1、二重积分及其计算PPT课件iDi(底面积).),(iifz.iiiD),(iiiifV),(iiVV 近似代替近似代替 第2页/共73页xyzO0),(yxfzDiniiifV10),(limiiiifV),(第3页/共73页,D),(yxiD),2,1(ni,iiiiim),(iiiD),(max1ini.非均匀分布时平面薄板质量问题引例引例2 2第4页/共73页,D),(yxiD),2,1(ni,iiiiim),(iiiD),(max1ini.),(lim 10iniiim非均匀分布时平面薄板质量问题第5页/共73页 比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量 小曲顶柱体 平面薄板小块iDiD
2、ii),(iif),(iiiiiifV),(iiiim),(底)(高)(密度)(面积)(面积)(小块)lim(,)niiiim 01iniiifV10),(lim第6页/共73页一一.二重积分的定义二重积分的定义 ),(2的有界函数。是定义在有界闭区域设RDyxf ),2 ,1(，个无公共内点的小区域任意分割为将niDnDi 1。的面积为，并记则iiniiDDD ),(，极限若iiiDniiiif10 ),(lim ),(其上的二重积分，在区域函数存在，则称该极限值为Dyxf )d(),d(max1的直径。为中，iiiniDDD )(),(),(。上可积，记为在区域此时称函数DRyxfDyxf
3、第7页/共73页 二重积分记为：,),(limd),(10niiiiDfyxf 式中：),(被积函数；yxf 二重积分号；积分区域；D ;)(d或平面面积元素积分元素 积分变量；，yx )(),(1。黎曼和积分和niiiif第8页/共73页二重积分定义的几点说明二重积分定义的几点说明第9页/共73页niiiiDf10 ),(lim )1(的分割方式存在与否，与对区域极限 ),(i在与否取决于函数在的选择无关。此极限存以及点i 上是否可积。D 2线划分区域用平行于坐标轴的网格在直角坐标系中，通常）（)(平面面积元素元素，故直角坐标系下积分D dddyx ，二重积分写为相应地，直角坐标系下 dd)
4、,(。Dyxyxf第10页/共73页 )3(数可积。有界闭区域上的连续函内有限条上有界，且仅在在区域若函数 ),()4(DDyxf ),(上可积。在连续，则曲线（面积为零）上不Dyxf )5(区域，取决于被积函数和积分二重积分是一个数，它 字母）无关：而与积分变量的记号（dd),(dd),(DDvuvufyxyxf ),(。vyux第11页/共73页二二.二重积分的性质二重积分的性质性质性质 1 二重积分均存在假设以下出现的性质性质 2Dyxyxgyxf dd),(),(dd),(dd),(。DDyxyxgyxyxf，则除边界点外无公共部分与若)(2121DDDDD dd),(dd),(dd)
5、,(21。DDDyxyxfyxyxfyxyxf第12页/共73页性质性质 3性质性质 4),(),(),(则 若，Dyxyxgyxf dd),(dd),(。DDyxyxgyxyxf dd|),(|dd),(|。DDyxyxfyxyxf第13页/共73页性质性质 6 )(中值定理 )(),(2，则至少存在为有界闭区域，设DCyxfRD ),(，使得一点D(,)d d(,).DDf x yxyfS )(估值定理 ),(min),(max，则，设yxfmyxfMDD(,)d d DDDmSf x yxyMS。性质性质 5第14页/共73页性质性质 7。轴对称，关于与设 2121DDDxDD ),()
6、,(),(，则为偶函数：关于变量若函数yxfyxfyyxf dd),(2dd),(1。DDyxyxfyxyxf ),(),(),(，则为奇函数：关于变量若函数yxfyxfyyxf 0dd),(。Dyxyxf第15页/共73页 4|),(dd)94(2222。，估计yxyxDyxyxD解解 94),(22，令记yxyxf ,08,02yyfxxf 9)0,0(,0 0。且），（得驻点f 313)94(),(24x2222；又yyxyxfyD ,40222yxy ),(25),(13 。故Dyxyxf例1第16页/共73页 ,25 25 ,13 ,9 max),(max yxfD从而 9 25 ,
