1、阶段方法技巧训练（一）阶段方法技巧训练（一）专训专训2 2 构造全等三角形的五种常用方法构造全等三角形的五种常用方法习题课习题课 在进行几何题的证明或计算时，需要在图形在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决常见的辅助线作法有：数学问题较轻松地解决常见的辅助线作法有：翻折法翻折法、构造法构造法、旋转法旋转法、倍长中线法和截长倍长中线法和截长(补补短短)法法，目的都是构造全等三角形，目的都是构造全等三角形应应1如
2、图，在如图，在ABC中，中，BE是是ABC的平分线，的平分线，ADBE，垂足为，垂足为D.求证：求证：21C.方法方法1 翻折法翻折法如图，延长如图，延长AD交交BC于点于点F.(相当于将相当于将AB边向下翻折，与边向下翻折，与BC边重合，边重合，A点落点落在在F点处，折痕为点处，折痕为BE)BE平分平分ABC，ABECBE.BDAD，ADBBDF90.证明证明：在在ABD和和FBD中，中，ABDFBD，BDBD，ADBFDB90，ABD FBD(ASA)2DFB.又又DFB1C，21C.应应2如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，AC BC，ABC45，点，点D为为BC的中点，的中点
3、，CEAD于点于点E，其延长线交，其延长线交AB于点于点F，连，连 接接DF.求证：求证：ADCBDF.方法方法2 构造法构造法如图，过点如图，过点B作作BGBC交交CF的延长线的延长线于点于点G.ACB90，2ACF90.CEAD，AEC90，1ACF180AEC1809090.12.证明证明：在在ACD和和CBG中，中，12，ACCB，ACDCBG90，ACD CBG(ASA)ADCG，CDBG.点点D为为BC的中点，的中点，CDBD.BDBG.又又DBG90，DBF45，GBFDBGDBF904545.DBFGBF.在在BDF和和BGF中，中，BDBG，DBFGBF，BFBF，BDF B
4、GF(SAS)BDFG.ADCBDF.本题运用了本题运用了构造法构造法，通过作辅助线构造，通过作辅助线构造CBG，BGF是解题的关键是解题的关键应应3如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，E为为BC边上一点，边上一点，F为为CD边上一点，边上一点，BEDFEF，求，求EAF 的度数的度数方法方法3 旋转法旋转法如图，延长如图，延长CB到点到点H，使得，使得BHDF，连接连接AH.ABE90，D90，DABH90.在在ABH和和ADF中，中，ABAD，ABHADF90，BHDF，解解：ABH ADF.AHAF，BAHDAF.BAHBAFDAFBAF，即即HAFBAD90.BEDFEF，BE
5、BHEF，即，即HEEF.在在AEH和和AEF中，中，AHAF，AEAE，EHEF，AEH AEF.EAHEAF.EAF HAF45.图中所作辅助线，相当于将图中所作辅助线，相当于将ADF绕点绕点A顺时针顺时针旋转旋转90，使，使AD边与边与AB边重合，得到边重合，得到ABH.12应应4如图，在如图，在ABC中，中，D为为BC的中点的中点 (1)求证：求证：ABAC2AD；(2)若若AB5，AC3，求，求AD的取值范围的取值范围方法方法4 倍长中线法倍长中线法延长延长AD至点至点E，使，使DEAD，连接，连接BE.D为为BC的中点，的中点，CDBD.又又ADED，ADCEDB，ADC EDB.
6、ACEB.ABBEAE，ABAC2AD.(1)证明证明：ABBEAEABBE，ABAC2ADABAC.AB5，AC3，22AD8.1AD4.(2)解解：本题运用了本题运用了倍长中线法倍长中线法构造全等三角形，将证构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决关系来解决应应5如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABAD，BAD 120，BADC90.E，F分别是分别是 BC，CD上的点，且上的点，且EAF60.探究图中探究图中 线段线段BE，EF
7、，FD之间的数量关系并证明之间的数量关系并证明方法方法5 截长截长(补短补短)法法EFBEFD.解解：如图，延长如图，延长FD到点到点G，使，使DGBE，连，连接接AG.BADC90，BADG90.在在ABE与与ADG中，中，证明证明：ABAD，BADG90，BEDG，ABE ADG.AEAG，BAEDAG.又又BAD120，EAF60，BAEFAD60，DAGFAD60，即即GAF60，EAFGAF60.在在EAF与与GAF中，中，AEAG，EAFGAF，AFAF，EAF GAF.EFGFFDDG.EFFDBE.证明一条线段等于两条线段的和的方法：证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截截长法长法”或或“补短法补短法”“截长法截长法”的基本思路的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短补短法法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段线段
