1、第三章 随机变量的数字特征 Exit一、填一、填 空空 题题二、选二、选 择择 题题三、综三、综 合合 计计 算算 题题内内 容容 提提 要要 1 1数学期望和方差的概念，性质与计算。数学期望和方差的概念，性质与计算。2 2七个重要分布七个重要分布(0-1)(0-1)分布、二项分布、泊松分布、正态分布、伽玛分布、均匀分布和指数分布）的数学期望和方差。分布、二项分布、泊松分布、正态分布、伽玛分布、均匀分布和指数分布）的数学期望和方差。3 3随机变量函数的数学期望和方差。随机变量函数的数学期望和方差。4 4矩、相关系数（协方差）、协方差阵的概念及其性质与计算。矩、相关系数（协方差）、协方差阵的概念
2、及其性质与计算。几几种种常常用用分分布布随随机机变变量量的的期期望望和和方方差差 一填空题：一填空题：1 1设设r vX的的概概率率密密度度为为f xexx()1221,则则EX=，DX 。由于由于X)(2，N，其概率密度应为，其概率密度应为 f xex()()121222分分析析：因此把所给密度函数变形为因此把所给密度函数变形为 f xex()()12121212122（）1 1 1/2 1/2课课堂堂练练习习三三或或 EX=xedxxx11221 DX()xedxxx11122212 2 2已知已知r vX服从参数为服从参数为 2 2 的泊松分布，的泊松分布，则则ZX32的期望的期望EZ=
3、。分析：分析：由于由于X服从参数为服从参数为 2 2 的泊松分布，故知的泊松分布，故知其数学期望其数学期望EX 2，又由数学期望的性质可得又由数学期望的性质可得42623)23(EXXEEZ4 4 3 3设设XY、相互独立，且概率分布分别为相互独立，且概率分布分别为 f xexx()1221(x)()/yy1 2020，其它则：则：E XY()=（）；）；DXY()2=（）；）；EXY()232=（）。）。4 4设一次试验成功的概率为设一次试验成功的概率为p，进行，进行 100100 次次独立重复试验，当独立重复试验，当p=时，成功次数的标时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为准差的值最大，
4、其最大值为 。3 3设设XY、相互独立，且概率分布分别为相互独立，且概率分布分别为 f xexx()1221(x)()/yy1 2020，其它则：则：E XY()=（）；）；DXY()2=（）；）；EXY()232=（）。）。2 7/3 2分析：分析：EX EX=1=1，DX DX=1/2=1/2，EYEY=1=1，DYDY=1/3=1/32)(32)32(22EYDYEXYXE 分析：分析：依题意，可设依题意，可设X为为 100100 次独立重复试次独立重复试验中一次试验成功次数，则验中一次试验成功次数，则XBp()100，。X的标准差为的标准差为DXpp1001()要要使使其其标标准准差差
5、的的值值最最大大，只只需需1001pp()最最大大。进而得进而得p 1 2/时最大，其最大值为时最大，其最大值为 5 5。1/2 5 5 5设设X表表示示 1 10 0 次次独独立立重重复复射射击击命命中中目目标标的的次次数数，若若每每次次命命中中目目标标的的概概率率为为 0 0.4 4，则则EX2 。分分析析：由由题题意意，XB(.)1004，所所以以 P XmC ppmmm()10101 Cmmmm1010040601210.(,)EX2m C ppmmmm201010101()m Cmmmm201010100406.（比较繁）（比较繁）或由于或由于DXEXEX22()，EX np1004
6、4.DX npp().110040624故故EX22244.18.4 18.4。1 18 8.4 46 6.设设随随机机变变量量X服服从从参参数数为为的的泊泊松松分分布布，且且已已知知1)2)(1(XXE，则则=。分分析析：23)23()2)(1(22EXEXXXEXXE232=1 1即即0122，解解得得=1 1。1 二选择题二选择题 2 2设设X与与Y独独立立同同分分布布，记记UXY，VXY，则则UV、必必然然（）。(A)不不独独立立 (B)独独立立 (C)相相关关系系数数为为零零 (D)相相关关系系数数不不为为零零 二选择题二选择题 分分析析：因因为为由由EXYEX EY知知协协方方差差
7、为为零零。B 2 2设设X与与Y独独立立同同分分布布，记记UXY，VXY，则则UV、必必然然（）。(A)不不独独立立 (B)独独立立 (C)相相关关系系数数为为零零 (D)相相关关系系数数不不为为零零 分分析析：由由于于CovCov(,)(,)U VXY XY),(Cov),(CovYYXXYX CovCov(,)(,)X XY X CovCov(,)(,)X YY Y0CBC 3 3设设X与与Y相相互互独独立立且且方方差差分分别别为为 4 4 和和 2 2，则则D(32XY)=（）。(A)8 8 (B)1 16 6 (C)2 28 8 (D)4 44 4 分分析析：由由方方差差的的性性质质知