7、13 ,9 min),(min。yxfD22 dd4 (4)DDSxyxy由于的面，所以 100425dd)94(493622。Dyxyx第17页/共73页 0 ,4|),(dd)(2223。，计算yyxyxDyxyxxD解解yO2 轴对称，关于因为yD ),(23yxxyxf ,为奇函数关于变量 x 所以，0dd)(23。Dyxyxx例2第18页/共73页三三.二重积分的几何意义二重积分的几何意义,0),()1(yxfz.),(limd),(10VfyxfiniiiD,0),()2(yxfz.),(limd),(10VfyxfiniiiD第19页/共73页 能不能用定积分来求曲顶柱体的体积？
8、第20页/共73页利用平行截面面积为已知的 几何体体积计算方法.第21页/共73页xyzO0),(yxfzD)(1xy)(2xy.xxxab),(yfz x)(1x第22页/共73页xyzO0),(yxfzD)(1xy)(2xy.xab),(yfz x)(1x第23页/共73页综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法,得到 baxxxyyxf)()(d)d),(21D d),(yxfV就是说,二重积分可以通过两次定积分来计算.第24页/共73页 如果你的定积分已经忘记了,请赶快复习一下,不然会给你带来麻烦哦.第25页/共73页四四.二重积分的计算二重积分的计算请点击请点击1.直角坐标系下的二重积分
9、计算2.二重积分的换元法3.极坐标系下二重积分的计算第26页/共73页1.直角坐标系下的二重积分计算请点击请点击(1).x型区域上的二重积分计算(2).y型区域上的二重积分计算(3).二重积分的换序问题第27页/共73页 型区域：为具有以下特征的区域称x ,)()(,|),(21xyxbxayxD ),()()(21轴的直线与区域，且垂直于，其中，xbaCxx 个。的边界的交点不多于两DxyOxyOyOabD)(2xy)(1xyabD)(2xy)(1xyaD)(2xy)(1xy（1 1）x-型区域上的二重积分计算型区域上的二重积分计算第28页/共73页 ),(),(,0),(成立。可积函数的算
10、公式，其结论对任意型区域上二重积分的计推导的假设下为方便起见，我们在yxfxDyxyxf第29页/共73页xyOabD)(2xy)(1xyxyOabD)(2xy)(1xyyOaD)(2xy)(1xy 义，根据二重积分的几何意 形蓝色线条为底的曲边梯 d),()()()(21xxyyxfxSxx 以我们只需计算出上图中 的面积：),(yxfz )(1x )(2x第30页/共73页 ),(上可积时：在区域当函数Dyxf ,)()(,|),(21xyxbxayxD ),()()(21轴的直线与区域，且垂直于，其中，xbaCxx 个，则的边界的交点不多于两D dd),(dd),()()(21xyyxf
11、yxyxfxxbaD)()(21d),(dxxbayyxfx 的两次定积分。，后对化为先对型区域上的二重积分可xyx就是说，第31页/共73页 1 2 dd D22围成的区域。及，是由，计算xyxyxDyxyx解解xyOxy 121xy2xD作图，联立方程求交点：,2,2 yx,1,2 xyx,1,xyyx)2 ,2()21,2()1 ,1 (另一点舍去另一点舍去)于是，1 21|),(。，xyxxyxD例3第32页/共73页 从而，d ddd 1 222 1 22xxDyyxxyxyxxyxxyxyd 12 1 122 1 2 d)1(xxxx 4 12。第33页/共73页 41 22的体积
12、。坐标面所围成的几何体与求曲面xyyxzxzO解解 该几何体为椭圆抛物体它平面上方的部分。位于 xy坐标面对称。和关于 yzxz 此外，由曲线2241yxz0 z 第一卦限轴对称，故只需计算出轴和围成的积分区域关于yx即可。倍中的体积，然后乘以)(4 被积函数是谁？例4第34页/共73页yO 41 2xyD 41 0 2 10|),(2xyxyxD，故所求体积为 d)41 (d4241 0 22 2 1 0 xyyxxV二重积分的几何意义 2 1 0 41 032d)314(42xyyxyxyy d)41(3 24 2 1 0 2 32xx dcos 2 1 3 242 0 4tt 4 2 !
