1、第3章 场论与张量运算简介何险峰2007年9月传递过程原理 1本章内容1.流体力学基本概念2.一点的应力状态应力张量3.场论4.二阶张量运算5.流体力学本构方程6.小结2流体力学基本概念连续介质假设和微团 真实流体所占有的空间可近似看作是由“流体质点”连续地无空隙地充满着的。1.空间尺度（microscope,mesoscope,macroscope)2.时间尺度（飞秒、皮秒、纳秒、微秒、毫秒、秒）3流体力学基本概念拉格朗日方法),(tzyxrr 着眼点：寻求质点位置变化规律ttzyx),(rv22),(ttzyxtrvva4流体力学基本概念欧拉方法),(trvv 着眼点：寻求空间中每个点上描
2、述流体运动随时间的变化状态5流体力学基本概念泰勒展开(Taylor Series).dd)(!31dd)(!21dd)(!11)()(33302220000 xfxxxfxxxfxxxfxfxx一维：),()()()(!1)()()(!11),(),(0000002),(000000000zyxfzzzyyyxxxjzfzzyfyyxfxxzyxfzyxfjjzyx三维：6流体力学基本概念欧拉方法表达加速度ttMttMtt),(),(ddlim0vvvv 泰勒展开：ttMtMttMttMttt),(),(),(),(ddlimlim00vvvvvtvztvytvxtMMMttvMtvMtvMt
3、Mzyxzyxzzyyxxvvvvvv),(),(),(vvvvvvvvva)(ddttvzvyvxttzyx7流体力学基本概念流体速度分解定律速度类型1.平移速度2.旋转速度3.变形速度例子：A.速度均匀的平移流动B.平行剪流C.简单的环形流动D.流线是圆形的无旋流动8流体力学基本概念流体速度分解定律刚体运动rvv0v2rot rvvvrot210旋度:rotv：角速度平移速度:0v9流体力学基本概念流体速度分解定律旋度旋度几何意义：设想一向量场,每一点都有一个向量,则在有旋度的点处周围很小的空间里,会有向量绕成一个闭合的平面旋涡状,像水的旋涡,这一点的很小的一个空间里的平均的向量旋转角速度
4、称为旋度。旋度物理意义：刚体旋转时的2倍旋转角速度 10流体力学基本概念流体速度分解定律rSrvvvrot210S：变形速度张量11流体力学基本概念涡量=rot v12流体力学基本概念体力 单位体积流体上受到的力g面力 流体单位面积上受到的力与面有关，张量描述13一点的应力状态应力张量张量的物理概念（Tensor)1.是矢量2.是面力，与作用面有关标量、矢量、n 阶张量的关系14一点的应力状态应力张量压力张量1.面力2.各向同性pEppp000000npppnpnpnnnnpppzyxzyxn00000015一点的应力状态应力张量剪应力张量zzyzxzyzyyxyxzxyxxzzzyzxyzy
5、yyxxzxyxxxy:剪应力的 y 分量作用于 x 面上的力16场论定义：设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间内的函数为场17场论场的分类标量场（温度场、密度场）矢量场（力场、电磁场、速度场）均匀场不均匀场定态场（不随时间改变）非定态场无源场（管式场）散度为零无旋场（势场）旋度为零18场论标量、矢量和张量表示s=标量（不加黑的斜体字母）v=矢量（加黑的斜体字母）=张量（加黑的希腊字母）19矢量的定义矢量定义：具有一定的量值和方向的量矢量相等：量值相等、方向相同（可以是非共线、非同一作用原点)vv20矢量加减法矢量加减法交换率 v+w=w+v结合率 (v+w)+u=v
6、+(w+u)21矢量乘法矢量和标量矢量和标量的乘法交换率（OK）：sv=vs结合率（OK）：r(s v)=(r s)v 分配率（OK）：(q+r+s)v=q v+r v+s v 22矢量乘法点乘两个矢量标量积（点乘、点积）vwvwcos)(wv交换率（OK）：u v=v u结合率（NA）：(u v)w u(w v)分配率（OK）：u v+w=u v+u wv v=?几何意义？23矢量乘法叉乘两个矢量矢量积（叉乘、叉积）vwvwvwnwvsin交换率（NA）：结合率（NA）：分配率（OK）：vwwvwvuwvuwvvuwvu?vv几何意义？24张量乘的阶数计算张量乘的阶数乘法符号结果的阶数例子无
7、v，vwx-1vw,uvuw.-2v w,uv wv:-4uv:wv标量0阶张量；矢量 1阶张量；张量本课通指2阶张量25标量、矢量和张量乘结果的表示标量、矢量和张量乘结果的表示括号类型结果类型例子（）标量(v w)矢量vw张量 uv+wv 26以分量表示的矢量运算克罗内克符号(Kronecker Delta）符号ijjijiij01交错单位张量 ijkothers0213,132,3211312,231,1231ijkijkijk)()(21ikkjjiijk27ij 和 ijk 的关系ij和ijk的关系ihjkhjkijk23131三阶行列式 的分量表示法jminjnimkmnkijk31
