1、数值计算方法数值计算方法绪绪 论论主要内容3数值计算方法课程数值计算方法课程学习数值计算方法的重要性课程特点学习方法浮点数的运算浮点数的运算误差与有效数字误差与有效数字 0.1 数值计算方法的内容、特点与学习方法5科学计算是人类从事科学活动和解决科学技术问题不可缺少的手段。计算机科学技术的发展，为科学计算及数据处理提供了高速和高精度的计算工具。计算机运算:只能进行加，减，乘，除等算术运算和一些逻辑运算。学习数值计算方法重要性6实际实际问题问题数学数学模型模型 计算机计算机算法算法程序程序设计设计计算机计算机计算计算解答解答科学计算的过程科学计算的过程计算机算法7数值算法主要指与连续数学模型有关
2、的算法如数值线性代数、方程求解、数值逼近、数值微积分、微分方程数值解和最优化计算方法等，它给出的是问题的近似解；非数值算法主要指与离散数学模型有关的算法，如排序、搜索、分类、图论算法等；软计算方法近年来发展的不确定性算法的总称，包括神经网络计算、模糊逻辑、遗传算法等。数值计算方法定义8数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的方法与理论为研究对象，其内容包括:数值计算方法定义9函数插值,数值微分与积分线性方程组的解法,矩阵特征值与特征向量的计算非线性方程(组)的解法与最优化问题的计算方法常微与偏微分方程的数值解法有关计算方法可靠性的理论研究,如方法的收敛性和稳定性分析与误差估计等.10研究用
3、计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论与软件实现。数值计算方法所要解决的问题就是怎样把数学模型归结为计算机能执行的有效算法。数学分析，计算方法，数值方法11函数插值,数值微分与积分线性方程组的解法,矩阵特征值与特征向量的计算非线性方程(组)的解法与最优化问题的计算方法常微与微分方程的数值解法举例说明一1.求解线性方程组Ax=b，其中A为3阶可逆方阵X=(x1,x2,x3)T;2.求代数方程x2+x-6=0在0,4上的根x*3.已知y=p(x)为x0,x1上的直线，满足p(x0)=y0，p(x1)=y1求p(x2)4.计算定积分5.解常微分方程初值问题1(1)baIdxabx12(0)0yxy
4、 举例说明二131.求解线性方程组Ax=B，其中A为20阶可逆方阵X=(x1,x2,x20)T;2.求代数方程xex=1在0,1上的根x*3.已知y=f(x)为x0,x1上的函数，满足f(x0)=y0，f(x1)=y1求f(x2)4.计算定积分5.解常微分方程初值问题1(1)lnbaIdxabx2(0)0yxyy举例说明三14例0.2，0.4例0.2 考虑对任意给定的x,计算代数多项式 的值的问题。显然，上式等价于1011()nnnnnP xa xa xaxa0121()()nnnP xa xa xaxaxa15例0.4 考虑积分的近似计算。In=1-nIn-1In-1=(1-In)/n110
5、nxnIx edx0I1I3I2I4I5I6I7I0I1I3I2I4I5I6I7I举例说明16通过上面例子可以看出，虽然有些问题它的解是具有理论公式，可是仍然存在能否在计算上应用和如何计算的问题。因此，我们必须研究计算方法。数值计算方法是为求解各类数学问题而去构造与分析算法。课程特点17面向计算机，重点研究数字计算机上使用的计算方法注重实用性和计算效率讲究算法的技巧性重视方法的理论研究如何学习课程如何学习课程18了解构造方法的基本思想注意设计算法技巧及实用性注意基础知识与数学理论的学习做一定量的习题小结小结19计算机运算:只能进行加，减，乘，除等算术运算和一些逻辑运算。数值计算方法：把求解数学
6、问题转化计算机能执行的高效可靠算法。0.2 计算机的算术运算、若干计算例题1.数的浮点表示实数x被表示为 d1=1,di为0或1，i=2,3,k,-mpM.零的浮点数通常表示为给定的二进制浮点计算机，只能表示所有形如上式的有限数集 S=S(k,m,M)，这是实数轴上的不等距有限点集。120.2pkxd dd 00.000 2m 21S(3,1,2)表示如下的33个点对于实数x，在计算机上只能按一定的规则用S中最接近x的数来近似表示。例x=2.6,在S(3,1,2)用 近似表示。100.000 2 1230.12xd d 220230.12xd d 1230.12xd d 2230.12xd d
7、 20.101 22.5x 2.浮点数的四则运算计算机只能对浮点数集S中的数做加、减、乘、除四则运算。设S0为4位十进制浮点数的集合，形如：1 d1 9,0 di 9,i=2,3,4,-9p10.12340.10pd d d d23浮点数计算特点24加减法先对阶(将阶码统一为较大者)，后计算，再舍入乘除法先运算再舍入不在计算机数系中的数做四舍五入处理2542444(1)0.1984 100.2008 10 0.1984 100.0020 10 0.2004 1041444(2)0.1984 100.98764 10 0.1984 100.0000 10 0.1984 10绝对值相差悬绝对值相差