8、知 D(32XY)9444DXDYDD 4 4设设X是一是一r v.，EXDX,(,20常常数），对任意常数数），对任意常数C，必有，必有（）。）。(A)E XCEXC()22 (B)E XCE X()()22 (C)E XCE X()()22 (D)E XCE X()()22DD 三设随机变量三设随机变量X的概率分布为的概率分布为 X 0 0 1 1 2 2 pk 1/1/2 1/4 2 1/4 1/41/4求：求：（1 1）EXDX、；（2 2）YX()12的概率分布及的概率分布及EY；（3 3）随机变量）随机变量X的分布函数的分布函数F x()。解：解：EX 3 4/EX25 4/DXE
9、XEX2225 43 411 16()/(/)/YX()12的概率分布为的概率分布为 Y 0 0 1 1 pk 1/4 3/4 1/4 3/4 EY 3 4/xxxxxF21214/3102/100)(，四四设设r vX的的概率密度为概率密度为f xxAx(),10 1001xx其它，求：求：（1 1）待定常数）待定常数A；（2 2）EX；（3 3）F x()。解：解：（1 1）由归一性）由归一性 1f x dx()()()10110 x dxAx dxA，解得，解得A=1=1 (2)EX=xf x dx()xx dxxx dx()()1100110 (3)F xf x dxxxxxxxxxx
10、()()011212101212011122，设设ZXY，由由条条件件知知 ZXY)10()1(00(22221，NN 分分析析：E XYE Z/21)(222EZDZEZZE21)2(1)(222ZEZEZDYXD o 1 xy 1 解解法法一一：三三角角形形区区域域为为1,10,10:),(yxyxyxG；以以)(xfX表表示示X的的概概率率密密度度，则则当当0 x或或1 x时时，)(xfX=0 0；当当10 x时时，有有 xdydyyxfxfxX22),()(11 因因此此 102322dxxEX 1032212dxxEX181)(22 EXEXDX同同理理可可得得 32 EY；181
11、DY。101112522xGydyxdxxydxdyEXY36194125),(Cov EXEYEXYYX于于是是 181362181181),(Cov2 YXDYDXDU 解解法法二二：区区域域1,10,10:),(yxyxyxG；随随机机变变量量X和和Y的的联联合合分分布布密密度度为为 其他若,0),(,2),(Gyxyxf GdxdyyxxfEX),(1011322xdyxdx GdxdyyxfxEX),(22 10112212xdydxx181)(22 EXEXDX同理同理32 EY；181 DY。101112/522xGydyxdxxydxdyEXY36194125),(Cov EX
12、EYEXYYX于是于是 181362181181),(Cov2 YXDYDXDU 解解法法三三：区区域域1,10,10:),(yxyxyxG；随随机机变变量量X和和Y的的联联合合分分布布密密度度为为 其他若,0),(,2),(Gyxyxf 以以)(uf表表示示YXU 的的概概率率密密度度，当当1 u或或2 u时时，)(uf=0 0；设设21 u，当当10 x且且10 xu时时，2),(xuxf，否否则则0),(xuxf。)2(22),()(11udxdxxuxfufu duuufEUYXE)()(3/4)2(221 duuu duufuEUYXE)()(2226/11)2(2212 duuu2
13、2)()()(YXEYXEYXDDU 181916611 解法四解法四：区域：区域1,10,10:),(yxyxyxG；随机变量随机变量X和和Y的联合分布密度为的联合分布密度为 其他若,0),(,2),(Gyxyxf GdxdyyxfyxYXE),()()(101134)(2xdyyxdx GdxdyyxfyxYXE),()()(22 10112611)(2xdyyxdx22)()()(YXEYXEYXDDU 181916611 分分析析：随随机机变变量量1X与与2X的的联联合合分分布布即即为为随随机机向向量量（1X，2X）的的概概率率分分布布。由由于于1X和和2X均均为为离离散散型型随随机机
14、变变量量，所所以以（1X，2X）为为离离散散型型随随机机向向量量，求求其其概概率率分分布布就就是是求求（1X，2X）的的所所有有可可能能取取值值及及其其相相应应的的概概率率。解解：依依题题意意，(1X，2X)所所有有可可能能取取值值：(0 0，0 0)，(0 0，1 1)，(1 1，0 0)，易易得得 七某箱装有七某箱装有 100100 件产品，其中一、二和三等品件产品，其中一、二和三等品各为各为 8080、1010 和和 1010 件，现在从中随机抽取一件，记件，现在从中随机抽取一件，记Xii10，若抽到 等品，其它 ()i 123，试求：试求：（1 1）随机变量）随机变量X1与与X2的联合
