1、抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第7讲随机变量的均值与方差讲随机变量的均值与方差【2014年高考会这样考年高考会这样考】1考查有限个值的随机变量均值、方差的概念考查有限个值的随机变量均值、方差的概念2利用随机变量的均值、方差解决一些实际问题利用随机变量的均值、方差解决一些实际问题.抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理当随机变量当随机变量X的概率分布的概率分布pjP（Xxj），），j0，1，n，就称就称E（X）_为为X的数学期望或均值的数学期望或均值.1.随机变量的均值随机变量的均值x1p1x2p2xnpn抓住抓住
2、2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考当随机变量当随机变量X有概率分布有概率分布pjP（Xxj），），j0，1，n和数学期望和数学期望E（X），就称），就称（x1）2p1（x2）2p2（xn）2pn2.随机变量的方差随机变量的方差抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考两个防范两个防范在记忆在记忆D(aXb)a2D(X)时要注意：时要注意：(1)D(aXb)aD(X)b，(2)D(aXb)aD(X)三种分布三种分布(1)若若X服从两点分布，则服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)；(2)若若XB(n，p)，则，则E(X)np，D(X)np(
3、1p)；【助学助学微博微博】抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考六条性质六条性质(1)E(C)C(C为常数为常数)；(2)E(aXb)aE(X)b(a，b为常数为常数)；(3)E(X1X2)EX1EX2；(4)如果如果X1，X2相互独立，则相互独立，则E(X1X2)E(X1)E(X2)；(5)D(X)E(X2)(E(X)2；(6)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数为常数)抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案A考点自测考点自测抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2已知已知X的分布为的分布为 设设
4、Y2X3，则，则E(Y)的值为的值为 ()答案答案A抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45解析解析XB(n，p)，E(X)np1.6，答案答案A3设随机变量设随机变量XB(n，p)，且，且E(X)1.6，D(X)1.28，则则()抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考4(2013成都五校联考成都五校联考)从一批含有从一批含有13件正品，件正品，2件次品的件次品的产品中不放回地抽产品中不放回地抽3次，每次抽取次，每次抽取1件，设抽取的次品件，设抽取的次品数为数为，则，则
5、E(51)()A2 B1 C3 D4抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案C抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考5(2013韵关调研韵关调研)有一批产品，其中有有一批产品，其中有12件正品和件正品和4件次件次品，从中有放回地任取品，从中有放回地任取3件，若件，若X表示取到次品的次表示取到次品的次数，则数，则D(X)_.抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若花店一天购进若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元单位：元)关于当天需求量关于当天需求量n(单位：枝，单
6、位：枝，nN)的函数解析式的函数解析式(2)花店记录了花店记录了100天玫瑰花的日需求量天玫瑰花的日需求量(单位：枝单位：枝)，整理得，整理得下表：下表：考向一随机变量的均值和方差考向一随机变量的均值和方差【例例1】(2012新课标全国新课标全国)某花店每天以每枝某花店每天以每枝5元的价格从元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考以以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率天记录
7、的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进若花店一天购进16枝玫瑰花，枝玫瑰花，X表示当天的利润表示当天的利润(单位：单位：元元)，求，求X的分布、数学期望及方差的分布、数学期望及方差若花店计划一天购进若花店计划一天购进16枝或枝或17枝玫瑰花，你认为应购进枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是枝还是17枝？请说明理由枝？请说明理由审题视点审题视点(1)根据日需求量分类求出函数解析式根据日需求量分类求出函数解析式(2)根根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布，求出数学据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布，求出数学期望和方差，比较两种情况的数学期望或方差即可期望和方差，比较两种情况的
8、数学期望或方差即可日需求量日需求量n14151617181920频数频数10201616151310抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解解(1)当日需求量当日需求量n16时，利润时，利润y80.当日需求量当日需求量n16时，利润时，利润y10n80.(2)X可能的取值为可能的取值为60,70,80，并且，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布为的分布为X607080P0.10.20.7抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考X的数学期望为的数学期望为E(X)600.1700.2800.776.X的方差为
9、的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.答案一：花店一天应购进答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进若花店一天购进17枝玫瑰花，枝玫瑰花，Y表示当天的利润表示当天的利润(单位：元单位：元)，那么那么Y的分布为的分布为Y55657585P0.10.20.160.54抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考Y的数学期望为的数学期望为E(Y)550.1650.2750.1685 0.5476.4.Y的方差为的方差为D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16
