1、(理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理/会用两个原理分析和会用两个原理分析和解决一些简单的计数应用问题解决一些简单的计数应用问题)10.1 10.1 基本计数原理基本计数原理第十单元第十单元 排列排列 组合与概念组合与概念1分类加法计数原理：分类加法计数原理：做做一件事情，完成它可以有两类不同方案，在第一方案中一件事情，完成它可以有两类不同方案，在第一方案中有有m种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有 N 种不同的方法种不同的方法2分步乘法计数原理分步乘法计数原理做做
2、一件事情，完成它需要两个步骤，做第一步有种一件事情，完成它需要两个步骤，做第一步有种m不同的方法，做第二步有不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法种不同的方法mnmn1由由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有()A238个个 B.232个个 C174个个 D168个个 解析：解析：可用排除法由可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数共有可组成的四位数共有343192(个个)，其中无重，其中无重 复的数字的四位数共有复的数字的四位数共有3 18(个个)，故有
3、重复数字的四位数共有，故有重复数字的四位数共有19218 174(个个)答案：答案：C2已知集合已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构，从这三个集合中各取一个元素构 成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A33 B34 C35 D36 解析：解析：答案：答案：A3上一个上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有的不同上法的总数为层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有的不同上法的总数为 f(n)，则下列猜想中正确的是，则下列猜想中正确的是()Af(n)n Bf(n)f(n1)f(n2)Cf(n)f(
4、n1)(n2)Df(n)解析：解析：n1,2时，显然时，显然f(n)n，n3时，时，f(n)f(n1)f(n2)答案：答案：D4如下图，一个地区分为如下图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使 用同一颜色，现有用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_ 种种(以数字作答以数字作答)答案：答案：72此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做
5、完这件事种，求其积注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事【例【例1】由由数字数字1,2,3,4 (1)可组成多少个可组成多少个3位数；位数；(2)可组成多少个没有重复数字的可组成多少个没有重复数字的3位数；位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字字大于个位数字解答：解答：(1)百百位数共有位数共有4种排法；十位数共有种排法；十位数共有4种排法；个位数共有种排法；个位数共有4种排法，根据种排法，根据分步计数原理共可组成分步计数原理共可组成4364个个3位数位数(2)百位
6、上共有百位上共有4种排法；十位上共有种排法；十位上共有3种排法；个位上共有种排法；个位上共有2种排法，由分步计数种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的原理共可排成没有重复数字的3位数位数43224(个个)(3)排出的三位数分别是排出的三位数分别是432、431、421、321共共4个个.分步计数原理与分类计数原理的根本区别在于分步计数原理与分类计数原理的根本区别在于“多步多步”完成，还是完成，还是“一步一步”完成，完成，分步计数原理要求步与步之间的方法相互独立，每一步各取一种方法即可完成一分步计数原理要求步与步之间的方法相互独立，每一步各取一种方法即可完成一件事；而分类计数原理要求每一类
7、中的每一种方法都可完成这件事，其要求是不件事；而分类计数原理要求每一类中的每一种方法都可完成这件事，其要求是不重不漏，从某种程度可以说分步计数原理可以简化分类计数原理的过程重不漏，从某种程度可以说分步计数原理可以简化分类计数原理的过程【例【例2】若若Aa1，a2，a3，a4，Bb1，b2，b3试问从试问从A到到B可建立多少种可建立多少种 不同的映射？不同的映射？解答：解答：解解法一：可分步计算法一：可分步计算 第一步：第一步：a1与与B中唯一的元素对应有中唯一的元素对应有3种方法；种方法；第二步：第二步：a2与与B中唯一的元素对应有中唯一的元素对应有3种方法；种方法；第三步：第三步：a3与与B
8、中唯一的元素对应有中唯一的元素对应有3种方法；种方法；第四步：第四步：a4与与B中唯一的元素对应有中唯一的元素对应有3种方法种方法 由分步计数原理，可建立从由分步计数原理，可建立从A到到B的映射共有的映射共有3481(个个)解法二：可分类计算解法二：可分类计算第一类：第一类：“四对一四对一”的情况共的情况共3种；种；第二类：第二类：“三对一，一对一三对一，一对一”的情况共的情况共 24(种种)；第三类：第三类：“二对一、二对一二对一、二对一”的情况共的情况共 18(种种)；第四类：第四类：“二对一，一对一，一对一二对一，一对一，一对一”的情况共的情况共 36(种种)由分类计数原理从由分类计数原