8、悬殊的两个数做殊的两个数做加、减法加、减法6669(3)0.1984 100.1976 10 0.0008 10 0.8000 1035222(4)(0.5678 10)(0.6789 10)(0.5678 0.6789)10 0.38547942 10 0.3855 1046101111(5)(0.5678 10)(0.4567 10)0.5678 100.4567 0.12432669 10 0.1243 1026很接近的两个很接近的两个数相减数相减相对被除数来相对被除数来说绝对值很小说绝对值很小的数做除数的数做除数27计算过程中应该注意两个相近的数相减，会严重丢失有效数字除数绝对值较小时
9、，商的绝对误差会增大在运算过程中注意合理安排运算顺序，以便提高运算的精度或保护重要的参数例 在使用上述浮点数集S0的4位十进制浮点计算机上，解一元二次方程解：1）按求根公式求得 2）由x1x2=1有 21810 xx 980 x 281800.8944 10210.1794 10 x 120.5600 10 x1980 x 1210.5574 10980 x x2的误差不超过 0.0110-10.5=0.0005 x2的误差不超过 0.000110-10.5=0.000005 在数学公式上，是等价的，但在计算机上它们是不同的。2980 x 21(980)x 290.3 误差的来源和有关误差的基
10、本概念1.误差的来源31实际实际问题问题数学数学模型模型数值数值方法方法程序程序设计设计计算机计算机计算计算解答解答模型误差模型误差观测误差观测误差方法误差方法误差舍入误差舍入误差2.误差的基本概念定义定义0.1 设x为准确值，x*是x的一个近似值，称e*=x*-x为近似值x*的绝对误差绝对误差，或简称误差误差。定义定义0.2 设 ，并满足 则称 为近似值x*的绝对误差限绝对误差限，或简称误差限误差限。*32*0*exx2.误差的基本概念33定义定义0.3 设x*是x的一个近似值，则称比值 为近似值x*的相对误差相对误差，记作*exxxx*re2.误差的基本概念34定义定义0.4 设 是近似值
11、x*的误差限，则称 为近似值x*的相对误差限相对误差限。此时，有*rx*rxxxx35例例0.5 设 和 分别都是近似值，它们相应的精确值x1和x2未知，但已知它们的误差限都是1，试比较这两个近似值的准确程度。*110 x*21000 x 3.有效数字36定义定义0.5 如果如果 则说则说x*近似表示近似表示x准确到第准确到第10-n位，并从此位起直到最左位，并从此位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字有效数字，并把有，并把有效数字的位数称为效数字的位数称为有效位数有效位数。*1102nexx37例0.6 取 的近似值为 ，则 具有几位有效数字，取
12、 作为近似值呢？*3.14x*x*3.1416x 38定义定义0.6 若将若将x*近似值表示成十进制浮点数的标近似值表示成十进制浮点数的标准形式准形式 如果如果则说近似值则说近似值x*具有具有n位有效数字位有效数字。这里。这里n为正整数，为正整数，m为整数。为整数。*120.10mnx *1102m nxx1:0 9,0i39例0.7 若 是x的具有6位有效数字的近似值，试求 的误差限。*3578.64x*x4.有效数字与相对误差的关系40定理定理0.1 若近似值x*具有n位有效数字，则其相对误差满足 反之，若x*的相对误差 满足 则x*至少具有n位有效数字。*(1)11102nre*re*(
13、1)11102(1)nre41例0.8 用x*=2.72表示e具有3位有效数字的近似值，给出此近似值的相对误差限。42例0.9 要使 的近似值x*的相对误差限小于0.001,那么至少应取几位有效数字？20绪论43学习计算方法的必要性计算方法的主要内容误差的来源及有关误差的概念误差误差绝对误差相对误差*exxexx*rrrexxexxxxexx44有效数字有效数字如果如果则说则说x*近似表示近似表示x准确到第准确到第n位，并从第位，并从第n位起直到最左边的非零位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。为有效位数。如果如果则说近似值则说近似值x*具有具有n位有效数字，这里位有效数字，这里n为正整数，为正整数，m为整数。为整数。*1102nexx*121*0.10:0 9,01102mnim nxxx 45定理定理若近似值x*具有n位有效数字，则其相对误差满足反之，若x*的相对误差满足则x*至少具有n位有效数字*(1)11102nre*(1)11102(1)nre46
