1、 2018 年辽宁省丹东市凤城市沙里寨中考数学模拟试卷（年辽宁省丹东市凤城市沙里寨中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分）分） 1.6 的相反数是（ ） A. 6 B. 1 6 C. 6 D. 1 6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据相反数的定义，即可解答 【详解】6 的相反数是：6， 故选 C. 2.一台机器有大、小齿轮用同一转送带连接，若大小齿轮的齿数分别为 12和 36 个，大齿轮每分钟 2.5 103 转，则小齿轮 10小时转（ ） A. 1.5 106转 B. 5 105转 C. 4.5 106转 D. 15 106转 【
2、答案】C 【解析】 试题解析：大、小齿轮用同一转送带连接，若大小齿轮的齿数分别为 12和 36 个， 则小齿轮转的圈数应该是大齿轮的36 123倍. 小齿轮 10 小时转 60 2.5 103 10 （36 12）=4.5 106转 故选 C 3.如图是一个正方体的表面展开图， 已知正方体的每个面都有一个有理数， 且相对面上的两个数互为相反数， 那么代数式abc 的值是( ) A. 6 B. 1 C. 0 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 正方形的表面展开图， 相对的面之间一定相隔一个正方形， 根据这一特点确定出相应的面， 再求出abc、 、 的值，然后代入代数式计算即可得解. 【详解
3、】正方形的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “a”与“3”是相对面， “b”与“1”是相对面， “c”与“2”是相对面， 相对面上所标的两个数互为相反数， 3,1,2abc ， 3 1 26a bc ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了正方形相对两个面上的文字，注意正方形的空间图形，从相对面入手，分析及解 答问题. 4.下列事件中，属于确定事件的个数是（ ） （1）打开电视，正在播广告； （2）投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于 10； （3）射击运动员射击一次，命中 10 环； （4）在一个只装有红球的袋中摸出白球 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】
4、确定事件就是一定发生的事件或一定不会发生的事件，根据定义即可确定： （1） （3）属于随机事件； （4） 是不可能事件， （2）是确定事件，故属于确定事件的个数是 1 个故选 B 5.如果一组数据 2，4，x，3，5的众数是 4，那么该组数据的平均数是（ ） A. 5.2 B. 4.6 C. 4 D. 3.6 【答案】D 【解析】 试题分析：众数是出现次数最多的数，所以可判定 x 为 4，然后计算平均数： （2+4+4+3+5）5=36，故选 D 考点：数据的分析 6.下列运算结果正确的是（ ） A. a3+a4=a7 B. a4 a3=a C. a3a2=2a3 D. （a3）3=a6 【答
5、案】B 【解析】 【分析】 分别根据同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则对各选项进行逐一分 析即可 【详解】A. a3+a4a7 ,不是同类项，不能合并，本选项错误； B. a4 a3=a4-3=a;，本选项正确； C. a3a2=a5;，本选项错误； D.（a3）3=a9,本选项错误. 故选 B 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则等知识， 比较简单 7.如图，在菱形 ABCD中，E、F分别是 AB、BC 边的中点，EPCD于点 P，BAD=110 ，则FPC 的度 数是（ ） A. 35 B. 45 C. 50
6、 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】 延长 PF、 EB交于点 G； 连接 EF， 根据菱形的性质易证BGFCPF， 根据全等三角形的性质可得 PF=GF， 即可得点 F为 PG的中点， 又因GEP=90 ， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 FP=FG=FE， 所以FPC=FGB=GEF；连接 AC，即可得GEF=BAC= 1 2 BAD=55 ，所以FPC的度数是 55 【详解】延长 PF、EB 交于点 G；连接 EF， 四边形 ABCD是菱形， AGDC， GBF=PCF， F是 BC 中点， BF=CF， 在BGF和CPF中， GBFPCF BFCF BFGCFP
