1、二项式定理，又称牛顿二项式二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克定理，由艾萨克牛顿于牛顿于16641664、16651665年间提出年间提出二项式定理在组合理论、开高二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用及差分法中都有广泛的应用 你知道吗？?)(4 ba?)(3 ba?)(2 banba)(二项式定理研究的是二项式定理研究的是 的展开式的展开式.222baba?)(100 ba )()(2baba )()(3baba还要依法还要依法炮制吗？炮制吗？?)(nba展开式展开式有几项？每一项是怎样构成的？有几项？每一项是怎样构成的？的
2、展开式是什么？的展开式是什么？)(2121bbaa 思考思考1:1:展开式中展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？每一项是怎样构成的？展开式有几项？)()(212121ccbbaa 思考思考2:2:多项式乘法的多项式乘法的再认识再认识规律规律:每个括号内任取一个字母相乘构每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项成了展开式中的每一项.)()(bababa 3aba22ab3b 项：系数：113C23C33C03C)()(bababa )()(bababa )()(bababa ba2分析分析13C3332232133033)(bCabCbaCaCba 3)(ba 展开式：探究探究1
3、 1 推导推导 的展开式的展开式.3)(ba kkba 33,2,1,0 kkC3 2)(ba 2a22C ab2b02C12C 3)(ba03C 2ab ba2 3a13C23C33C3b 4)(ba 4a04C24C14C34C44C ba3 22ba 3ab4b?)(nba探究探究2 2 仿照上述过程仿照上述过程,推导推导 的展开式的展开式.4)(ba nnbabababa)()()(项：系数：kknba 分析分析相乘相乘个个)(ba naba中选中选个个)(kn bba中选中选个个)(kknC0nC1nCnnCknC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn
4、 探究探究3 3：请分析请分析 的展开过程，证明猜想的展开过程，证明猜想.nba)(naban 1 kknba nb展开式：二项展开式的通项二项展开式的通项:二项式系数二项式系数:),2,1,0(nkCkn 项数：项数：次数：次数：共有共有n1项项 各项的次数都等于各项的次数都等于n，1kTkknknbaC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn 字母字母a按按降幂降幂排列排列，次数由次数由n递减到递减到0,字母字母b按按升幂升幂排列排列，次数由次数由0递增到递增到n.杨辉，南宋时期杰出杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育的数学家和数学教育家家二项式定理二项式定理
5、 nx)(1)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn nba)(nnnkknknnnnnbCbaCbaCaC)()()(110 nnnnknnnxCxCxCC 10二项式定理二项式定理 你知道吗？解法一解法一:直接展开直接展开)1()2()2()12(5166066xxCxCxx 6665564246)1()1)(2()1()2(xCxxCxxC 33362426)21()2()21()2(xxCxxC 32231126016024019264xxxxxx 例：求例：求 的展开式的展开式6)12(xx 牛刀小试牛刀小试解法二解法二:先化简后展开先化简后展开例：求例
6、：求 的展开式的展开式61(2 x)x 思考思考3 3：你能否直接求出你能否直接求出展开式的第项？展开式的第项？思考思考1 1：展开式的第项展开式的第项的系数是多少？的系数是多少？思考思考2 2：展开式的第项展开式的第项的二项式系数是多少？的二项式系数是多少？666312x 11(2 x)()(2x 1)xxx 322364x192x240 x 16060121.xxx 31x 62x 516C2x 426C2x 336C2x 246C2x 56C2x 66C 哪一个方法更好一些呢？(2)(2)二项展开式的通项：二项展开式的通项：kknknkbaCT 11.1.二项式定理：二项式定理：2 2思想方法思想方法)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn (1)(1)二项式系数：二项式系数：),2,1,0(nkCkn(2)(2)用计数原理分析二项式的展开过程用计数原理分析二项式的展开过程.(1)(1)从特殊到一般的数学思维方式从特殊到一般的数学思维方式.(3)(3)类比、等价转换的思想类比、等价转换的思想.层次层次A A 课本课本3636页页 习题习题1.3 1.3 A A组组 1 1、2 2、3 3层次层次B B 探究二项式系数探究二项式系数 有什么性质？有什么性质？nnnCC，2，10nnCC我思考我收获我成功我快乐！
