1、离散型随机变量的均值和方差离散型随机变量的均值和方差复习引入复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。则需要考察这个班数学成绩的
2、方差。我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有个方面的特征，最常用的有期望与方差期望与方差.一、离散型随机变量取值的平均值一、离散型随机变量取值的平均值一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：nniipxpxpxpxEX 2211则称则称为随机变量为随机变量X的均值或数学期望。的均值或数学期望。它反映了离它反映了离散型随机变量取值的平均水平。散型随机变量取值的平均水平。P1xix2x1p2pipnxnpX1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是(1)则则E=.2、随机变量、随机变
3、量的分布列是的分布列是2.4E=7.5,则则a=b=.0.40.1归纳求离散型随机变量的均值归纳求离散型随机变量的均值(期望期望)的步骤的步骤：、确定离散型随机变量可能的取值。、确定离散型随机变量可能的取值。、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、求出均值、求出均值(期望期望)。1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：分布列如下：从以数据你能否说明谁的射击水平高？从以数据你能否说明谁的射击水平高？解解9,921 EXEX表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中表明甲、乙射击的平均水平
4、没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，平均得分差别不会很大，2.2.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1 1，你赢，你赢8 8元；出现元；出现2 2或或3 3或或4 4，你输，你输3 3元；出现元；出现5 5或或6 6，不输不赢这场，不输不赢这场赌博赌博对你是否有利对你是否有利?1111830.6236E 对你不利对你不利!劝君莫参加赌博劝君莫参加赌博.612131例例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球，则他罚
5、球1次的得分次的得分X的的？解：解：X的可能取值为的可能取值为0，1，其分布列如下，其分布列如下7.0)7.01(07.01EX则则E(X)p若若XH(N，M，n)则则E(X)nMN若若XB(n，p)则则E(X)np若若XB(1，p)各种不同概率模型下的数学期望各种不同概率模型下的数学期望不一定不一定,其含义是在多次类似的测试中其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是他的平均成绩大约是9090分分例例2 2.一次单元测验由一次单元测验由2020个选择题构成个选择题构成,每个选择题有每个选择题有4 4个选项个选项,其其中有且仅有一个选项正确中有且仅有一个选项正确,每题选对得每题选对得5 5
6、分分,不选或选错不得分不选或选错不得分,满满分分100100分分.学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.9,0.9,学生乙则在测验中对每学生乙则在测验中对每题都从题都从4 4个选项中随机地选择一个个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值中的成绩的均值.解解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是个数分别是和和,则则 B(20B(20,0.9)0.9),B(20B(20,0.25)0.25)，所以所以EE20200.90.91818，EE20200.250.255 5 由于
7、答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这次测验分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是中的成绩分别是55和和5.5.这样，他们在测验中的成绩这样，他们在测验中的成绩的期望分别是的期望分别是E(5)E(5)5E5E5 518189090，E(5)E(5)5E5E5 55 52525思考思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是学生甲在这次测试中的成绩一定会是9090分吗分吗?他的他的均值为均值为9090分的含义是什么分的含义是什么?3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚分，罚不中得不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为
8、0.7，他连续罚球，他连续罚球3次；次；（1）求他得到的分数）求他得到的分数X的分布列；的分布列；（2）求）求X的期望。的期望。33.0解解：(1)XB（3，0.7）2133.07.0 C3.07.0223 C37.0(2)322321337.033.07.023.07.013.00 CCEX1.2 EX7.03 ()(),1,2,3iiPaxbPxi所以，所以，的分布列为的分布列为11221 12212()()()(nnnnnEaxb paxb paxb pa x px px pb pE abaEppaEbb 即即1：则则,ab若若EaEbP1axb2axbnaxb1p2pnpiaxbip离