7、， BGFCPF， PF=GF， 点 F为 PG的中点， GEP=90 ， FP=FG=FE， FPC=FGB=GEF， 连接 AC， 则GEF=BAC= 1 2 BAD=55 ， FPC 的度数是 55 故选 D 【点睛】本题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键 8.如图，两个边长分别为 a，b（ab）的正方形连在一起，三点 C，B，F在同一直线上，反比例函数 y= k x 在第一象限的图象经过小正方形右下顶点 E若 OB2BE2=10，则 k的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 45 【答案】C 【解析】 分析：设 E 点坐标为（a，b） ，则
8、AO+DE=a，AB-BD=b，根据ABO 和BED 都是等腰直角三角形，得到 EB= 2BD，OB=2AB，再根据 OB 2-EB2=8，运用平方差公式即可得到（AO+DE） （AB-BD）=4，进而得 到 ab=4，据此可得 k=4 详解：设 E点坐标为（a，b） ，则 AO+DE=a，AB-BD=b， ABO和 BED都是等腰直角三角形， EB= 2BD，OB=2AB，BD=DE，OA=AB， OB2-EB2=8， 2AB2-2BD2=8， 即 AB2-BD2=4， （AB+BD） （AB-BD）=4， （AO+DE） （AB-BD）=4， ab=4， k=4 故选 B. 点睛：本题考查
9、了正方形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数 y= k x （k为常 数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k解题时注意数形结合 思想的运用 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9.分解因式： 2 9 a2 4 3 a+2=_ 【答案】 2 9 （a3）2 【解析】 【分析】 先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可. 【详解】 2 9 a2 4 3 a+2= 2 9 （a2-6a+9）= 2 9 （a3）2 故答案为 2 9 （a3）2 【点睛】此题主要考查了提取公因
10、式法与公式法分解因式，利用提取公因式法分解因式注意公因式是最大 公因式，利用公式法必须熟练掌握公式的形式 10.如图，已知 ABCD，CE、BE的交点为 E，现作如下操作： 第一次操作，分别作ABE和DCE的平分线，交点为 E1， 第二次操作，分别作ABE1和DCE1的平分线，交点为 E2， 第三次操作，分别作ABE2和DCE2的平分线，交点为 E3， 第 n次操作，分别作ABEn1和DCEn1平分线，交点为 En 若En=1 度，那BEC 等于_度 【答案】2 n 【解析】 如图，过 E 作 EFAB， ABCD， ABEFCD， B=1，C=2， BEC=1+2， BEC=ABE+DCE；
11、 如图，ABE和DCE的平分线交点为 E1， CE1B=ABE1+DCE1= 1 2 ABE+ 1 2 DCE= 1 2 BEC ABE1和DCE1的平分线交点为 E2， BE2C=ABE2+DCE2= 1 2 ABE1+ 1 2 DCE1= 1 2 CE1B= 1 4 BEC； 如图，ABE2和DCE2的平分线，交点为 E3， BE3C=ABE3+DCE3= 1 2 ABE2+ 1 2 DCE2= 1 2 CE2B= 1 8 BEC； 以此类推，En= 1 2n BEC 当En=1度时，BEC等于 2n度 故答案为 2n 点睛：本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相
12、等的运用解决问题的关 键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这 个角的平分线 11.为了知道一块不规则的封闭图形的面积，小聪在封闭的图形内画了一个边长为 1m的正方形，在不远处 向封闭图形内任意投掷石子，且记录如下，则封闭图形的面积为_m2 掷石子次数 50 100 150 200 300 石子落在正方形内（含边上） 29 61 91 118 178 落在正方形内（含边上）的频率 0.580 0.610 0.607 0.590 0.593 【答案】1.7 【解析】 【分析】 利用频率估算概率，再计算封闭图形的面积. 【详解】解：根据统计表，可