9、理从A到到B的映射共有的映射共有81个个变式变式2.五五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多 少？少？五名学生争夺四项比赛的冠军五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少种？，获得冠军的可能性有多少种？解答：解答：报报名的方法种数为名的方法种数为4444445(种种)获得冠军的可能情况有获得冠军的可能情况有555554(种种).对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，重视两对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运
10、用，并注意以下几点：个原理的灵活运用，并注意以下几点：(1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的“事情事情”是什是什么，完成这件事情的含义和标准是什么么，完成这件事情的含义和标准是什么(2)明确完成这件事情需要明确完成这件事情需要“分类分类”还是还是“分步分步”，还是既要，还是既要“分类分类”又要又要“分分步步”，并搞清，并搞清“分类分类”或或“分步分步”的具体标准是什么的具体标准是什么(3)用两个计数原理解决的主要问题包括：用两个计数原理解决的主要问题包括：排数；排数；计算有限集合计算有限集合A到到B的映射的映射的个数；
11、的个数；涂色问题等涂色问题等【例【例3】如如图，用图，用5种不同的颜色给图中种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解答：解答：解解法一：如题图分四个步骤来完成涂色这件事：法一：如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂涂A有有5种涂法；种涂法；涂涂B有有4种方法；种方法；涂涂C有有3种方法；种方法；涂涂D有有3种方法种方法(还可以使用涂还可以使用涂A的颜色的颜色)根据分步计数原理共有根据分步计数原理共有5433180种涂色方法种涂色方法 解
12、法二：由于解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有 60种涂法；又种涂法；又D与与B、C相邻、因此相邻、因此D有有3种涂法；由分步计数原理知共有种涂法；由分步计数原理知共有603180种涂法种涂法 解法三：也可利用分类计数原理计算：解法三：也可利用分类计数原理计算：第一类：四个区域涂四种不同的颜色共有第一类：四个区域涂四种不同的颜色共有 120种涂法；种涂法；第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不相邻只能是不相邻只能是A、D两区域两区域颜色一样共颜色一样共 160种涂法种涂法 由分类
13、计数原理知共有涂法由分类计数原理知共有涂法12060180(种种)变式变式3.将将3种作物种植在如下图的种作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试 验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有_种种(以数字作答以数字作答)解析：解析：32222 242.答案：答案：42 1.弄清是分步还是分类问题关键在于看是一步完成，还是多步完成利用分步弄清是分步还是分类问题关键在于看是一步完成，还是多步完成利用分步计数原理要注意各步方法之间相互依存、互不影响；而使用分类计数原理主计数原理要注意各步方法之间相互依存、互
14、不影响；而使用分类计数原理主要是遵循要是遵循“不重、不漏不重、不漏”的原则的原则2分步计数原理从某种程度上简化了分类计数原理的运算过程，如例分步计数原理从某种程度上简化了分类计数原理的运算过程，如例2也可利用也可利用分类计数原理分类计数原理3本节提供的具体模型有：本节提供的具体模型有：(1)各取一个与任取一个问题；各取一个与任取一个问题；(2)排数问题排数问题(注意有重复数字和没有重复数字的区别注意有重复数字和没有重复数字的区别)；(3)涂色问题等涂色问题等.【方法规律【方法规律】(本题满分本题满分5分分)将将4个颜色互不相同的球全部放入编号为个颜色互不相同的球全部放入编号为1和和2的两个盒子
15、里的两个盒子里，使得使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A10种种B24种种C36种种D52种种【考卷实录【考卷实录】解析解析：在在编号为编号为1和和2的两个盒子里，分别可放的两个盒子里，分别可放1,3个或个或2,2个小球个小球由分类计数原理不同的放球方法的种数是由分类计数原理不同的放球方法的种数是 10.答案答案：A【答题模板【答题模板】【分析点评【分析点评】1分类计数原理、分步计数原理是解决排列组合和概率问题的基础，贯穿始终，分类计数原理、分步计数原理是解决排列组合和概率问题的基础，贯穿始终，高
16、考考查两个原理比如着色问题，取放球等问题，而考查其他问题也是与两高考考查两个原理比如着色问题，取放球等问题，而考查其他问题也是与两个原理密切相关的个原理密切相关的2本题主要是利用分类计数原理考查分类讨论的思想方法，而对特定的情况分本题主要是利用分类计数原理考查分类讨论的思想方法，而对特定的情况分步计数原理可以简化分类计数原理的过程步计数原理可以简化分类计数原理的过程 3考卷实录中提供的解答看似合理，如果按算法得出的考卷实录中提供的解答看似合理，如果按算法得出的24种结果全部列出，不种结果全部列出，不难发现出现了难发现出现了“大面积大面积”的重复现象，解题错因是由于先放和后放造成一个的重复现象，
17、解题错因是由于先放和后放造成一个盒中不同的球产生顺序，从而导致重复，排列组合的根本区别是在于盒中不同的球产生顺序，从而导致重复，排列组合的根本区别是在于“有序有序”和和“无序无序”，更重要的是如何在运算过程中体现，更重要的是如何在运算过程中体现“有序有序”和和“无序无序”，学习，学习排列组合的最好方法就是理论联系实际，抽象问题具体化排列组合的最好方法就是理论联系实际，抽象问题具体化点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册4将将4个不同的球放入两个不同的盒子中，不同的放法共个不同的球放入两个不同的盒子中，不同的放法共2416种放法，也可在种放法，也可在16种结果中找出满足条件的所有方法，避免出现错误种结果中找出满足条件的所有方法，避免出现错误