10、(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进，即购进16枝玫瑰花枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不，但两者相差不大故花店一天应购进大故花店一天应购进16枝玫瑰花枝玫瑰花答案二：花店一天应购进答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进若花店一天购进17枝玫瑰花，枝玫瑰花，Y表示当天的利润表示当天的利润(单位：元单位：元)，那么那么Y的分布列为的分布列为抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考Y的数学期望为的
11、数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进，即购进17枝玫枝玫瑰花时的平均利润大于购进瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一枝时的平均利润故花店一天应购进天应购进17枝玫瑰花枝玫瑰花 (1)求随机变量的均值与方差关键是确定随机变求随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布，正确运用均值、量的所有可能值，写出随机变量的分布，正确运用均值、方差公式进行计算方差公式进行计算(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布要注意观察随机变量的概率分布特征
12、，若属二项分布的，可用二项分布的均值与方差公式计算，则更为简单的，可用二项分布的均值与方差公式计算，则更为简单Y55657585P0.10.20.160.54抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练1】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队员，A队队员是队队员是A1、A2、A3，B队队员是队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：下：抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考现按表中对阵方式出场胜队得现按表中
13、对阵方式出场胜队得1分，负队得分，负队得0分，设分，设A队，队，B队最后所得总分分别为队最后所得总分分别为X，Y(1)求求X，Y的分布；的分布；(2)求求E(X)，E(Y)抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题视点审题视点 利用期望与方差的性质求解利用期望与方差的性质求解考向二均值与方差性质的应用考向二均值与方差性质的应用抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 若若X是随机变量，则是随机变量，则f(X)一
14、般仍是随机变一般仍是随机变量，在求量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求质，可以避免再求的分布带来的繁琐运算的分布带来的繁琐运算抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练2】A，B两个投资项目的利润分别为随机变量两个投资项目的利润分别为随机变量X1和和 X2，根据市场分析，根据市场分析，X1和和X2的分布分别为：的分布分别为：X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在在A，B两个项目上各投资两个项目上各投资100万元，万元，Y1和和Y2分别表示投分别表示投资项目资项目
15、A和和B所获得的利润，求方差所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将将x(0 x100)万元投资万元投资A项目，项目，100 x万元投资万元投资B项项目，目，f(x)表示投资表示投资A项目所得利润的方差与投资项目所得利润的方差与投资B项目所得项目所得利润的方差的和求利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出的最小值，并指出x为何值时，为何值时，f(x)取到最小值取到最小值抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解解(1)由题设可知由题设可知Y1和和Y2的分布为的分布为E(Y1)50.8100.26，D(Y1)(56)20.8(106)20.24，E(Y2)2
16、0.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例3】(2012福建福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为修期均为2年现从该厂已售出的
17、两种品牌轿车中各随机年现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取抽取50辆，统计数据如下：辆，统计数据如下：考向三均值与方差的实际应用考向三均值与方差的实际应用品牌品牌甲甲乙乙首次出现首次出现故故障障时间时间x(年年)0 x11202轿车数量轿车数量(辆辆)2345545每辆利润每辆利润(万元万元)1231.82.9抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考将频率视为概率，解答下列问题：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率现故障发生在保修期内的概率(2
18、)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求，分别求X1，X2的分布列的分布列(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题视点审题视点(1)利用互斥事件的概率
19、公式求其概率利用互斥事件的概率公式求其概率(2)确定随机变量确定随机变量X1，X2可能的取值，分别求出可能的取值，分别求出X1，X2每个每个值对应概率，列出值对应概率，列出X1、X2的分布的分布(3)代入均值公式求出代入均值公式求出E(X1)、E(X2)，比较，比较E(X1)、E(X2)大大小，做出判断小，做出判断抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们水平，方差反映了随机变量稳定