13、得石子落在正方形内的概率约为 0.593， 设封闭图形的面积为 x， 则有 1 x =0.593， 解得 x1.7 封闭图形的面积为 1.7， 故答案为 1.7 【点睛】频率和概率的区别： 概率是一个虚构的理论数值；频率是实际的值，既在一定数量的某件事情上面,发生的数与总数的比值.假设 事件 A的概率是 0.3,在 100 次中发生 31 次,那么它的频率是 31/100=0.31. 频率是有限次数的试验所得的结果,概率是频数无限大时对应的频率. 12.如图，在 RtABC中，A=90 ，ABC 的平分线 B D 交 AC于点 D，DE是 BC的垂直平分线，点 E是 垂足若 DC=2，AD=1
14、，则 BE的长为_ 【答案】3 【解析】 DE是 BC 的垂直平分线， DB=DC=2， BD 是ABC 的平分线，A=90 ，DEBC， DE=AD=1， BE= 22 3BDDE ， 故答案为3 点睛：本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的 两个端点的距离相等是解题的关键 13.5 月份，甲、乙两个工厂用水量共为 200 吨进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取 节水措施.6 月份，甲工厂用水量比 5 月份减少了 15%，乙工厂用水量比 5 月份减少了 10%，两个工厂 6 月份 用水量共为 174 吨，求两个工厂 5 月份的用水
15、量各是多少设甲工厂 5 月份用水量为 x 吨，乙工厂 5 月份 用水量为 y 吨，根据题意列关于 x，y 的方程组为_ 【答案】 200 1 15%1 10%174 xy xy 【解析】 【分析】 甲工厂 5月份用水量为 x吨，乙工厂 5 月份用水量为 y吨，根据甲、乙两厂 5 月份用水量与 6月份用水量列 出关于 x、y的方程组即可. 【详解】甲工厂 5月份用水量为 x吨，乙工厂 5 月份用水量为 y吨， 根据题意得： 200 1 15%1 10%174 xy xy ， 故答案为 200 1 15%1 10%174 xy xy 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系是
16、解题的关键. 14.P 是正方形 ABCD所在平面内一点，PB= 2，PC=1，BPC=135 ，则 AP 的长为_ 【答案】5 【解析】 【分析】 先根据图形旋转的性质得出BPQ 是等腰直角三角形，故可判断PCQ是直角三角形，再根据勾股定理即可 得出结论 【详解】把ABP 绕点 B顺时针旋转 90 ，到达CBQ 位置， CBQ是ABP 旋转而成 90 ， PB=BQ，PBQ=90 ， BPQ是等腰直角三角形， PB= 2， PQ= 22 22 =2，BPQ=45 ， CPQ=135 -45 =90 ， PCQ是直角三角形， AP=CQ= 2222 125PCPQ , 故答案为5 【点睛】本题
17、考查了旋转的性质、勾股定理、正方形的性质等，正确地利用旋转的性质构造直角三角形是 解题的关键.注意图形旋转前、后的图形全等 15.如图， 已知动点 A 在函数 y= 4 x （x0） 的图象上， ABx 轴于点 B，ACy轴于点 C， 延长 CA 至点 D， 使 AD=AB，延长 BA 至点 E，使 AE=AC，直线 DE分别交 x轴，y轴于点 P，Q，当 QE：DP=9：25时， 图中的阴影部分的面积等于_ 【答案】 68 15 【解析】 【分析】 作 DFx 轴于点 F，EGy轴于 G， 得到QEGPDF， 于是得到 EGQE PFDP 9 25 ， 设 EG=9t， 则 PF=25t，
18、然后根据ADEFPD，据此即可得到关于 t的方程，求得 t的值，进而求解 【详解】解：作 DFx 轴于点 F，EGy轴于 G， QEGDPF， EGQE PFDP 9 25 ， 设 EG=9t，则 PF=25t， A（9t， 4 9t ）， 由 AC=AE AD=AB， AE=9t，AD= 4 9t ，DF= 4 9t ，PF=25t， ADEFPD， AE：DF=AD：PF， 9t： 4 9t = 4 9t ：25t，即 t2= 4 135 ， 图中阴影部分面积= 1 2 9t 9t+ 1 2 4 9t 4 9t = 68 15 ， 故答案为 68 15 【点睛】本题考查了反比例函数 y=
19、k x （k0）系数 k的几何意义：从反比例函数 y= k x （k0）图象上任意 一点向 x轴和 y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k也考查了相似三角形的判定与性质 16.如图： 在 x 轴的上方， 直角BOA绕原点 O顺时针方向旋转， 若BOA的两边分别与函数 y= 1 x 、y= 2 x 的图象交于 B、A 两点，则 tanA=_ 【答案】 2 2 【解析】 如图，分别过点A、B作ANx轴、BMx轴； AOB=90 ， BOM+AON=AON+OAN=90 ， BOM=OAN， BMO=ANO=90 ， BOMOAN， ； 设B（m， ），A（n， ）， 则BM= ，AN= ，O
