1、课题: 3.2一元二次不等式及其解法【教材分析】 一元二次不等式的解法这节课属于高中数学必修五的内容，是初中一元一次不等式的解法、一元二次方程的根在知识上的延伸和发展，又是上一章集合知识的运用与巩固，也为下一章研究函数的定义域和值域作铺垫，起着承上启下的作用，它也是不等式的核心内容。同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。【学情分析】 现阶段高中生已经掌握了一元一次不等式（组）的解法，一元二次方程的求根等基础知识，有着良好的知识基础；而且他们通过初中的学习心
2、智发育逐渐成熟，发散思维习惯和方式已初步养成，具备了一定的数形结合的思想，有着较好的观察与总结、化归、探究能力【教学目标】1知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想.【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和一元二次
3、不等式的解法.【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.【教学过程】1.联系旧知，构建新知.复习：一元二次方程和二次函数.（1）一元二次方程的解法：*公式法：.*因式分解法：.（2）二次函数.*图象：一条抛物线.*开口方向： *对称轴： .*顶点坐标： .2.创设情境，提出问题.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：首先认识植树节的图标，然后提出问题：今年的植树节我校高一年级的同学去植树时遇到一个这样的问题，我们准备的树苗恰好能够栽满面积为40平方米的空地，而要绿化的空地是一个长比宽多6 米的矩形，那么，矩形绿化带长为多少时，准备的树苗有剩余？分析：设绿化带长为 m.则依题
4、意有.整理得.这个不等式怎么解呢？3.合作交流，探究新知（1）一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.（2）一元二次不等式的一般形式：.会发现一元二次不等式的左边与二次函数和一元二次方程很相似，提出疑问难道这三者之间有什么关系？（3）探究一元二次不等式的解.容易知道：一元二次方程的有两个实数根：.二次函数与轴有两个交点：.xyo-12思考1：观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系？于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数图象与轴交点的横坐标.思考2：观察图象，当为何值时，；当为何值时，；当为何值时，.观察函数图象，可知：当时，函数
5、图象位于轴上，此时，即；当 时，函数图象位于轴上方，此时，,即；当时，函数图象位于轴下方，此时，,即；所以，不等式的解集是.（4）探究一元二次不等式的解法.组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑：抛物线与轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况，而一元二次方程根的情况是由判别式三种取值情况(，）来确定.设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生合作讨论完成表格)。 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R 4.数学运用，深化认知.例1.求不等式的解集.解：因为所以方程的解是所以，原
6、不等式的解集是（注：先求方程的根，然后想像对应的二次函数的图象，根据图象写解集）变式为：求不等式的解集.不等式的解集是例2解不等式.解：整理，得.因为无实数解，所以不等式的解集是.从而，原不等式的解集是.解决问题：什么情况下准备的树苗会有剩余？解：因为所以方程的解是所以，不等式的解集是由于是矩形空地的长，所以当时，准备的树苗有剩余.5.练习检测，巩固收获.（1）求下列一元二次不等式的解集： （2）函数的定义域是() A B C D6.归纳小结，强化思想.（1）解一元二次不等式的步骤：第一步：将一元二次不等式化为标准形式；第二步：判断所对应二次方程的根的情况；第三步：若有根，则求出其根；第四步：