13、4!)14(3 4。sin2 tx 令第35页/共73页 型区域：为具有以下特征的区域称y ,)()(,|),(21yhxyhdycyxD ),()()(21轴的直线与区域，且垂直于，其中，ydcCyhyh 个。的边界的交点不多于两DxyOxyOyO)(2yhx )(1yhx D)(2yhx )(1yhx D)(1yhx(2).y-型区域上的二重积分计算型区域上的二重积分计算cdDcdcd第36页/共73页xyOxyOyO)(2yhx )(1yhx D)(2yhx )(1yhx D)(1yhx cdDcdcd 义，根据二重积分的几何意 形蓝色线条为底的曲边梯 d),()()()(21yhyhx
14、yxfyS 以我们只需计算出上图中 的面积：),(yxfz )(1yh )(2yhyyy第37页/共73页 ),(上可积时：在区域当函数Dyxf ,)()(,|),(21yhxyhdycyxD ),()()(21轴的直线与区域，且垂直于，其中，ydcCyhyh 个，则的边界的交点不多于两D dd),(dd),()()(21yxyxfyxyxfyhyhdcD)()(21d),(dyhyhdcxyxfy 的两次定积分。，后对化为先对型区域上的二重积分可yxy 就是说，第38页/共73页 ,0 ,dd)cos(。围成及由其中，计算xyyxDyxyxD解解xyOxy y),(D 积分区域如图所示，0
15、0|),(。，yxyyxD d)cos(ddd)cos(0 0 yDxyxyyxyx 0 0d)(sinyyxyxx d)sin2(sin 0 yyy 2。例5第39页/共73页xyOD 的两次定积分。，后对化为先对型区域上的二重积分可xyx 的两次定积分。，后对化为先对型区域上的二重积分可yxy 型的。型的，又是该区域既是yx第40页/共73页 有麻烦了！？有麻烦了！？选择的机会多了！选择的机会多了！实际上，产生了一个交换积分顺序的问题。实际上，产生了一个交换积分顺序的问题。第41页/共73页(3).二重积分的换序问题 型区域，型区域，又是既是如果积分区域yxD 先的积分，也可将它化为，后对
16、则可将它化为先对yx 积分顺序的问题。的积分。这是一个选择，后对对xy 即种积分顺序做不出来，有些二重积分，按某一 ,成另一种积分这时必须设法将积分换所谓“积不出”,分出。这也是一个选择积才有可能将二重积分算顺序 顺序的问题。第42页/共73页 ：可表示为下列两种形式设积分区域 D ,)()(|),(21xyxbxayxD，,)()(|),(21yhxyhdycyxD，及 则 d),(ddd),()()(21xxbaDyyxfxyxyxf d),(d)()(21。yhyhdcxyxfy 换序第43页/共73页 2 2所围成的区域，与直线为抛物线设xyxyD dd。计算二重积分DyxxyyOxy
17、 22 xy)1,1(解解 ，由图可知，应采取先对 x 的积分顺序。后对 y21 221|),(2。，yxyyyxD dddd 2 2 1 2yyDxxyyyxxy故 d 21 2 1 222yxyyxyx 8 55d)2(212 1 42。yyyyD例6第44页/共73页 下列二重积分：用另一种积分顺序表示 0)(,d),(d d),(d d),(d2 2 2 2 0 2 0 222222。axyxfyxyxfyxyxfyIaayaaayaaayaaaya 0时，ay 2222；yaaxay 222。axyaa 2时，aya 222。axay)(222ayax 22axy 左半圆 右半圆 分
18、析例7第45页/共73页Oxyxa 2222)(ayax 22axy 2aa)2 ,2(aa 2aaD 22 ,20|),(2axyxaxaxyxD第46页/共73页 d),(d d),(d d),(d2 2 2 2 0 2 0 222222aayaaayaaayaaayaxyxfyxyxfyxyxfyI d),(d2 2 2 0 2。axxaxayyxfx解解第47页/共73页xxyyyx 1 0 dsind。计算解解 sin 数表示，所以此题的原函数不能用初等函由于yy 序，后计算的方法。需要采用先交换积分顺xyOxy xy 1xxyyxyyyyyyx 1 0 1 0 ddsin dsin