20、M=m，ON=n， mn=，mn=； AOB=90 ， tanOAB=； BOMOAN， =， 由知tanOAB=； 故答案是： 三解答题（共三解答题（共 2 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 8 分）分） 17.计算： （32）0+（ 1 3 ）1+4cos30 |4 12| 【答案】4 【解析】 【分析】 直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简进而得出答 案 【详解】（ 32） 0+（1 3 ）1+4cos30 |4 12| =1+3+4 3 2 （42 3） =4+2 34+23 =4 3 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化
21、简各数是解题关键 18.ABC和点 S在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）将ABC 向右平移 4个单位得到A1B1C1，则点 A1的坐标是 ，点 B1的坐标是 ； （2）将ABC 绕点 S 按顺时针方向旋转 90 ，画出旋转后的图形 【答案】(1) 点 A1的坐标为（10，8） ，点 B 的坐标为（4，5） ，(2)作图见解析 【解析】 【分析】 （1）根据图形平移的性质画出A1B1C1，结合图形在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）根据旋转角度为 90 ，旋转方向为顺时针，旋转中心为点 S，找出旋转后各点的对应点，然后顺次连 接即可 【详解】 （1）如图所示： 可得点 A1的坐标为（1
22、0，8） ，点 B 的坐标为（4，5）， 右平移 4 个单位后 A1的坐标为（10，8），B1的坐标为（8，5）； （2）所画图形如下所示： 其中ABC即为所求 【点睛】本题考查了作图-旋转变换、作图-平移变换，解题关键是找出图形变换的规律，然后准确找出变换 后的对应点 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 10 分）分） 19.某校七年级开展征文活动， 征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个， 七年级每名 学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调 查，根据调查结果绘制成如下
23、两幅不完整的统计图. （1）将上面的条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少度？ （3）如果该校七年级共有 1200名考生，请估计选择以“友善”为主题的七年级学生有多少名？ 【答案】 （1）条形统计图如图所示，见解析； （2）选择“爱国”主题所对应的圆心角是 144； （3）估计选 择以“友善”为主题的七年级学生有 360 名. 【解析】 分析】 （1）根据诚信的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，用总人数乘以友善所占的百分比，即可补全统计 图； （2）用 360 乘以爱国所占的百分比，即可求出圆心角的度数； （3）用该校七年级的总人数乘以“友善”所占的
24、百分比，即可得出答案 【详解】解： （1）本次调查共抽取的学生有3 6%50（名） 选择“友善”的人数有50 30% 15（名） 条形统计图如图所示： （2）选择“爱国”主题所对应的百分比为20 5040%， 选择“爱国”主题所对应的圆心角是40% 360144； （3）该校七年级共有 1200 名学生，估计选择以“友善”为主题的七年级学生有1200 30%360名. 故答案为（1）条形统计图如图所示，见解析； （2）选择“爱国”主题所对应的圆心角是 144 ； （3）估计选择 以“友善”为主题的七年级学生有 360 名. 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用
25、统计图获取信息时，必须 认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 20.一不透明的袋子中装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色不同外其余都相同，搅匀后， （1）从中一次性摸出两只球，用树状图或列表表示其中一个是红球另一个是白球所有结果并求其概率 （2）向袋子中放入若干个红球（与原红球相同） ，搅匀后，从中任取一个球是红球的概率为 3 4 ，求放入红 球的个数 【答案】 （1） 2 3 ； （2）5 个. 【解析】 【分析】 （1）画树状图得到所有等可能的情况数，然后找出符合条件的情况，最后利用概率公式进行求解即可； （2）设放入红球的个数为 x个，根据概率公式可得关于 x
