角对折后重合的角)相等相等.(2)(2)成轴对称的两个平面图形全等，轴对称图形被对称轴分成的成轴对称的两个平面图形全等，轴对称图形被对称轴分成的两个平面图形全等两个平面图形全等.(3)(3)如果两个平面图形关于某直线对称如果两个平面图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连那么对称轴是对应点连线的垂直平分线线的垂直平分线.(4)(4)两个平面图形关于某直线对称两个平面图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或对应如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交线段的延长线相交,
5、那么交点在对称轴上那么交点在对称轴上.2.2.等腰三角形、等边三角形的性质和判定等腰三角形、等边三角形的性质和判定.名称名称项目项目 等腰三角形等腰三角形 等边三角形等边三角形 性质性质 边：两腰相等边：两腰相等角：两个底角相等角：两个底角相等(等边等边对等角对等角)重要线段：顶角的平分线、重要线段：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高底边上的中线、底边上的高互相重合互相重合(三线合一三线合一)对称性：是轴对称图形，对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底对称轴为顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所边上的中线或底边上的高所在的直线在的直线 边：三边都相等边：三边都相等角：三个角都相
6、等，角：三个角都相等，都等于都等于6060重要线段：与等腰重要线段：与等腰三角形的相同三角形的相同对称性：是轴对称对称性：是轴对称图形，对称轴有三条图形，对称轴有三条 名称名称项目项目 等腰三角形等腰三角形 等边三角形等边三角形 判定判定 利用定义利用定义等角对等边等角对等边 利用定义利用定义三个内角都相等的三个内角都相等的三角形是等边三角形三角形是等边三角形有一个角是有一个角是6060的的等腰三角形是等边三等腰三角形是等边三角形角形 生生活活中中的的轴轴对对称称轴对称现象轴对称现象基本概念基本概念两个图形成轴对称两个图形成轴对称轴对称图形轴对称图形对称轴对称轴简单的轴简单的轴对称图形对称图形
7、等腰三角形的性质等腰三角形的性质轴对称图形的性质轴对称图形的性质对称性对称性“三线合一三线合一”底角相等底角相等线段垂直平分线上的点到这条线段线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等两个端点的距离相等角的平分线上的点到这个角的两边的角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等距离相等应用应用图案设计图案设计计算与推理计算与推理 轴对称和轴对称图形轴对称和轴对称图形【相关链接相关链接】1.1.区别与联系：轴对称图形是对一个图形而言区别与联系：轴对称图形是对一个图形而言,成轴对称是对成轴对称是对两个图形而言两个图形而言.如果把成轴对称的两个图形看做一个整体如果把成轴对称的两个图形看做一个整体,
8、那么那么它又可以看成是一个轴对称图形它又可以看成是一个轴对称图形.2.2.轴对称的性质：对应线段相等轴对称的性质：对应线段相等,对应角相等对应角相等,对应点的连线被对应点的连线被对称轴垂直平分对称轴垂直平分.【例例1 1】(2012(2012连云港中考连云港中考)下列图案是轴对称图形的是下列图案是轴对称图形的是()()【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】选选D.D.把把D D选项沿一直线折叠，直线两侧部分能重合，选项沿一直线折叠，直线两侧部分能重合，故故D D选项是轴对称图形选项是轴对称图形.其余图形均不能找到一条直线其余图形均不能找到一条直线,使图形沿使图形沿该直线折叠该直线折叠,直线两
9、侧的部分能完全重合直线两侧的部分能完全重合,所以不是轴对称图形所以不是轴对称图形.线段垂直平分线与角平分线的性质线段垂直平分线与角平分线的性质【相关链接相关链接】依据线段垂直平分线的性质及角平分线的性质依据线段垂直平分线的性质及角平分线的性质,结合轴对结合轴对称的性质称的性质,可以解决实际生活中的路线之和最短、路线相等等可以解决实际生活中的路线之和最短、路线相等等方案设计问题方案设计问题.【例例2 2】(2012(2012德州中考德州中考)有公路有公路l1 1同侧、同侧、l2 2异侧的两个城镇异侧的两个城镇A A，B B，如图如图.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔电信部门要修