19、d 2 d)(sin 1 0 2yyyyy d)sin(sin1 0 yyyy 1sin1。例8第48页/共73页 ),(式：，证明下列狄里克雷公设Cyxf d),(dd),(d 。bybaxabaxyxfyyyxfx证证 分顺序的问题。这实质上是一个交换积xyOxy bbaaD 由题意可知：|),(xyabxayxD，由图形可知：|),(bxybyayxD，dd),(d),(dd),(d 。故Dbybaxabayxyxfxyxfyyyxfx例9第49页/共73页xyOD遇到这样的积分区域，你认为应该怎么办？1D2D3D适当地划分为小区域。第50页/共73页例10 20 11|),(dd|2。
20、，计算yxyxDyxxyD解解 被积函数中有绝对值，2 ,11 ,;0 ,11 ,|22222。yxxxyxyxyxxyyO2D1D。应解除绝对值后再计算 ,dd|dd|dd|21222DDDyxxyyxxyyxxy ;0 11|),(21xyxyxD，2 11|),(22。，yxxyxD21 2yx 第51页/共73页 d)(dd)(ddd|2 21 1 0 21 1 222xxDyxyxyyxxyxxy d)(21d)(211 1 2221 1 02222xxyxyxyxyxyy d)2(21d211 1 221 1 4xxxx d)2(d1 0 221 0 4xxxx 51 13。对称区
21、间偶函数第52页/共73页2.二重积分的换元法 )(),(。平面上的有界闭区域，是设DCyxfxyD *),(),(变为平面上的区域将，：变换DuvvuyyvuxxT ，且平面上的区域 Dxy *)(),(),(1)1；，DCvuyvux ,*),(0),(),()2(Dvuvuyx 则有 dd ),(),(),(),(dd),(*。DDvuvuyxvuyvuxfyxyxf第53页/共73页例11 )(0 22及双曲线，求由抛物线qpqxypxy )0(积。所围成的平面图形的面，babxyaxy解解xyOqxy 2pxy 2bxy axy S 的公式直接运用直角坐标系下 计算较繁。pxy 2x
22、yp2qxy 2xyq2 2pxy由 。q :axybxyaxy由显示，此外，。b第54页/共73页 :T作变量代换,2xyvxyu，D则 :*D|),(*。，bvaqupvuD ),(),(1),(),(yxvuvuyx又 1yvyuxvxuxyxxyyxy22231 2 1 31。u矩形区域第55页/共73页 故所求面积为 )1),(ddyxfyxSD被积函数 dd ),(),(*Dvuvuyx dd31*Dvuuqpbauuv d31d ln)(3 1。pqab仔细观察该例题可以加深对换元法的理解。第56页/共73页证证例12 )(证明：。设一元函数Cwf d)(dd)(1 1 1|。x
23、xfyxyxfyxxyO1 yx1 yx1 yx1 yxD 积分区域如图所示：1|),(。yxyxD 0 时，区域的边界为y ;)0(1xyx )0(1，xyx 0 时，区域的边界为y ;)0(1xyx )0(1，xyx第57页/共73页 ：作变量代换T ，yxvyxu D则 :*D 1111|),(*。，vuvuD 2 1111 ),(),(，又yvyuxvxuyxvu ,2 1 ),(),(1),(),(yxvuvuyx故 dd 2 1)(dd)(*1|Dyxvuvfyxyxf从而 d)(d)(d)(d 2 11 1 1 1 1 1 1 1。xxfvvfvvfu第58页/共73页3.极坐标
24、系下二重积分的计算 22计算。考虑运用极坐标系进行可时，或者被积函数含有形，当积分区域是圆盘、扇yx 第59页/共73页 关系：由极坐标与直角坐标的 sincos。，ryrx ),(),(yxryrxryx此时 cossinsincos rr,r dd ),(),()sin,cos(dd),(*DDrryxrrfyxyxf从而 dd)sin,cos(*。Drrrrf第60页/共73页 dd)sin,cos(*Drrrrf极坐标系下的二重积分 表示根据极坐标系中曲线的算。也是化为累次积分来计 位于限时，主要观察极点是在确定定积分的上、下 *的外部，或者位于区域的内部，还是位于区域区域 D 。的边