8、313131321333231232221131211ijkkjiijkaaaaaaaaaaaa28单位矢量的点乘右手坐标ijji)(单位矢量的点乘0)2/cos(11)()()(3231211)0cos(11)()()(33221129单位矢量的叉乘单位矢量叉乘kkijkji313321)2/sin(11)(1132)2/sin(11)(2213)2/sin(11)(32112)()(13223)()(21331)()(30矢量以分量方式展开矢量以分量展开31332211iiivvvvv312232221iivvvvvv矢量的量值31以分量表示的矢量运算矢量加减法矢量的点乘矢量的叉乘iiii
9、iiiiiiwvwv)(wviiiijjiijwvwvwv)(ijkkjiijkjkkjkjkkkjjjwvwvwvwv321321321wwwvvv32多重矢量的乘法例1ijkkjiijkiijkikjiijkiiiiwvuwvuu)(wvwvu321321321wwwvvvuuu几何意义：计算u,v,w 组成平行六面体的体积33多重矢量的乘法例2jjjijjjijlljjlijmmjjmijlmmljjlimjmiljklmmljlmkijkjkklmkmlkklmjijkjkkjijkivuwwuvvuwwuvwvuwvuwvuu)(wvwvu)()(vuwwuvwvu34矢量的微分运算
10、哈密尔顿(Hamilton)算符（nabla/del）iiixxxx332211直角坐标系中的表达35标量场的梯度（gradient）iiixsxsxsxss332211定义：又称为：grad s36矢量场的散度（divergence）iiiijijijijijjijjjiiixvvxvxvx)()()()(v定义：又记为：div v)(v37矢量场的旋度（rotation)(vijkkjiijkjkjkkjkkkjjjvxvxvxv)()()()(定义：又记为：rot v 或者 curl v321321321vvvxxx38标量场的Laplace算符)(s定义：称为Laplace算子iiij
11、ijjijjjiiixsxsxxsxs22)()()()()(iix222直角坐标系中39标量场的随体导数随体导数定义：332211ddxvxvxvtt标量场的随体导数：iiixsvtssvtsxsvxsvxsvtst)(dds33221140矢量场的随体导数标量场的随体导数：)()(ddiiiivtvttvvvvv只在直角坐标系成立41二阶张量定义和符号333231232221131211ijijT221):(21张量的量值42并矢量332313322212332111321321wvwvwvwvwvwvwvwvwvwwwvvvvw并矢量可以看成矢量 v 和矢量 w 的转置的行列式乘积幷矢量
12、定义43单位幷矢量及张量的分量表示单位幷矢量000000001110000000102110000000033.ijijji张量的分量表示（并矢量表示）ijjijiwvvw直角坐标系中的意义44单位并矢量的基本运算iljklikjlkji)():(jkikjikji)(kijkjikji)(lijklkjilkji)(llijklkjikjilklijlkjikji单位幷矢量的乘法45张量的运算张量的加法ijjiijijijjiijijjiij)(张量和标量的乘法ijjiijss46张量的运算 iljlijlijijkllijkklijijkllkjiklijkllkklijjiij张量间的点
13、乘（）47张量的运算iljiijijkliljkklijijkllkjiklijkllkklijjiij:):(张量的双点乘（：）48张量的运算张量和矢量的点乘ikkikiijkkijjkijkkjijkiijkkjjkiiivvvvv49张量的运算张量和矢量的叉乘lkijijljkiklijklklijljkiijkkjijkijkkjjkiiivvvvv50张量的微分运算 333231232221131211xVxVxVxVxVxVxVxVxVxVijijjiV微分并矢量V51张量的微分运算张量场的散度ikikikijkjkikijijkkjijkijkkjjkiiixxxx52张量的微分
14、运算iikikkxVWVWijjiijxV:V53张量运算恒等式VVV)(WVUWUVVUWUVW)()():():(WVZUVZUWWZUV)():(VUUV)():(VUUVssWVWVVW)()(:VVss)()():(VVV 为对称张量54张量运算恒等式的证明ssWVWVVW)()()():(VVV 为对称张量55张量不变量和张量的几何表示张量的主值和主轴aa 矢量 a 的方向为张量的主轴方向 称为张量的主值56张量不变量和张量的几何表示不变量iiiijjijiaaa 展开得：032213III其中：3322111I2212211133133111332332222I332313322