26、的方程，解方程即可得. 【详解】 （1）画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中一个是红球另一个是白球的所有结果数为 4， 所以其中一个是红球另一个是白球的概率= 42 63 ； （2）设放入红球的个数为 x个， 根据题意得 13 34 x x ， 解得 x=5， 经检验 x=5是原方程的解， 即放入红球的个数为 5个 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 五解答题（共五解答题（共 2 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 10 分）分） 21.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有 1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完
27、全相同小明先从 口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为 x；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字 y （1）计算由 x、y确定的点（x，y）在函数 y=x+6 图象上的概率； （2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若 x、y满足 xy6，则小明胜；若 x、y满足 xy6，则小红 胜这个游戏规则公平吗？说明理由；若不公平，怎样修改游戏规则才对双方公平 【答案】 （1） 1 6 ； （2）不公平，游戏规则可改为：若 x、y 满足 xy6，则小明胜；若 x、y 满足 xy6，则 小红胜 【解析】 【分析】 （1）画树形图，展示所有可能的 12 种结果，其中有点（2，4） ， （4
28、，2）满足条件，根据概率的概念计算 即可； （2）先根据概率的概念分别计算出 P（小明胜）和 P（小红胜）；判断游戏规则不公平然后修改游戏规则，使它们 的概率相等 【详解】解： （1）画树形图： 所以共有 12个点： （1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，1） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，1） ， （3，2） ， （3，4） ， （4， 1） ， （4，2） ， （4，3） ， 其中满足 y=x+6的点有（2 ，4） ， （4，2） ， 所以点（x，y）在函数 y=x+6图象上的概率= 21 = 126 ； （2）满足 xy6 的点有（2，4） ， （4，2） ，
29、 （4，3） ， （3，4） ，共 4 个； 满足 xy6 的点有（1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，1） ， （3，1） ， （4，1） ，共 6个， 所以 P（小明胜）= 41 = 123 ；P（小红胜）= 61 = 122 ； 1 3 1 2 ， 游戏规则不公平 游戏规则可改为：若 x、y满足 xy6，则小明胜；若 x、y满足 xy6，则小红胜 【点睛】本题考查了关于游戏公平性的问题：先利用图表或树形图展示所有可能的结果数，然后计算出两 个事件的概率，若它们的概率相等，则游戏公平；若它们的概率不相等，则游戏不公平 22.如图，已知ABC 内接于O，AB是O的直径，点 F
30、在O上，且点 C是BF的中点，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 D，交 AF的延长线于点 E （1）求证：AEDE； （2）若BAF=60 ，AF=4，求 CE 的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）2 3 【解析】 试题分析：（1） 首先连接 OC， 由 OC=OA，BC FC ， 易证得 OCAE， 又由 DE 切O 于点 C， 易证得 AEDE； （2）由 AB 是O 的直径，可得 ABC 是直角三角形，易得 AEC 为直角三角形，根据 AE=3 求得 AC 的长， 然后连接 OF，可得 OAF 为等边三角形，知 AF=OA= 1 2 AB，在 ACB 中，利用已知条件求