25、界上 的积分。，后对对方式，通常将它化为先r第61页/共73页(1)(1)极点位于积分区域外极点位于积分区域外xO*D)(2rr)(1rr 方程为在极坐标系中，曲线的 )(。rr 如图所示，|),(*，rD )()(21，rrr ),()()(21，则，其中，Crr d)sin,cos(ddd)sin,cos()()(*21。rrDrrrrfrrrrf第62页/共73页(2)(2)极点位于积分区域边界上极点位于积分区域边界上xO*D 方程为在极坐标系中，曲线的 )(。rr 如图所示，|),(*，rD )(0，rr ),()(，则其中，Cr d)sin,cos(ddd)sin,cos()(0 *
26、。rDrrrrfrrrrf)(rr 第63页/共73页(3)(3)极点位于积分区域内部极点位于积分区域内部xO*D 方程为在极坐标系中，曲线的 )(。rr 如图所示，20|),(*，rD )(0，rr ),()(，则其中，Cr d)sin,cos(ddd)sin,cos()(0 2 0 *。rDrrrrfrrrrf)(rr 第64页/共73页例12|),(dd 22222。，其中计算ayxyxDyxeDyx解解。的方程为在极坐标系中，圆 222arayxOxar*D 运用极坐标进行计算：,sin ,cosryrx ,dddd ,222且则rryxryx ,0 ,20|),(*arrD*dddd
27、 222DrDyxrreyxe故arrre 0 2 0 dd2 )1(2。aeD该题能在直角坐标系下计算吗？第65页/共73页例13 2d 12 0 2。和你学过的知识证明：利用例xex证证 dlimd 0 0 22。axaxxexe 号无关，有由定积分与积分变量符axaxaxxexexe 0 0 2 0 dd)d(222ayaxyexe 0 0 dd22 ,dd22Dyxyxe 0 0|),(。，其中ayaxyxD 你认为应该怎么办？第66页/共73页 如图所示，作区域 ,00|),(2221yxayxyxD，,002|),(2222yxayxyxD，xyOaa21D2DD 0 2221，故
28、，又则yxeDDD dddddd22222122。DyxDyxDyxyxeyxeyxe 12 得由例 ;)(4)1(4dd2122aeyxeaDyx,)(4)1(4dd22222aeyxeaDyx第67页/共73页 ,ddlimddlimddlim22222122DyxaDyxaDyxayxeyxeyxe ：对上述的不等式取极限a 4ddlim 22。则有Dyxayxe ,4)d(lim 2 0 2axaxe即有 ,4)d(2 0 2xex即 2d 0 2。故xex第68页/共73页？例14 )0()(2)(222222ayxayx求伯努利双纽线 积。所围成的平面图形的面xyO解解 22项，故
29、采方程中含有yx 用极坐标系。sincos ，令ryrx则原方程化为 2cos222。ar 4 4 11即可。，然后乘以的面积象限中由对称性只要计算第一SD1D 第一象限中，,2cos2 ar 曲线的方程为 ,2cos2 0 40|),(*1arrD，第69页/共73页 dd 4 4 *11DrrSS故 dd 42cos2 0 4 0 arr 2d2cos424 0 2。aa)(dddd *111换元法后的面积计算注意：DDrryxS dd积元素。也称为极坐标系下的面rr第70页/共73页 为圆域、扇形域，或者一般说来，当积分区域 D )(22计算比采的形式时，采用极坐标被积函数为yxf 。直角坐标系计算简单些第71页/共73页例15解解 :坐标形式将下列二重积分化为极 d)(d 3 222 0 。xxyyxfxxyO2xy xy 3D 3 20|),(。，xyxxyxD ,sin ,cos ryrx引入极坐标 ,cos 3sincos rrr故 ,3tan1 由此，得,34 即有 ;0 0cos rrx得又由 ,2seccos2 2cos rrx得由第72页/共73页感谢您的欣赏！感谢您的欣赏！第73页/共73页