7、根据一元二次方程的根，画出二次函数的图象；第五步：结合图象，写出不等式的解集.概括为：一化二判三求根四画图五写解集（2）三个二次问题都可以通过图形实现转换，运用的是数形结合的思想.7.布置作业，拓展延伸.必做题：课本第80页习题A组 1，2.选做题：（1）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.（2）已知不等式的解集为，求的值.【板书设计】3.2一元二次不等式及其解法1.定义 2.解法一化正二算三求根四写解集.3.例题（1） （2）4.练习【教学反思】引导学生通过解一元二次方程和画一元二次函数图像来理解一元二次不等式。点名让学生上来求出方程的根和函数的图像。最后引导学生探究一般
8、的一元二次不等式的解法，任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式.求解集关键是抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程的根的情况，还要注意开口方向。而抛物线与x轴的相关位置，分为三种情况可以由一元二次方程的判别式来确定。由于之前有一个例子，学生很容易理解。最后指导学生独立完成课本的表格，把各种情况通过表格进行归类，清晰明了。根据本节课和以往上课时学生对数学问题思考困难的现状，关于解决这些数学思维障碍，我有以下几点认识和思考。1.教师在教学过程中应熟悉学生已有的知识状况高中数学，相比于初中和小学阶段的数学，比较注重于逻辑思考。因此，教师在讲解新的知识的时候，要先回顾教学需要用到的基础
9、知识，做好新旧知识的衔接，不让学生觉得突兀。例如，在刚开始学习高中数学的时候，一般都要先复习初中阶段学到的一元二次函数的具体资料，而对于那些不含任何参数的函数的最大值和最小值的求解比较简单，对于那些内含参数的求解可能对于很多的学生有点困难。在这个时候，我就先从不含参数的函数最大值和最小值求解开始讲起，逐步过渡到内含参数的函数的最大值最小值的求解，最后对求解区间变化的题目进行讲解。经过这样几步的层层递进，学生就会掌握各种一元二次函数的最值求解问题，也在必须程度上调动了全班学生的学习用心性。学生的思维也变得很清晰、很系统，对知识点构成了总体的认识。2.教师在教学过程中应侧重于学生的发散思维潜力的培
10、养在高中数学的教学过程中，很多的教师只注重集中思维的培养，不重视提升学生的发散思维潜力。其实，发散思维对于高中数学的学习是至关重要的，能够很好地帮忙学生掌握教材中的基础知识，更加灵活自如地应用知识，这也是新的时代对高中数学教学提出的新的要求。在讲解数学问题的时候，教师不能固定学生的思维，同一道题教师要引导学生进行不同的思考，鼓励学生从不同的思考角度想出新的方法来解决同一个问题。发散思维能够充分调动学生的系统的知识网络，使学生的阶梯思路更加开阔，知识之间的联系也变得更加密切。教学中，透过引入开放性的数学题目，使学生突破常规的思维方法，解决学生的思维障碍，在课堂上引导学生从不同的角度来处理问题，做
11、到解题的思路和方法的灵活应用，从而突破学生的数学思维障碍。3.教师在教学过程中应更新教学理念，改善教学方法教学本来就是一种认识新事物的过程，教师要根据认识新事物的规律来引导学生在已有的知识的基础上能够做好与新知识的衔接，在头脑中建立起二者之间的相互关系。教学方法的改善要思考到学生的实际状况，不能只按照教师自己的逻辑思考进行“填鸭式”的教学。教师要讲教材中的一些定义和定理引导学生深刻理解其内涵，从问题的表面去逐步挖掘其本质性的东西，要使学生逐步构成抽象的思维，能够在解决一些经常见到的数学问题的同时也要尝试着解决一些抽象的数学难题。在遇到一些难以解决的问题时，要引导学生变换思维方式，探索解决问题的
12、新的方法和手段。4.教师在课堂教学中应将数学思想方法作为教学的重点高中数学的学习更多的是数学思维方法的学习。学生在学习中要逐步掌握一些常见的数学思维方法，比如数学建模。对于数学的学习，不在于做了多少的题，而是在做每一种类型的题目的时候能够领悟其中用到的数学思维方法。一旦掌握了解题的思维方法，至于计算，就是一些基础技能的考查了。教师要引导学生在掌握数学思维方法的基础上，在解题过程中能够透过分析题目，想到用哪一种思维方法来解决问题，或者透过适当地转换形式，以适用某个数学思维方法。综上所述，在高中数学的教学过程中，教师要不断地进行教学总结，要掌握班上学生的数学基础状况，培养学生集中思维的同时要重视发散思维潜力的培养，加强自身的业务潜力，根据学生的反馈信息改善教学方法，将对数学思想方法的教学作为重点。教师要不断地在实践当中进行探索和发现，总结教学的经验，并进行及时的改善，只有这样才能不断改善高中数学教学，解决学生的数学思维障碍，这对于高中数学的教学具有深远的重大好处。9 / 10