15、2123121113I57张量不变量和张量的几何表示不变量和 的关系第一不变量：3213322111I3231212212211133133111332332222I3213323133222123121113I第二不变量：第三不变量：58张量不变量和张量的几何表示张量分解定理AS二阶张量可以唯一地分解成一个对称张量 S 和一个反对称张量 A 之和。jiijSS kkijkjiijAA59张量不变量和张量的几何表示二阶对称张量的性质1.S的对称性不因坐标变换而改变2.二阶对称张量3个主值都是实数、且存在3个相互垂直的主轴3.二阶对称张量S在主轴坐标系中具有最简单的形式4.二阶对称张量的几何表示
16、椭球面321000000S60矢量与张量的积分运算奥高（Ostrogradski-Gauss)散度定理VSSVd)(d)(WnWVSSPVPdd)(VSSVd)(d)(nVSSVd)(d)(vwnvwVSSVd)(lim0WnW61矢量与张量的积分运算斯托克斯（Stokes）旋度定理CSCSd)(d)(tVnV62矢量与张量的积分运算散度积分表达式VSVSWWdlim0旋度积分表达式SLSlVWdlim063矢量与张量的积分运算三维莱布尼茨（Leibniz）公式VSsVSPVtPVPtd)(ddddnvVs 任一曲面元的速度64曲线坐标系中的矢量和张量柱坐标系坐标变换zzryrxsincosz
17、zxyyxr)/arctan(2265曲线坐标系中的矢量和张量柱坐标系单位矢量zyxzr1000cossin0sincoszrzyx1000cossin0sincos可通过导数推导66曲线坐标系中的矢量和张量柱坐标系微商zrxzrryzrrx)1()0()0()0()cos(sin)0()sin(cos可通过偏导数链规则推导67曲线坐标系中的矢量和张量球坐标系坐标变换cossinsincossinrzryrx)/arctan()/arctan(22222xyzyxzyxr68曲线坐标系中的矢量和张量球坐标系单位矢量zyxr0cossinsinsincoscoscoscossinsincossi
18、n可通过导数推导rzyx0sincoscossincossinsinsincoscoscossin69曲线坐标系中的矢量和张量球坐标系微商)0()sin()(cos)sincos()sincos()sin(sin)sinsin()coscos()cos(sinrrxrrryrrrx可通过偏导数链规则推导70曲线坐标系中的矢量和张量孤元素和拉梅系数直角坐标系：2332222112)d()d()d()d(qhqhqhs2222)d()d()d()d(zyxs柱坐标系：2222)d()d()d()d(zrrs球坐标系：2222)dsin()d()d()d(rrrs71曲线坐标系中的矢量和张量坐标系h
19、1h2h3直角坐标系111柱坐标系1r1球坐标系1rr sin三种坐标系的拉梅系数72曲线坐标系中的矢量和张量梯度、散度、旋度的通用表达式)1,1,1(332211qshqshqshs)()()(1321321321321321qhhVqhhVqhhVhhh V3322113213322113211VhVhVhqqqhhhhhheeeV73曲线坐标系中的矢量和张量拉普拉斯算子的通用表达式)()()(1)(332132213211321321qshhhqqshhhqqshhhqhhhss74曲线坐标系中的矢量和张量柱坐标系的单位矢量微分0rr0r0zr r0z0rz0zz0zr75曲线坐标系中的
20、矢量和张量柱坐标系的nabla算符zrrzr76曲线坐标系中的矢量和张量柱坐标系下的矢量微分的表达式zvzvzvvrrvvrrvvrrvrvrvvvvzrrzrzrrzrzzrrzr111vv77曲线坐标系中的矢量和张量球坐标系的单位矢量微分0rr0r0r r0sin rrcos cossinr78曲线坐标系中的矢量和张量球坐标系的nabla算符zrrrrsin179曲线坐标系中的矢量和张量球坐标系下的矢量微分的表达式vrrvvrvrvrrvvrvrrvvrrvvrrvrvrvvvvrrrrrrrrrrrcotsin1cotsin1sin1111sin1vv80流体力学本构方程三维牛顿粘性定律
21、vvv)(32()()(T多少情况下：=081流体力学本构方程速度变形张量312123231212121212121)()(21TvvS82流体力学本构方程本构方程t dd1 v对不可压缩流体：0 vSvv2)()(T83流体力学本构方程本构方程 p张量：)(312vSp带入得：84本章小结基本概念欧拉法、场标量、矢量和张量（并矢量）单位矢量、单位张量Nabla算符、散度、旋度、拉普拉斯变换三维牛顿粘性定律、本构方程85本章小结矢量的基本运算罗克内克符号、交错单位张量加减、点乘、叉乘张量的基本运算加减、点乘、叉乘、双点乘、并矢量86本章小结矢量和张量的微分运算矢量和张量的积分运算奥高散度定理、Stokes旋度定理、莱布尼茨公式Nabla算符（哈密顿算符）、散度、旋度、拉普拉斯变换87本章小结矢量和张量的微分运算矢量和张量的积分运算奥高散度定理、Stokes旋度定理、莱布尼茨公式Nabla算符（哈密顿算符）、散度、旋度、拉普拉斯变换曲线坐标系柱坐标系、球坐标系坐标变换88