9、散型随机变量的均值的理解(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均(2)E(X)是一个实数，是由X的概率分布唯一确定的，它描述X取值的平均状态(3)变量YaXb的均值E(aXb)aE(X)b说明随机变量X的线性函数YaXb的均值(或数学期望)等于随机变量X的均值(或数学期望)的线性函数，此式可有以下几种特殊形式：当b0时，E(aX)aE(X)，此式表明常量与随机变量乘积的均值，等于常量与随机变量均值的乘积当a1时，E(Xb)E(X)b，此式表明随机变量与常量和的均值，等于随机变量的均值与这个常量的和当a0时，E(b)b，此式表明常量的均值等于这个常量.2设的分布列为：又设25，则E(
10、)D1口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以表示取出球的最大号码，则E值的是()A4B4.5 C4.75 D53若随机变量B(n,0.6)，且E3，则P(1)的值是()A20.44 B20.45 C30.44 D30.64BAC4已知B B ，且E()15，则E()等于()A5 B10 C15 D201,2n1,3nBA6已知X的概率分布如下，E(X)7.5，则a_.74Ck7若随机变量X的分布列是P(xk)0.1k0.94k，k0,1，2,3,4.则EX_.8两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数数学期望E_.0.423E =0Cn0p0qn+1Cn1
11、p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0P(=k)=Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0(k Cnk=n Cn-1k-1)若若B(n，p)，则，则E=np 第二课时：第二课时：随机变量取值的方差和标准差随机变量取值的方差和标准差 如果其他对手的射击成如果其他对手的射击成绩都在绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？环左右，
12、应派哪一名选手参赛？已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 1、2的分布列如下：的分布列如下：试比较两名射手的射击水平试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的如果其他对手的射击成绩都在射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？环左右，应派哪一名选手参赛？显然两名选手显然两名选手的水平是不同的的水平是不同的,这里要进一步去这里要进一步去分析他们的成绩分析他们的成绩的稳定性的稳定性.探究探究 方差定义方差定义一组数据的方差：一组数据的方差：方差反映了这组方差反映了这组数据的波动情况数据的波动情况 在一组数：在一组数：x1 1,x2 2,xn 中，各
13、数据的平均数为中，各数据的平均数为 ，则这组数据的方差为：则这组数据的方差为：x2222121()()()nSxxxxxxn 类似于这个概念类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差我们可以定义随机变量的方差.新课新课 离散型离散型随机变量取值的方差和标准差随机变量取值的方差和标准差:22211()()()iinnDxEpxEpxEp 则称则称为随机变量为随机变量 的方差的方差.21()niiixEp 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量 的概率分布列为：的概率分布列为：P1xix2x1p2pipnxnp 称称D 为随机变量为随机变量 的标准差的标准差.定义定义 它们都是反映离散型随
14、机变量偏离于均它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值集中于均值.记忆方法记忆方法:“三个三个”222()()()即EDDEE练习一下练习一下练习一下练习一下结论结论1：则则 ;,ab若若EaEb结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E=np.可以证明可以证明,对于方差有下面重要性质：对于方差有下面重要性质：2()D aba D(,)(1)(3)若，其中B n pDnpqqp 则则 结论结论 22(2)()()DEE2()D aba D22(2)(
15、)()DEE几个常用公式：几个常用公式：DXabaXD2)()1(ppDXX 服服从从两两点点分分布布，则则若若)1(),(pnpDXpnBX ，则则若若(,)(1)1MMNnXH N M nDXnNNN若，则22()()DEE 1.已知随机变量已知随机变量x的分布列的分布列求求D 和和.0 0.1 1 0.22 0.43 0.24 0.12E 解：解：22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.11.2D 1.21.095D2.若随机变量若随机变量x 满足满足P（xc）1，其中，其中c为常数，为常数，求求Ex 和和 Dx.Exc1cDx（cc）210 练习练
16、习 再看一例再看一例例例2 试比较两名射手的射击水平试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都如果其他对手的射击成绩都在在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？环左右，应派哪一名选手参赛？已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的的分布列如下：分布列如下：如果对手在如果对手在8环左右环左右,派甲派甲.如果对手在如果对手在9 9环左右环左右,派乙派乙.思考思考 例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数例题：甲乙两人每天产量相同，
