1、2.6平面向量-复习知识结构知识结构要点复习要点复习例题解析例题解析巩固练习巩固练习平面平面向量向量复习复习平平 面面 向向 量量 复复 习习知识结构知识结构平平 面面 向向 量量 表示表示 运算运算 实数与向量的积实数与向量的积 向量加法与减法向量加法与减法 向量的数量积向量的数量积 平行四边形法则平行四边形法则向量平行的充要条件向量平行的充要条件平面向量的平面向量的基本定理基本定理三三 角角 形形 法法 则则向量的三种表示向量的三种表示平平 面面 向向 量量 复复 习习向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量：长
2、度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量.（3）平行向量：）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量的非零向量.（4）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.注意：注意：1）零向量是一个特殊的向量；）零向量是一个特殊的向量；2）零向量与非零向量的区别。）零向量与非零向量的区别。知识要点知识要点平平 面面 向向 量量 复复 习习知识要点知识要点几何表示 :有向线段有向线段向量的表
3、示字母表示 :aAB、等坐标表示 :(x，y)若若 A(x1,y1),B(x2,y2)则则 AB=(x2 x1,y2 y1)平平 面面 向向 量量 复复 习习知识要点知识要点a向量的模（长度）向量的模（长度）1.设设 =(x ,y),则则2.若表示向量若表示向量(x1,y1)、B(x2,y2)，则，则 ABa22yx 221221yyxx平平 面面 向向 量量 复复 习习巩固练习巩固练习练习练习1 已知向量已知向量平平 面面 向向 量量 复复 习习知识要点知识要点1.向量的加法运算向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则平行四边形法则坐标运算坐
4、标运算:则则a +b=重要结论：重要结论：AB+BC+CA=0设设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)AC OC平平 面面 向向 量量 复复 习习知识要点知识要点2.向量的减法运算向量的减法运算1）减法法则：）减法法则：OABOAOB=2）坐标运算）坐标运算:若若 a=(x1,y1),b=(x2,y2)则则a b=3 3.加加法减法运算率法减法运算率a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：）交换律：2）结合律：）结合律：BA(x1 x2,y1 y2)平平 面面 向向 量量 复复 习习例题解析例题解析例例1 化简化简（1）（）（AB+MB）+BO+O
5、M （2）AB+DA+BD BCCA分析分析利用加利用加法减法运算法则，借助结论法减法运算法则，借助结论AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0进行变形进行变形.解：解：原式原式=AB+（BO+OM+MB）=AB+0=AB（1）（2）原式原式=AB+BD+DA（BC+CA）=0BA=AB例1平平 面面 向向 量量 复复 习习巩固练习巩固练习练习练习2 如图，正六边形如图，正六边形ABCDEF中，中，AB=a、BC=b、AF=c，用，用a、b、c表示向量表示向量AD、BE、BF、FC.AFEDCBacb答案：答案：AD=2 bBE=2 cBF=caFC=2 a思考：思考：a、b、c
6、 有何关系？有何关系？b=a+c0平平 面面 向向 量量 小小 复复 习习知识结构知识结构例题解析例题解析课外作业课外作业知识要点知识要点巩固练习巩固练习练习练习3 已知点已知点A（2，1）、）、B（1，3）、）、C（2，5）求求（1）AB、AC的坐标；（的坐标；（2）AB+AC的坐标；的坐标；（3）ABAC的坐标的坐标.（1）AB=（3，4），），AC=（4，4）（2）AB+AC=（7，0）（3）ABAC=（1，8）平平 面面 向向 量量 复复 习习知识结构知识结构例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点实数实数 与向量与向量 的积的积定义定义：坐标运算：坐标运算：其
7、实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！若若 =(x,y),则则(x,y)=(x,y)平平 面面 向向 量量 复复 习习知识结构知识结构例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点非零向量平行（共线）的充要条件非零向量平行（共线）的充要条件aba=b（R,b0）向量表示：向量表示：坐标表示：坐标表示：设设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则，则abx1y2x2y1=0平平 面面 向向 量量 复复 习习知识结构知识结构例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点平面向量的基本定理平面向量的基本定理 设设 e1和和 e2是同一平面内的两个