10、建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇到两个城镇A A，B B的距离必须相等，到两条公路的距离必须相等，到两条公路l1 1，l2 2的距离也必的距离也必须相等，发射塔须相等，发射塔C C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点合条件的点，注明点C C的位置的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法保留作图痕迹，不要求写出画法).).【思路点拨思路点拨】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.【自主解答自主解答】根据题意知道，点根据题意知道，点C C应满足两个条件，一是在线段应满足两个条件，一是在
11、线段ABAB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C C应是它们的交点应是它们的交点.(1)(1)作两条公路夹角的平分线作两条公路夹角的平分线ODOD或或OE;OE;(2)(2)作线段作线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线FGFG；则射线则射线OD,OEOD,OE与直线与直线FGFG的交点的交点C C1 1，C C2 2就是所求的位置就是所求的位置.等腰三角形等腰三角形【相关链接相关链接】“三线合一三线合一”，即顶角的角平分线、底边上的中线、底边，即顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高三线重合，是解决等腰三角形问题的关键上的
12、高三线重合，是解决等腰三角形问题的关键.【例例3 3】(2012(2012济南中考济南中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=40A=40，BDBD是是ABCABC的平分线，求的平分线，求BDCBDC的度数的度数.【思路点拨思路点拨】首先根据首先根据AB=ACAB=AC，利用等边对等角和已知的，利用等边对等角和已知的A A的的度数求出度数求出ABCABC和和C C的度数，再根据已知的的度数，再根据已知的BDBD是是ABCABC的平分的平分线，利用角平分线的定义求出线，利用角平分线的定义求出DBCDBC的度数，最后根据三角形的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出的
13、内角和定理即可求出BDCBDC的度数的度数.【自主解答自主解答】因为因为AB=ACAB=AC，A=40A=40，所以所以ABC=C=(180ABC=C=(180-40-40)=70)=70.又又BDBD是是ABCABC的平分线，的平分线，所以所以DBC=ABC=35DBC=ABC=35，所以所以BDC=180BDC=180-DBC-C=75-DBC-C=75.1212【命题揭秘命题揭秘】结合近几年中考试题分析，轴对称的内容考查主要有以下结合近几年中考试题分析，轴对称的内容考查主要有以下特点：特点：1.1.命题的内容及形式为：轴对称的性质、相关的图案设计、与命题的内容及形式为：轴对称的性质、相关
14、的图案设计、与轴对称相关的计算和逻辑推理证明等轴对称相关的计算和逻辑推理证明等.题型较全，一般有选择题型较全，一般有选择题、填空题和解答题，多属于中、低档题题、填空题和解答题，多属于中、低档题.2.2.命题趋势：轴对称是近几年各地中考的热点之一，所占的比命题趋势：轴对称是近几年各地中考的热点之一，所占的比重有继续上升的趋势重有继续上升的趋势.1.1.下列四个图案中，轴对称图形的个数是下列四个图案中，轴对称图形的个数是()()(A)1(A)1(B)2(B)2(C)3(C)3(D)4(D)4【解析解析】选选C.C.要判别一个平面图形是否是轴对称图形，只需能要判别一个平面图形是否是轴对称图形，只需能
15、找到一条直线，使整个平面图形沿着这条直线折叠后两边能完找到一条直线，使整个平面图形沿着这条直线折叠后两边能完全重合，其中第个图形均可以找到这样的直线，但第全重合，其中第个图形均可以找到这样的直线，但第个不能找到这样的直线，所以第个图不是轴对称图形，故选个不能找到这样的直线，所以第个图不是轴对称图形，故选C.C.2.(20122.(2012江西中考江西中考)等腰三角形的顶角为等腰三角形的顶角为8080，则它的底角是，则它的底角是 ()()(A)20(A)20(B)50(B)50(C)60(C)60(D)80(D)80【解析解析】选选B.B.因为等腰三角形的一个顶角为因为等腰三角形的一个顶角为80
16、80,所以底角所以底角=(180=(180-80-80)2=502=50.3.3.如图所示是一块三角形的草坪如图所示是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家现要在草坪上建一凉亭供大家休息休息,要使凉亭到草坪三边的距离相等要使凉亭到草坪三边的距离相等,则凉亭的位置应选在则凉亭的位置应选在 ()()(A)(A)ABCABC的三条中线的交点的三条中线的交点(B)(B)ABCABC的三边的中垂线的交点的三边的中垂线的交点(C)(C)ABCABC的三条角平分线的交点的三条角平分线的交点(D)(D)ABCABC的三条高所在直线的交点的三条高所在直线的交点【解析解析】选选C.C.根据角平分线上的点到角
