1、第一节向量与向量的线性运算 第四章平面向量、数系的扩充与复第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入数的引入 考考 纲纲 要要 求求1平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景了解向量的实际背景(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义(3)理解向量的几何表示理解向量的几何表示2向量的线性运算向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义(2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义含义(3)了解向量
2、线性运算的性质及其几何意义了解向量线性运算的性质及其几何意义.课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、平面向量的概念一、平面向量的概念1平面向量平面向量平面内既有大小又有方向的量叫做向量平面内既有大小又有方向的量叫做向量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小2零向量零向量长度为零的向量叫做零向量，记为长度为零的向量叫做零向量，记为0，其方向是任意的，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量与任意向量平行零向量a0|a|0.由于由于0的方向是任意的，且规定的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有平行于任何向量，故在有关向量平行关向量平行(共线共线)
3、的问题中务必看清楚是否有的问题中务必看清楚是否有“非零向量非零向量”这个这个条件条件(注意注意“0”与与“0”的区别的区别)3单位向量单位向量模为模为1个单位长度的向量叫做单位向量向量个单位长度的向量叫做单位向量向量a0为单位向量为单位向量|a0|1.4平行向量平行向量(共线向量共线向量)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作ab.由于由于向量可以进行任意的平移向量可以进行任意的平移(即自由向量即自由向量)，平行向量总可以平移到，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，
4、只有大小、方向两个要素，数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，这里必须区分清楚共线向量中的起点可以任意选取，这里必须区分清楚共线向量中的“共线共线”与几何中的与几何中的“共线共线”的含义，要理解好平行向量中的的含义，要理解好平行向量中的“平行平行”与几何中的与几何中的“平行平行”是不一样的是不一样的5相等向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量相等向量经过长度相等且方向相同的向量叫做相等向量相等向量经过平移后总可以重合，记为平移后总可以重合，记为ab.2向量的减法向量的减法(1)相反向量：与相反向量：与a长度相等、方向相反的向量叫做长度相等、方向相反的向
5、量叫做a的相反的相反向量，记作向量，记作a.零向量的相反向量仍是零向量零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：关于相反向量有：(a)a；a(a)(a)a0；若若a，b是互为相反向量，则是互为相反向量，则ab，ba，ab0.(2)向量的减法：向量向量的减法：向量a加上加上b的相反向量叫做的相反向量叫做a与与b的差，记的差，记作作aba(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法求两个向量差的运算叫做向量的减法(3)作图法：作图法：ab可以表示为从可以表示为从b的终点指向的终点指向a的终点的向量的终点的向量(a，b有共同起点有共同起点)3向量加、减法的向量加、减法的“三角形法则三角形法则”与与“平行四
6、边形法平行四边形法则则”(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2)三角形法则的特点是三角形法则的特点是“首尾相接首尾相接”，由第一个向量的起，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和，点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和，差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
7、当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则是首尾连接时，用三角形法则4实数与向量的积实数与向量的积(1)实数实数与向量与向量a的积是一个向量，记作的积是一个向量，记作a，它的长度与方，它的长度与方向规定如下：向规定如下：|a|=|a|；当当0时，时，a的方向与的方向与a的方向相同；当的方向相同；当0时，时，a的方向的方向与与a的方向相反；当的方向相反；当0时，时，a0，方向是任意的，方向是任意的(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律数乘向量满足交换律、结合律与分配律三、两个向量共线定理三、两个向量共线定理向量
8、向量b与非零向量与非零向量a共线共线有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得b a.基础自测基础自测1(2012惠州市调研惠州市调研)已知向量已知向量a，b，则，则“ab”是是“ab0”的的_条件条件()A充分不必要充分不必要 B必要不充分必要不充分C充要充要 D既不充分也不必要既不充分也不必要解析：解析：“ab”只要求两向量共线，而只要求两向量共线，而“ab0”要求反要求反向共线且模相等故选向共线且模相等故选B.答案：答案：B3(2011上海市黄浦区二模上海市黄浦区二模)已知已知e1，e2是平面上两个不共线的是平面上两个不共线的向量，向量向量，向量a2e1e2，bme13e2，若，若ab
9、，则实数，则实数 m_.6考考 点点 探探 究究考点一考点一向量有关概念、结论的正误判断向量有关概念、结论的正误判断【例例1】给出下列命题：给出下列命题：若若|a|b|，则，则ab；若；若A，B，C，D是不共线的四点，是不共线的四点，则则 是四边形是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则，则ac；ab的充要条件是的充要条件是|a|b|且且ab；若；若ab，bc，则，则ac.其中正确的序号是其中正确的序号是_点评：点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为此，复习时一方面要构建良好的知较多，
10、因而容易遗忘为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，正确理解向量的有关概念另一方面要善于与物理识结构，正确理解向量的有关概念另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想中、生活中的模型进行类比和联想变式探究变式探究1给出下列命题：时间、速度、加速度都是向量；向量的给出下列命题：时间、速度、加速度都是向量；向量的模是一个正实数；所有的单位向量都相等；共线向量一模是一个正实数；所有的单位向量都相等；共线向量一定在同一直线上其中真命题的个数为定在同一直线上其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D3解析：解析：由向量、向量的模、共线向量的含义知中时间不由向量、向量的模、共线向量的含义知中时间不
11、是向量；中模可为零；中单位向量方向不同则不等；是向量；中模可为零；中单位向量方向不同则不等；中共线向量可以平行，不一定在同一直线上故中共线向量可以平行，不一定在同一直线上故均不对故选均不对故选A.答案：答案：A考点二考点二平面向量的线性运算平面向量的线性运算点评点评：在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形：在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，根据向量的几何加减法则即平行四边形法则和三或三角形中，根据向量的几何加减法则即平行四边形法则和三角形法则，能对图形中的向量进行互相表示，把未知向量转化角形法则，能对图形中的向量进行互相表示，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向
12、量来求解为与已知向量有直接关系的向量来求解变式探究变式探究考点三考点三平面图形中的向量问题平面图形中的向量问题点评：点评：向量的加法可以用几何法进行正确理解向量的各向量的加法可以用几何法进行正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对种运算的几何意义，能进一步加深对“向量向量”的认识，并能体会的认识，并能体会用向量处理问题的优越性用向量处理问题的优越性变式探究变式探究考点四考点四共线向量定理的应用共线向量定理的应用变式探究变式探究课时升华课时升华1向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系同向且等长的有向线段
13、都表与有向线段起点的位置没有关系同向且等长的有向线段都表示同一向量示同一向量2用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量3三角形法则的特点是三角形法则的特点是“首尾相接首尾相接”，由第一个向量的起，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和，点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和，差向量是两个向量始点重合时，从减向量
14、的终点指向被减向量差向量是两个向量始点重合时，从减向量的终点指向被减向量的终点的终点4对于两个向量平行的充要条件：对于两个向量平行的充要条件：abab，只有，只有b0时才是正确的而当时才是正确的而当b0时，时，ab是是ab的必要不充分条件的必要不充分条件5特别注意：特别注意：(1)向量的加法与减法是互逆运算向量的加法与减法是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件要条件(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重即重合合)，而向量平行则包括共线，而向量平行则包括共线(重合重合)的情况的情况.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考2(2012四川卷四川卷)设设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且且|a|b|aa|bb高考预测高考预测感谢大家观看最新学习可编辑资料