8、不共线向量，那么对该是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向量平面内的任何一个向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数1、2 使使=1 e1+2 e2 不共线的向量不共线的向量 e1和和 e2 叫做表示这一平面叫做表示这一平面 内所有内所有向量向量 的一组基底的一组基底1 e1+1 e2=2 e1+2 e21=2 1=2 动画演示动画演示(几何画板几何画板)向量相等的充要条件向量相等的充要条件平平 面面 向向 量量 复复 习习知识结构知识结构巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点例题解析例题解析 例例2 已知已知 分析分析 先求出向量先求出向量根据向量根据向量平行充
9、要条件的坐标表示平行充要条件的坐标表示,解解:思考思考:此题还有没有其它解法此题还有没有其它解法?(k3,2k+2)(4(k3)10(2k+2)=0K=31 34,31031例2平平 面面 向向 量量 小小 复复 习习知识结构知识结构例题解析例题解析课外作业课外作业知识要点知识要点巩固练习巩固练习练习练习4 n为何值时为何值时,向量向量思考思考:何时何时 平平 面面 向向 量量 复复 习习知识结构知识结构巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点例题解析例题解析例例3设设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a b)，求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。分析分析要证要
10、证A、B、D三点共线，可证三点共线，可证AB=BD关键是找到解：解：BD=BC+CD=2a+8b+3(a b)=a+5bAB=2 BD且且AB与与BD有公共点有公共点B A、B、D 三点共线三点共线AB BD例3平平 面面 向量向量 复复 习习课外作业课外作业练习练习5已知已知a=（1，0），），b=（1，1），），c=（1，0）求求和和，使，使 c=a+b.=0第二章第二章平面向量平面向量复习课复习课 本章的主要内容本章的主要内容 第一单元：向量的概念及表示；第一单元：向量的概念及表示；第二单元：向量的线性运算；第二单元：向量的线性运算；第三单元：向量的坐标表示；第三单元：向量的坐标表示；第
11、四单元：向量的数量积；第四单元：向量的数量积；第五单元：向量的应用第五单元：向量的应用第一单元：向量的概念及表示第一单元：向量的概念及表示 向量：既有大小又有方向的量 向量的大小称为向量的长度（或模）零向量：长度为0的向量 单位向量：长度等于1个单位长度的向量 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量相等向量：长度相等且方向相同的向量相反向量：长度相等方向相反的向量第二单元：向量的线性运算第二单元：向量的线性运算 向量加法的概念向量加法的概念 向量加法的法则：向量加法的法则：三角形法则三角形法则 向量加法的运算律向量加法的运算律：交换律交换律1、向量的加法向量的加法平行四边形法则平行四边形法
12、则结合律结合律2、向量的减法向量的减法 向量减法的概念向量减法的概念3、向量的数乘向量的数乘 向量的数乘：实数与向量相乘向量的数乘：实数与向量相乘 向量数乘满足的运算律：向量数乘满足的运算律：向量共线定理：向量共线定理：第三单元：向量的坐标表示第三单元：向量的坐标表示 平面向量基本定理平面向量基本定理 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 第四单元：向量的数量积第四单元：向量的数量积 平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律 平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示第五单元：向量的应用第五单
13、元：向量的应用平面向量复习课平面向量复习课一一.基本概念基本概念1.1.向量及向量的模、向量的表示方法向量及向量的模、向量的表示方法1)1)图形表示图形表示2)2)字母表示字母表示3)3)坐标表示坐标表示AB有向线段有向线段AB:|aAB 向量的模(,)axiy jx y(,)(,)aOAx yA x y 点(,)BABAaABxxyy 一一.基本概念基本概念2.2.零向量及其特殊性零向量及其特殊性a0aa0)5(00)4(00)3(a/0)2(0)1(方方向向任任意意一一.基本概念基本概念4.4.平行向量平行向量5.5.相等向量相等向量6.6.相反向量相反向量方向相同或相反方向相同或相反的非
14、零向量叫做平行向量的非零向量叫做平行向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量.(共线向量共线向量)区分向量平行、共线与几何平行、共线区分向量平行、共线与几何平行、共线长度相等且方向相反长度相等且方向相反的向量叫做相反向量的向量叫做相反向量.0)a(a,a)a(注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点7.7.两个非零向量两个非零向量 的夹角的夹角ab与一一.基本概念基本概念ABC1.向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则3.向量减法的三角形法则向量减法的三角形法则ab
15、ABBCAC ABCDabABADAC 中，abABADDB 首尾相接首尾相接共起点共起点共起点共起点二二.基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）在同一个平行四边形中把握：在同一个平行四边形中把握：及其模的关系及其模的关系ba,ba,b,a|b|a|ba|b|a|ADBCab;ABDC ADBC ;ACabDBab 3.3.实数与向量的积实数与向量的积是一个向量是一个向量二二.基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）a|0,00,000,0aaaaaaaaaa其长度：其方向：若则当时，与 同向；当时与 反向；当时方向任意若则对于任意的实数，都有4.4.两个非零向量两个非零向量 的的数量数量积
