1、Euclid（about 325 BC-about 265 BC）v欧几欧几里得里得（Euclid of Alexandria;约约公元前公元前 330 公元前公元前 275）v欧几欧几里得里得的的几几何原何原本本是用公理方法建是用公理方法建立立演绎数学体演绎数学体系的最系的最早典早典范范。公理化方法公理化方法使数学丰富的理论建立在最简单明使数学丰富的理论建立在最简单明了的、不容怀疑的事实基础之上，容易明辨是了的、不容怀疑的事实基础之上，容易明辨是非。比如，几何学的正确性归结于诸如非。比如，几何学的正确性归结于诸如“等量等量加等量，总量仍相等加等量，总量仍相等”等公理体系的正确性。等公理体系的
2、正确性。公理化方法公理化方法也是数学逻辑严密性的一种表现。也是数学逻辑严密性的一种表现。在人类的每一个认识领域，当经验知识积累到在人类的每一个认识领域，当经验知识积累到相当数量时，就需要进行综合、整理，使之条相当数量时，就需要进行综合、整理，使之条理化、系列化，从而形成新的概念理论以更新理化、系列化，从而形成新的概念理论以更新系统，以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞系统，以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞跃。从理性认识的初级水平发展到高级水平，跃。从理性认识的初级水平发展到高级水平，又表现为抽象程度更高的公理化体系。又表现为抽象程度更高的公理化体系。定定义义公公设设、公理、公理命題定定义义命題
3、定定义义命題命題命題v希希尔尔伯特伯特（David Hilbert;1862 1943）18991899年年发发表著名的表著名的几几何基何基础础一一书书。引入了引入了 20 20 条条公理和公理和 6 6 个个不加不加解释解释的定的定义义，建立起新的建立起新的几几何公理何公理体系体系。v6 个个不加解不加解释释的定的定义义包括：包括：点点、线线、面、面、通通过过、在、在 之之间间、相等、相等 20 条条公理分成公理分成 5 組：組：关联关联公理公理（I.1 8）、）、順序公理順序公理（II.1 4）、）、合同公理合同公理（III.1 5）、）、平行公理平行公理（IV.）、）、联系联系公理公理（
4、V.1 2）希希尔尔伯特伯特同同时时提出提出选择选择公理公理体系体系的原則：的原則：相容性相容性、独独立性立性、完完备备性性v书书中有部分的定中有部分的定义义不清晰，不清晰，阅读后阅读后反而反而令人更迷惘。令人更迷惘。v在在论证过程论证过程之中，之中，欧几欧几里得里得使用了一些使用了一些公理系公理系统统未有提及的假設。未有提及的假設。对对第第 5 公公设设的的怀疑怀疑。第五公设（平行公设）第五公设（平行公设）v第五公设：第五公设：若一直线落在两直线上所构成的同若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于
5、两直角的一侧相交。它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。v在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊，它的叙述不像其它公设那样简洁、比较特殊，它的叙述不像其它公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直到卷到卷命题命题29才不得不使用它。才不得不使用它。对第五公
6、设的证明对第五公设的证明v历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希腊天文学家托勒密（约公元腊天文学家托勒密（约公元150），后来普），后来普洛克鲁斯指出托勒密的洛克鲁斯指出托勒密的“证明证明”无意中假定无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。平行。v替代公设：过直线外一点有且只有一条直线替代公设：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。与已知直线平行。几何原理中的家丑几何原理中的家丑v从公元前从公元前3世纪到世纪到18世纪，证明第五公设的世纪，证明第五公设的努力始终没有中断。但每一种努力始终没有中断。但
7、每一种“证明证明”要么要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在其它形式的错误。而且，这类工作中的存在其它形式的错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。18世纪中叶，达朗贝尔把平行公设的证明问世纪中叶，达朗贝尔把平行公设的证明问题称为题称为“几何原理中的家丑几何原理中的家丑”。v萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外结论：如三角形
8、内角和小于两直角；过直线外一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是与平行公设等价的。与平行公设等价的。v1763年，德国数学家克吕格尔（年，德国数学家克吕格尔（G.S.Klugel）在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以结论。克吕格尔是第
9、一位对平行公设是否可以由其它公设加以证明表示怀疑的数学家。由其它公设加以证明表示怀疑的数学家。高斯建立非欧几何高斯建立非欧几何v最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以用来描述物质空间的是高斯。他从用来描述物质空间的是高斯。他从1799年开始意识年开始意识到平行公设不能从其它公设推导出来，并从到平行公设不能从其它公设推导出来，并从1813年年起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。他起先称之为他起先称之为“反欧几里得几何反欧几里得几何”，最后改称为，最后改称为“非欧几里得几何非欧几里得几何”。但
10、高斯没有发表过任何有关。但高斯没有发表过任何有关非欧几何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及，非欧几何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及，他在给一位朋友的信中说：他在给一位朋友的信中说：“如果公布自己的这些如果公布自己的这些发现，发现，黄蜂就会围着耳朵飞黄蜂就会围着耳朵飞，并会，并会引起波哀引起波哀提亚人的叫嚣提亚人的叫嚣”。勇敢的勇敢的罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基v在非欧几何的三位发明人中，罗巴切夫斯基在非欧几何的三位发明人中，罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也最坚定地宣传和捍卫自己的新思想。且也最坚定地宣传和捍卫自己的新思想。v他于他于1
11、826年在喀山大学发表了演讲年在喀山大学发表了演讲“简要论简要论述平行线定理的一个严格证明述平行线定理的一个严格证明”，而后又于，而后又于1829年发表了论几何原理的论文，这是年发表了论几何原理的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但由于是用俄文发表在喀山通讯上的而未由于是用俄文发表在喀山通讯上的而未引起数学界的重视。引起数学界的重视。勇敢的勇敢的罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基v1840年用德文出版的平行理论的几何研究引年用德文出版的平行理论的几何研究引起高斯的关注，这使他在起高斯的关注，这使他在1842年成为德国哥廷根年成为德国哥廷根科学协会会员。科
12、学协会会员。面对种种攻击，面对种种攻击，罗巴切夫斯基表罗巴切夫斯基表现得比高斯更有勇气现得比高斯更有勇气。v一直到一直到1855年，当他已是一位双目失明的老人时，年，当他已是一位双目失明的老人时，还口述发表了著作泛几何学，坚信自己新几还口述发表了著作泛几何学，坚信自己新几何学的正确性。何学的正确性。v同一平面上的任何两条直线一定相交同一平面上的任何两条直线一定相交 三角形内角和小于三角形内角和小于180度度非欧几何的发展与确认非欧几何的发展与确认v德国数学家黎曼（德国数学家黎曼（B.Riemann,1826-1866）于于1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何学了一种更广泛的几何学-黎曼几何。黎曼几何。(同一平面上的任何两条直线一定相交同一平面上的任何两条直线一定相交)三角形内角和小于三角形内角和小于180度度19世纪世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。型，从而揭示出非欧几何的现实意义。v至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。
