1、 1 旋转习题课旋转习题课用坐标描述用坐标描述图形的旋转图形的旋转 人教版义务教育课程标准实验教科书数学人教版义务教育课程标准实验教科书数学 （九年级上册第二十三章）（九年级上册第二十三章） 授课教师：授课教师： 王王 烁烁 天津市南开翔宇学校天津市南开翔宇学校 指导教师：指导教师： 李贵生李贵生 天津市南开翔宇学校天津市南开翔宇学校 陈丽华陈丽华 天津市南开区教育中心天津市南开区教育中心 刘金英刘金英 天津市中小学教育教学研究室天津市中小学教育教学研究室 20152015 年年 1010 月月 中国教育学会第九届中国教育学会第九届初中青年初中青年 数学教师优秀课数学教师优秀课展示展示活动活动
2、 2 教学设计教学设计 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 1内容内容 在平面直角坐标系中，将一个图形旋转到某特定位置时，求出图形中关键点的坐标 2内容解析内容解析 本节课内容属于义务教育数学课程标准（2011 年版） 中“图形与几何”领域是学习了旋 转这章之后的一节习题课本节课将图形的旋转与平面直角坐标系紧密结合，其核心问题是运用 坐标描述旋转后基本图形（三角形、正方形）中关键点的位置本节课围绕着从旋转后的复杂图形 中抽象出基本图形这条主线，以问题串引导学习的方式，借助几何直观进行分析、猜想和计算，突 出了图形的性质、图形的变化、图形与坐标的和谐统一 问题 1 以学生熟悉的风车为背景引入课
3、题，首先在生活情境中抽象出几何图形，再从复杂的几 何图形中分离出“基本图形” ，应用旋转的三要素描述图形的形成过程问题 2 将问题 1 中的图形放 到坐标系中，用坐标描述基本图形旋转后关键点的位置求坐标的过程实质是先利用图形（等腰直 角三角形）的性质求线段的长，再把线段转化为坐标，将“数”与“形”紧密结合问题 3 以平面 直角坐标系为背景， 以含 30 角的直角三角形旋转变换的内容为载体， 以问题串的形式引发学生的思 考和探究，把线段、面积、坐标的计算“图形化” ，找到基本图形（等边三角形）的特征成为解决问 题的突破口特别是第（2）问，要让图形动起来，借助几何直观想象图形旋转的过程，考虑到旋转
4、 角为锐角和钝角两种情况，最后再借形（含 30 角的直角三角形）算数（点的坐标） 问题 4 将正方 形旋转到某一特定位置，借助前面积累的方法和经验，强化点的“坐标”与“位置”的对应关系， 给学生创设了从数（点坐标）的特征寻求形（图形）的特性再回到数（求点坐标）的计算的探索性 问题问题 4 中旋转角度发生变化，但正方形的边长没有变化，在“变”中寻求“不变”量，挖掘 出隐含条件， 寻找到含 30 角的直角三角形成为解决问题的关键 这四个问题将旋转与坐标完美结合， “入手”容易，注重对基础知识、基本技能、基本活动经验的考查，其“出口”的思维含量较高， 注重对学生数学思想方法的培养，突出体现了 “定性
5、”分析与“定量”计算相结合的研究几何问题 的一般思考方法. 用坐标描述图形的旋转，不仅发展学生的几何直观能力，也培养学生的合情推理能力本节课 使用的重要方法是：借助图形进行数学思考和想象（理解问题、提出问题、分析问题、解决问题、 描述问题） ，观察图形旋转的过程，猜测出一些可能的结论和计算思路问题 3 和问题 4 都体现“探 索发现”与“合情推理”的有机结合本节课借助几何直观，应用旋转的性质，定性定量地研究几 3 何问题，感悟数形结合和转化的数学思想，突出“图形变换是研究几何问题的工具和方法”的重要 意义 基于以上分析，可以确定本节课的教学重点教学重点：借助借助几何直观，几何直观，应用应用图形
6、图形旋转旋转的性质的性质，求求旋转后旋转后 图形中图形中关键关键点点的坐标的坐标 二、目标和目标解析二、目标和目标解析 1目标目标 （1）从问题情境中抽象出几何图形，在平面直角坐标系中，能准确地计算出旋转后图形中关键 点的坐标，在分析图形旋转的过程中，进一步加深对旋转性质的理解和应用 （2）培养画图、识图的能力，能画出旋转后的图形，能从复杂图形中识别出基本图形在经历 动手操作、观察、猜想、画图、计算等数学活动，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直 观，发展探索发现与合情推理能力，提高运算能力. （3）感悟“数形结合” 、 “转化”的数学思想能应用数形结合和转化思想，把求关键点的坐标 问题