31、得答案 试题解析： （1）证明：连接 OC， OC=OA， BAC=OCA， BC FC BAC=EAC， EAC=OCA， OCAE， DE 切O 于点 C， OCDE， AEDE； （2）解：AB 是O 的直径， ABC 是直角三角形， CBA=60， BAC=EAC=30， AEC 为直角三角形，AE=3， AC=2 3， 连接 OF， OF=OA，OAF=BAC+EAC=60， OAF 为等边三角形， AF=OA= 1 2 AB， 在 Rt ACB 中，AC=2 3，tanCBA=3， BC=2， AB=4， AF=2 考点：切线的性质 六解答题（共六解答题（共 2 小题，满分小题，满
32、分 20 分，每小题分，每小题 10 分）分） 23.如图，海中有一小岛 P，在距小岛 P 的16 2海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在 A处时测 得小岛 P 位于北偏东 60，且 A、P 之间的距离为 32 海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危 险？请通过计算加以说明如果有危险，轮船自 A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这 一海域？ 【答案】轮船自 A 处开始至少沿南偏东 75度方向航行，才能安 全通过这一海域 【解析】 试题分析: 过 P作 PBAM于 B,则 PC的长是 A沿 AM方向距离 P点的最短距离,求出 PC长和 16 2比较即 可,第二问设出航行
33、方向,利用特殊角的三角函数值确定答案. 试题解析:过 P作 PBAM于 B, 在 Rt APB中,PAB=30 , PB= 1 2 AP= 1 2 32=16 海里, 16162,故轮船有触礁危险, 为了安全,应该变航行方向,并且保证点 P 到航线的距离不小于暗礁的半径 16 2海里,即这个距离至少为 16 2海里, 设安全航向为 AC,作 PDAC 于点 D, 由题意得,AP=32 海里,PD=16 2海里, sinPAC= 16 22 322 PD AP , 在 Rt PAD中,PAC=45 , BAC=PAC-PAB=45 -30 =15 , 答:轮船自 A处开始至少沿东偏南 15度方向
34、航行,才能安全通过这一海域. 24.某商场以每件 280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360元时，每月可售出 60 件，为了扩大销 售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1元，那么商场每月就可以多售 出 5件 （1）降价前商品每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）当这种商品售价定为多少元时，该商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1）4800 元； （2）60 元； （3）售价 326 元时，总利润最大为 10580 元 【解析】 试题解析：
35、（1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润； （2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 x元，由 销售问题的数量关系建立方程求出其解即可 （3）求出关于利润的二次函数关系式，通过配方求得即可. 试题解析： （1）由题意得 60 (360280)4800(元) 即降价前商场每月销售该商品的利润是 4800 元； （2）设每件商品应降价 x元,由题意得(360x280)(5x60)7200, 解得 x18，x260要更有利于减少库存,则 x60 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元,且更有利于减少库存,则每
36、件商品应降价 60元 （3）设总利润为 W 元， 则 W=（360-x-280） （5x+60）=-5（ x-34）2+10580， 360-34=326， 则当降价 34元， 即售价 326 元时，总利润最大为 10580元 七解答题（共七解答题（共 1 小题）小题） 25.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB、AD上各有一点 P、Q，APQ的周长为 2，求PCQ 为了解决这个问题，我们在正方形外以 BC 和 AB延长线为边作CBE，使得CBECDQ（如图） （1）CBE可以看成由CDQ 怎样运动变化得到的？ （2）图中 PQ与 PE的长度有什么关系？为什么？ （3）请用（2）的结论证
37、明PCQPCE； （4）根据以上三个问题的启发，求PCQ的度数 （5）对于题目中的点 Q，若 Q 恰好是 AD的中点，求 BP 的长 【答案】 （1）CBE 可以看成是由CDQ 沿逆时针旋转 90得到的； （2）PE=PQ； （3）证明见解析； （4）45； （5） 1 3 【解析】 分析】 （1）CBE可以看成是由CDQ 旋转得到的； （2）由旋转可知CEBCDQ，根据全等三角形的对应边相等得到 DQ=BE，由正方形的变成为 1易知 AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，又有APQ的周长为 2，可求出 PQ=PE； （3）由（2）得到的 PQ=PE，由CEBCDQ得到一对对应边相等，再由