17、它们的次品个数分别为分别为 ，其分布列为，其分布列为判断甲乙两人生产水平的高低？判断甲乙两人生产水平的高低？解答解答 练习练习 E=00.3+10.320.230.2=1.3E=00.1+10.520.4=1.3D=(01.3)20.3+(11.3)20.3（21.3）20.2（3-1.3)20.2=1.21 结论：甲乙两人次品个数的平均值结论：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高水平高.期望值高，平均值大，水平高期望值高，平均值大，水平高方差值小，稳定性高，水平高方差值小，稳定性高，水平高例例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你有甲乙两
18、个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：1400,140021 EXEX112000,4000021 DXDX 在两个单位工资的数学期望相等的情况下在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自如果认为自己能力很强己能力很强,应选择工资方差大的单位应选择工资方差大的单位,即乙单位即乙单位;如果认为如果认为自己能力不强自己能力不强,就应选择工资方差小的单位就应选择工资方差小的单位,即甲单位即甲单位.例题例题 练习一下练习一下结论结论1：则则 ;,ab若若EaEb结论结论2：若：若
19、B(n，p)，则，则E=np.可以证明可以证明,对于方差有下面两个重要性质：对于方差有下面两个重要性质：2()D aba D(,)(1)B n pDnpqqp 若若，其其中中则则 结论结论 五、几个常用公式：五、几个常用公式：DXabaXD2)()1(ppDXX 服服从从两两点点分分布布，则则若若)1(),(pnpDXpnBX ，则则若若例如：已知某离散型随机变量的分布列如下，则a_，数学均值(期望)E_，方差D_.2.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么DX_.3一般地：随机变量与随机变量满足关系ab，其中a，b为常数，则D_.n6p0.40.410.8p(1p)a2D4若B(n，p)，
20、则D_.例如：设B(n，p)，且E2.4，D1.44，求n，p.np(1p)1已知随机变量的分布列为：P(k)，k1,2,3，则D(35)()A6 B9 C3 D4132设B(n，p)，且E12，D4，则n与p的值分别为()AC4设随机变量XB(n，p)，且EX1.6，DX1.28，则()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45A3.已知3 ，且D13，那么D的值为()A39 B117 C39 D117 解析：DD(3 )9D913117.答案：B5已知离散型随机变量X的分布列如下表若EX0，DX1，则a_，b_.6.投弹一次命中次数投弹一次命中次数X服从两点分
21、布，而重服从两点分布，而重复复10次投弹可以认为是次投弹可以认为是10次独立重复试验，命次独立重复试验，命中次数中次数Y服从二项分布服从二项分布解解(1)X的分布列为：的分布列为：E(X)00.210.80.8.D(X)(00.8)20.2(10.8)20.80.16.(2)由题意知，命中次数由题意知，命中次数Y服从二项分布，服从二项分布，即即YB(10,0.8)，E(Y)np100.88，D(Y)100.80.21.6.6.某人投弹命中目标的概率为某人投弹命中目标的概率为p0.8.(1)求投弹一次，命中次数求投弹一次，命中次数X的均值和方差；的均值和方差；(2)求重复求重复10次投弹时命中次
22、数次投弹时命中次数Y的均值和方差的均值和方差7已知某运动员投篮命中率p0.6.(1)求一次投篮时命中次数的期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数的期望与方差分析：(1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数服从两点分布(2)重复五次投篮的投中次数服从二项分布解析：(1)投篮一次命中次数的分布列为：则E00.410.60.6，D(00.6)20.4(10.6)20.60.24.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数服从二项分布，即B(5,0.6)由二项分布期望与方差的计算公式，有E50.63，D50.60.41.2.点评：求离散型随机变量的期望与方差的关键环节有以下两点：(1)写出离散型随
23、机变量的分布列；(2)正确应用期望与方差公式进行计算(要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与方差的公式)一、离散型随机变量的期望和方差一、离散型随机变量的期望和方差nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX二、性质二、性质baEXbaXE )(三、如果随机变量三、如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，EXp四、如果随机变量四、如果随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即XB（n,p）EXnpnniipEXxpEXxpEXxDX22121)()()(DXabaXD2)(1)DXpp(1)DXnpp1.一次英语单元测验由一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题构成，每个选择题有个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作分，不作出选择或选错不得分，满分出选择或选错不得分，满分100分，学生甲分，学生甲选对任一题的概率为选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验，学生乙则在测验中对每题都从中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩成绩的的期望。期望。2.决策问题：决策问题：3.某商场的促销决策：某商场的促销决策：