16、积ab与a b|cosab向量数量积的几何意义向量数量积的几何意义|cosbba叫做向量 在 方向上的投影注意：投影为实数，注意：投影为实数，可正可负可为零可正可负可为零|cos|a bba 二二.基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）运算律运算律222(1)()2abaa bb 22(2)()()ababab3()()a b ca b c （）4 a ba cbc（）(5)bca ba c(6)00a ba 或b=0 222(7)()a bab判断：判断：1122(,),(,),1)2)3)4)axybxyababaa b 若则)yy,xx(2121 )yy,xx(2121 )y,x(11
17、 二二.基本运算（坐标途径）基本运算（坐标途径）2121yyxx 5)|6)cos|aa aa bab 2121yx 222221212121yxyxyyxx 1./baba 向量 和非零向量2.ab非零向量 和则则若若),y,x(b),y,x(a2211 0yxyx1221 0yyxx2121 三三.两个等价条件两个等价条件ba有唯一的实数，使0a b ab四四.一个基本定理一个基本定理2.2.平面向量基本定理平面向量基本定理利用向量分解的利用向量分解的“唯一性唯一性”来构建实系数方程组来构建实系数方程组1.(,),(2,1),2mx y bmbxy设单位向量若，则2.(4,2),aa已知求
18、与 垂直的单位向量的坐标3.(3,4),aa求与 共线的单位向量的坐标ABFCMDENab例例1：如图所示，已知梯形：如图所示，已知梯形ABCD，AB=2CD,E,F分别为分别为AD,BC的中点，的中点，M,N是是EF的三等分点的三等分点题型题型1：向量的运算：向量的运算三角形法则的应用三角形法则的应用变式变式1：已知：已知ABC和平面内一点和平面内一点P，若满足，若满足则点则点P与与ABC的位置关系是（的位置关系是（）A.P在在AC边上边上 B.P在在AB边上或其延长线上边上或其延长线上C.P在在ABC 外部外部 D.P在在ABC 外部外部PAPBPCAB 变式变式2：在：在ABC中，若中，
19、若试判断点试判断点O与与ABC的位置关系的位置关系OA OBOB OCOC OA 例例2.2.1202,3,.abcab dbacd 已知两单位向量 与 的夹角为，若试求 与 的夹角的余弦值题型二：向量的模与夹角问题题型二：向量的模与夹角问题34ab 变式1：已知，且(a+2b)(2a-b)4，求a与b夹角 的范围？223,4916321836cos3236cos144abab 222因为，所以a，b所以(a+2b)(2a-b)=2aa bb解：1cos2003所以又因为，所以，例例3.题型题型3：向量的坐标运算：向量的坐标运算(1)(3,4)(5,2),cosaba b a b 已知，求，(
20、2,3)(2,4),(1,2),abc (2)已知，求2 )()()a bababa bc ，（，(a+b)(2,3)(2,4),(1,2),abc (2)已知，求2)()()()a bababa bcab ，（，(3)已知向量a=(1，2)，b=(3，4)，求a在b方向上的投影(4)已知向量已知向量a=(2,1),b=(3,x),若若(2a-b)和和b共线共线,则则x=；若若(2a-b)和和b垂直垂直,则则x=.1,21012(2,1),1.abba bab c 已知向量 与 同向，（），（）求向量 的坐标；（）若c求（）a补的值：105102,42000,0aba bab cb c a （
21、）设=（，2）其中，则，所以，所以（2）（）由题意知所以（解：）1.利用向量解题的基本思路有两种。一是几何法：利用向量加减法利用向量解题的基本思路有两种。一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立恰当的坐标系，将的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立恰当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题。向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题。2.树立和强化应用向量解题的意识，尤其是与几何相关的问题，特树立和强化应用向量解题的意识，尤其是与几何相关的问题，特别是垂直和平行关系，用向量法解决最为简单。别是垂直和平行关系，用向量法解决最为简单。3.向量与三角函
22、数结合的问题，通常是将向量的数量积与模用坐标向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，其中运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，其中涉及到的有关向量的知识有：向量的坐标表示及加、减法，数乘涉及到的有关向量的知识有：向量的坐标表示及加、减法，数乘向量；向量的数量积；向量平行、垂直的充要条件；向量的向量；向量的数量积；向量平行、垂直的充要条件；向量的模、夹角等。模、夹角等。4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理，注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理，平面向量基本定理。平面向量基本定理。