20、于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定值相同，再用方差来决定抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练3】(2013庆安一模庆安一模)在一次智力测试中，有在一次智力测试中，有A、B两两个相互独立的题目，答题规则为：被测试者答对问题个相互独立的题目，答题规则为：被测试者答对问题A可得分数为可得分数为a，答对问题，答对问题B可得分数为可得分数为b.先答哪个题目先答哪个题目由被测试者
21、自由选择，但只有第一个问题答对，才能由被测试者自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二个问题，否则终止答题若你是被测试者，再答第二个问题，否则终止答题若你是被测试者，且假设你答对问题且假设你答对问题A，B的概率分别为的概率分别为p1，p2.抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解解(1)设先答问题设先答问题A的得分为随机变量的得分为随机变量X，先答问题，先答问题B的得的得分为随机变量分为随机变量Y.P(X0)1p1；P(Xa)p1(1p2)；P(Xab)p1p2.E(X)0(1p1)ap1(1p2)(ab)p1p2ap1(1p2)(ab)p1p2ap1bp1p2
22、.P(Y0)1p2；P(Yb)p2(1p1)；P(Yab)p1p2.E(Y)0(1p2)bp2(1p1)(ab)p1p2bp2(1p1)(ab)p1p2bp2ap1p2.E(X)E(Y)ap1(1p2)bp2(1p1)抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)若若a10，b20，则，则E(X)E(Y)10p120p210p1p2当当10p120p210p1p20，即即p1p1p22p2时，选择先答时，选择先答A题题抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【命题研究命题研究】随机变量的期望、方差与其他数学知识相结随机变量的期望、方差与其他数
23、学知识相结合的问题，在近两年的高考中时有出现，体现了在知识合的问题，在近两年的高考中时有出现，体现了在知识交汇处命题的指导思想这类题目常以解答题的形式出交汇处命题的指导思想这类题目常以解答题的形式出现，将期望、方差与方程、函数、不等式等知识融合在现，将期望、方差与方程、函数、不等式等知识融合在一起，综合考查学生分析问题、解决问题的能力题目一起，综合考查学生分析问题、解决问题的能力题目难度适中，一般属于中档题难度适中，一般属于中档题规范解答规范解答17均值、方差与其他数学知识的综合问题均值、方差与其他数学知识的综合问题抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【真题探究真
24、题探究】(本小题满分本小题满分12分分)电视传媒公司为了解某电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了了100名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考将日均收看该体育节目时间不低于将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为分钟的观众称为“体体育迷育迷”(1)根据已知条件完成下面的根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是列联
25、表，并据此资料你是否认为否认为“体育迷体育迷”与性别有关？与性别有关？非体育迷非体育迷体育迷体育迷合计合计男男女女1055合计合计抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取名观众，抽取3次，记被抽取的次，记被抽取的3名观众中的名观众中的“体育迷体育迷”人数为人数为X.若每次抽若每次抽取的结果是相互独立的，求取的结果是相互独立的，求X的分布，期望的分布，期望E(X)和方差和方差D(X)P(2
26、k)0.100.050.01k2.7063.8416.635抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考教你审题教你审题(1)利用频率分布直方图，根据各矩形面积之和利用频率分布直方图，根据各矩形面积之和为为1，求出样本数据落在区间，求出样本数据落在区间40,60内的频率，则易求出内的频率，则易求出频数即为频数即为“体育迷体育迷”人数，人数，22列联表中各个值随之求出，列联表中各个值随之求出，计算计算 2的值，并作出判断的值，并作出判断(2)确定确定的可能取值，利用二项分布概率公式求出概率，的可能取值，利用二项分布概率公式求出概率，列出分布列出分布，代入公式求，代入公式求E
27、(X)，D(X)规范解答规范解答(1)由所给的频率分布直方图知，由所给的频率分布直方图知，“体育迷体育迷”人数人数为为100(100.020100.005)25，“非体育迷非体育迷”人数为人数为75，从而，从而22列联表如下：列联表如下：抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(3分分)将将22列联表的数据代入公式计算：列联表的数据代入公式计算：非体育迷非体育迷体育迷体育迷合计合计男男301545女女451055合计合计7525100抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考因为因为2.7063.0303.841，所以有，所以有90%的把握认为
28、的把握认为“体育迷体育迷”与性别有关与性别有关 (6分分)抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考阅卷老师手记阅卷老师手记 求解概率统计题应会对事件构成进行分求解概率统计题应会对事件构成进行分析弄清析弄清“等可能性等可能性”与与“非等可能性非等可能性”的区别；的区别；“有序取有序取”与与“无序取无序取”的区别；的区别；“有放回取有放回取”与与“不放回取不放回取”的区别；的区别；“互互斥斥”与与“独立独立”的意义会用排列、组合的知识求事件的概的意义会用排列、组合的知识求事件的概率，用互斥事件、独立事件、重复试验等概率公式求事件率，用互斥事件、独立事件、重复试验等概率公式
29、求事件的概率，对于复杂事件，要能够分解成若干个简单事件的的概率，对于复杂事件，要能够分解成若干个简单事件的和事件，不能遗漏求随机变量的分布时，要自觉应用随和事件，不能遗漏求随机变量的分布时，要自觉应用随机变量的分布的性质进行检验，一般利用随机变量的均值机变量的分布的性质进行检验，一般利用随机变量的均值的定义求解对于有些实际问题中的随机变量，如果能断的定义求解对于有些实际问题中的随机变量，如果能断定它服从某常见的典型分布，则可直接利用期望公式求定它服从某常见的典型分布，则可直接利用期望公式求得，因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可提高解得，因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可提高解题速度题速度