17、两边的距离相等根据角平分线上的点到角两边的距离相等,所以凉所以凉亭的位置应选在三个角的角平分线的交点处亭的位置应选在三个角的角平分线的交点处.4.(20124.(2012淮安中考淮安中考)如图，如图，ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足为，垂足为点点D D，若，若BAC=70BAC=70，则，则BAD=_.BAD=_.【解析解析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合边上的中线、顶角的平分线互相重合(三线合一三线合一)，可得，可得BAD=BAD=BAC=35 BAC=35.答案：答
18、案：3535125.(20125.(2012随州中考随州中考)等腰三角形的周长为等腰三角形的周长为1616，其一边长为，其一边长为6 6，则，则另两边为另两边为_._.【解析解析】当边长为当边长为6 6的边为腰时，则底为的边为腰时，则底为16-216-26=4;6=4;当边长为当边长为6 6的边为底时的边为底时,则另两边分别为则另两边分别为5,55,5，根据三角形三边关系可知，根据三角形三边关系可知，三边也可以构成三角形三边也可以构成三角形.所以两种情况均成立所以两种情况均成立.答案：答案：6 6和和4 4或或5 5和和5 56.6.做如下操作：在等腰三角形做如下操作：在等腰三角形ABC AB
19、C 中中,AB=AC,AD,AB=AC,AD 平分平分BAC,BAC,交交BCBC于点于点D.D.将将ABD ABD 作关于直线作关于直线AD AD 的轴对称变换的轴对称变换,所得的像与所得的像与ACDACD重合重合.对于下列结论：对于下列结论：在同一个三角形中在同一个三角形中,等角对等边等角对等边;在同一个三角形中在同一个三角形中,等边等边对等角对等角;等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合重合.由上述操作可得出的是由上述操作可得出的是_(_(将正确结论的序号都填将正确结论的序号都填上上).).【解析解析】题意中没有题意中没有B=C B=
20、C 这条件这条件,因而不能得出结论因而不能得出结论;根根据轴对称的性质可以得出据轴对称的性质可以得出B=C,B=C,从而得出结论从而得出结论;根据等腰三根据等腰三角形的性质角形的性质“三线合一三线合一”可以得出结论可以得出结论.答案：答案：7.(20127.(2012江西中考江西中考)如图如图,已知正五边形已知正五边形ABCDE,ABCDE,请用无刻度的直请用无刻度的直尺尺,准确画出它的一条对称轴准确画出它的一条对称轴(保留画图痕迹保留画图痕迹).).【解析解析】如图如图,直线直线AKAK即为所求的一条对称轴即为所求的一条对称轴(解答不惟一解答不惟一).).8.(20128.(2012北海中考
21、北海中考)已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，A A3030，B B6060.(1)(1)作作B B的平分线的平分线BDBD，交，交ACAC于点于点D D；作；作ABAB的中点的中点E(E(要求：尺规作要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明图，保留作图痕迹，不必写作法和证明).).(2)(2)连接连接DEDE，求证：，求证：ADEADEBDE.BDE.【解析解析】(1)(1)作出作出B B的平分线的平分线BD;BD;作出作出ABAB的中点的中点E.E.(2)(2)因为因为ABDABD 60603030，A A3030,所以所以A AABD.ABD.又因为又因为AED=BED
22、=90AED=BED=90，DEDEDE,DE,所以所以ADEADEBDE.BDE.129.9.如图，如图，在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=36A=36，ACAC的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E,DE,D为垂足，连接为垂足，连接EC.EC.(1)(1)求求ECDECD的度数的度数.(2)(2)若若CE=5CE=5，求，求BCBC长长.【解析解析】(1)(1)因为因为DEDE垂直平分垂直平分ACAC，所以所以CE=AECE=AE，ECD=A=36ECD=A=36.(2)(2)因为因为AB=ACAB=AC，A=36A=36，所以，所以B=ACB=72B=ACB=72.因为因为ECD=36ECD=36，所以所以BCE=ACB-ECD=36BCE=ACB-ECD=36，BEC=72BEC=72=B=B，所以所以 BC=CE=5.BC=CE=5.