15、分布；的联合分布；（2 2）随机变量）随机变量X1与与X2的相关系数的相关系数。解解：依依题题意意，(1X，2X)所所有有可可能能取取值值：(0 0，0 0)，(0 0，1 1)，(1 1，0 0)，易易得得0,021XXP110 1210110,P XX124105,P XX 而而（1X=1=1，2X=1=1）是不可能事件）是不可能事件,故其概率为零故其概率为零于是得于是得1X和和2X的联合概率分布表如下：的联合概率分布表如下：2X 1X 0 10 1 0 1/10 4/50 1/10 4/5 1 1/10 0 1 1/10 0 （2 2）易易得得1X和和2X的的分分布布列列分分别别为为 1
16、X 0 0 1 1 2X 0 0 1 1 P 1 1/5 5 4 4/5 5 P 9 9/1 10 0 1 1/1 10 01425DX 29100DX C Co ov v(1X,2X)=)(21XXE1EX25/22EX32)103()52(252),(2121DXDXXXCov 解解：（1 1）由由条条件件知知，当当1x 时时，F x()0；854181111XP 易易见见在在X的的值值属属于于（，）11的的条条件件下下，事事件件()111Xxx的的条条件件概概率率为为 2111|1xXxXP 易易见见在在X的的值值属属于于（，）11的的条条件件下下，事事件件()111Xxx的的条条件件概
17、概率率为为 2111|1xXxXP于于是是，对对于于 11x，有有1xXP111XxXP，PX1111|1XxXP 58125516xx所以，对于所以，对于11x，有，有 11)(xXPXPxXPxF 1855165716xx 对于对于1x，有，有F x()1。从而。从而 111116/)75(10)(xxxxxF，分分析析：由由于于r v X、Y相相互互独独立立同同分分布布，故故联联合合概概率率分分布布为为)()22(21222212121),(yxyxeeyxf(x y,)利用二维随机变量的函数的期望定理利用二维随机变量的函数的期望定理 2 2，可得，可得 dxdyyxfyxYXE),(思
18、思考考练练习习：设设vrX、Y独独立立同同服服从从正正态态分分布布)21(0(2，N，求求YXE 。E XYxy f x y dxdy(,)122dxxy edyxyx()()122dyyx edxxyy()()xyxdyeyxdx)(22)(2222()dyxedxxyydxyedyxyx()22dyey2222212124122dyey 或设或设ZXY，由条件知，由条件知 ZXY)10()1(00(22221，NN所以所以 dzzzZEYXE)(00)()(dzzzdzzz02122122dzezz )()()()(ABPBPAPBAP4/3)()(22APAP 解：解：（1 1）由条件知
19、）由条件知P AB()P A P B()(),P A()P B()，从而有，从而有解解得得P A()=1 1/2 2 （其其另另一一个个解解是是 3 3/2 2,设设去去）,进进而而有有 P AP Xa()f x dxx dxaaa()()3818812223于于是是得得a 43。（2 2）43)(1)1(22dxxfxXE解：解：dxxxfEX)(10 xdxx21)2(dxxx1dxxfxEX)(2210212267)2(dxxxxdxx于于是是 6/1)(22EXEXDX 例例 3-11 3-11 已知随机变量已知随机变量X的均值为的均值为EX，标准，标准差为差为)(XD。试求随机变量。
20、试求随机变量XX*（称为标准（称为标准化随机向量）的均值与方差。化随机向量）的均值与方差。解：解：EX*=EXEX()()10 *DX=)(1)(2XDXD22)(1XEXE112DX解解 （1 1）随随机机向向量量（X，Y）有有四四个个可可能能值值：（-1 1，-1 1），（-1 1，1 1），（1 1，-1 1），（1 1，1 1）。;411,11,1UUPYXP;01,11,1UUPYXP;211,11,1UUPYXP.411,11,1UUPYXP于于是是，得得X和和Y的的联联合合概概率率分分布布为为 Y X 1 1 -1 1/4 1/2 1 0 1/4（2 2）YX 和和2)(YX 的概率分布为的概率分布为 YX,412210412 2)(YX.214210 由此可见由此可见)(YXE=04242 )(YXD=2)(2YXE 解解：引引入入随随机机变变量量 ,0,1号盒子号球不是装入第第号盒子号球恰好装入第第iiiiXi 该该模模型型的的变变形形问问题题：信信封封问问题题