38、 CP 为公共边，根据 SSS判定 PCQPCE； （4）利用PCQPCE得出PCQ=PCE，又有BCE=QCD，得出PCQ 的度数是DCB 度数的一 半，由DCB为直角即可求出PCQ的度数； （5）由 Q为 AD 的中点，根据正方形的边长为 1，求出 DQ 与 AQ的长，又CEBCDQ，得到 BE=DQ， 从而求出 BE 的长，再由PCQPCE 得到 PE=PQ，设 PB为 x，用 PB+BE表示出 PE 即为 PQ的长，且 表示出 AP 的长，在直角三角形 APQ中，根据勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即 为 BP 的长 【详解】 （1）CBE 可以看成是由CDQ
39、沿逆时针旋转 90 得到的； （2）CBECDQ，正方形的边长为 1， AQ=1DQ=1BE，AP=1BP， 又AP+AQ+PQ=2， 1BE+1BP+PQ=2，即 2PE+PQ=2， PE=PQ； （3）CBECDQ， QC=EC， 在PCQ和PCE 中， PQPE CPCP QCEC ， PCQPCE（SSS）； （4）PCQPCE， PCQ=PCE， 又BCE=QCD， QCD+PCB=PCQ， 又DCB=90 ， PCQ= 1 2 90 =45 ； （5）若 Q为 AD 中点，得到 DQ=AQ= 1 2 AD= 1 2 ， CBECDQ，BE=DQ= 1 2 ， 设 BP=x，则 AP
40、=1x， PCQPCE，QP=PE=PB+BE=x+ 1 2 ， 在 RtAPQ中，根据勾股定理得：PQ2=AQ2+AP2， 即（x+ 1 2 ）2=（ 1 2 ）2+（1x）2， 化简得：x2+x+ 1 4 = 1 4 +12x+x2，即 3x=1，解得 x= 1 3 ， 则 BP 的长为 1 3 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等，掌握图形的三种变换：平 移、旋转、轴对称都只是改变图形的位置，不改变形状和大小，从而由旋转得到CBECDQ，是本题的 突破点，第四问利用转化的思想来求解，第五问在求 BP 长时，利用勾股定理列出方程，利用方程的思想来 求解 八解
41、答题（共八解答题（共 1 小题）小题） 26.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c经过点 A（1，0） ，点 B（3，0）和点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式和顶点 E的坐标； （2）点 C 是否在以 BE 为直径的圆上？请说明理由； （3）点 Q是抛物线对称轴上一动点，点 R是抛物线上一动点，是否存在点 Q、R，使以 Q、R、C、B为顶 点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q、R 的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】 （1）解析式为 y=x 2+2x+3，顶点 E（1，4） ； （2）点 C 在以 BE 为直径的圆上； （3）存在，R（4， 5） ，Q（1，2）或 R（2，
42、5） ，Q（1，8）或 R（2，3） ，Q（1，0） 【解析】 试题分析： （1）运用待定系数法即可得出函数关系式，然后进行配方即可得出顶点坐标； （2）过点 E分别作 x轴、y轴的垂线，垂足分别 F、G易证BCE为直角三角形，点 C在以 BE为直径的 圆上； （3）利用平行四边形的性质易得点 Q、R的坐标. 试题解析： (1) 将 A(1，0)，B(3，0)和 C(0，3)代入 y=ax2bxc 得 930 0 3 abc abc c 解得 1 2 3 a b c 抛物线的解析式为 y=x22x3， y=x22x3=-（x-1）2+4， 顶点 E 的坐标为(1，4) (2)点 C 在以 BE为直径的圆上，理由如下： 如图，过点 E 分别作 x 轴、y轴的垂线，垂足分别 F、G 在 RtBOC中，OB=3，OC=3，BC2=18 在 RtCEG中，EG=1，CG=OGOC=43=1，CE2=2 在 RtBFE 中，FE=4，BF=OBOF=31=2， BE2=20 BC2CE2=BE2 故BCE为直角三角形，点 C 在以 BE为直径的圆上 (3)存在，点 Q、R的坐标分别为 Q1(1，2)，R1(4，5)； Q2(1，8)，R2(2，5)；R3(2，3)，Q3(1，0)