7、转化为求直角三角形中直角边的长度问题培养“定性”分析和“定量”计算相结合的研究几 何问题的一般思考方法 2目标解析目标解析 达成目标（1）的标志是：问题 1 从学生熟悉的风车图案中抽象出几何图形抽象之后，将图形 放入坐标系内，将图形的旋转变换与平面直角坐标系结合，用坐标去描述图形旋转后关键点的位 置问题 2、3、4 以问题串的形式给出，最后都落在求旋转后关键点的坐标问题在求坐标的过程 中，应用旋转角的定义求出有关角度的大小，应用旋转的性质求出有关线段的长度，进一步加深对 旋转性质的理解和应用，为求点的坐标做好铺垫 达成目标（2）的标志是：在问题 1 中，学生能从风车图形中找到基本图形（四边形）
8、 ；问题 2 中学生能发现隐含的等腰直角三角形；问题 3 和问题 4 中，图形旋转后生成了新的点、线段和三角 形，学生能识别出等边三角形和含 30的直角三角形能从复杂几何图形中分解出基本图形，识别 出特殊三角形成为解决问题的突破口 问题 3 的第 （2） 问和问题 4 中都没有给出旋转后图形的位置， 需要学生想象图形旋转的过程，自己画出图形旋转后的位置学生可以动手操作，旋转准备好的三 角形和正方形纸板，预测图形旋转后的位置教师演示几何画板，帮助学生直观地感受图形旋转的 过程，确定并画出旋转后的图形的位置学生经历动手操作（旋转三角形、正方形纸板）观察（因 旋转而生成的点的位置变化）猜想（旋转后图
9、形的位置）画图（画出旋转后的三角形、正方形 4 以及所求点的位置）计算（点的坐标）的过程，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直 观，发展探索发现与合情推理能力，提高运算能力. 达成目标（3）的标志是：问题 3 的第（2）问和问题 4 都是求点的坐标问题但这两道题入手 时，没有直接计算，而是通过分析已知条件，先探求图中因旋转而生成的新的特殊图形的性质，进 行定性分析：问题 3 学生能根据已知发现图中隐含的等边三角形COE，问题 4 学生根据已知发现 图中隐藏的等腰直角三角形和含 30的直角三角形 然后再定量计算： 过所求点向坐标轴作垂线段， 把求点的坐标问题转化成求直角三角形中直角边的问题
10、问题 2、3、4 都使用“定性”分析与“定 量”计算相结合的研究方法，让学生感悟研究几何问题的一般思考方法在定量计算的过程中，学 生应用旋转的性质、正方形的性质、含30的直角三角形中的边角关系、勾股定理等知识，借形算 数(点的横、纵坐标) ，最后又用数（点的坐标）描述形在坐标系中的位置，突出了坐标是沟通“数” 与“形”的纽带，体现数形结合思想 三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析 九年级的学生已经学习了旋转这章，已经掌握旋转中心、旋转方向、旋转角三个基本概念，已 经掌握旋转的定义和性质，中心对称、中心对称图形的定义和性质学生能熟练找到旋转前后图形 之间的全等关系另一方面，学生从七年级第二学
11、期开始学习平面直角坐标系，已经熟悉如何求某 点的坐标，会过这个点向坐标轴作垂线段，将求坐标的问题转化成求线段的长但是将图形的旋转 与平面直角坐标系相结合，运用坐标描述图形的位置和运动，学生理解不深刻在图形旋转的过程 中，会生成新的点、线段、角和三角形，使得原图形变得复杂学生在学习的过程中会遇到以下几 个困难： （1）学生想象不出旋转后的图形会落在什么位置，不能画出示意图； （2）学生只想到旋转 角为锐角的情况，或旋转角为某一个特定角度的情况，而忽略了图形旋转的全过程，造成考虑问题 不全面，最后出现少解的情况； （3）在旋转过程中出现的复杂图形中，不能分离出基本图形、特殊 图形（直角三角形、等边
12、三角形等） ，不能找到解题的突破口； （4）在求坐标的过程中，把线段的长 当成坐标使用，忽略了符号问题，出现计算错误； （5）有的学生没有借助几何图形的性质，忽略了 “形”的作用，而是选择只用“数”的方法进行计算，没有应用数形结合思想，使得解题过程比较 复杂、繁琐 基于以上分析，基于以上分析，本节课教学难点：本节课教学难点：借助几何直观预测并借助几何直观预测并画出画出旋转后的旋转后的图形，图形，应用图形旋转的性应用图形旋转的性 质求质求关键关键点的坐标点的坐标 四、教学支持条件分析四、教学支持条件分析 根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具， 5 以几
13、何画板软件为平台，展示三角形旋转的过程通过动态演示，让学生直观地感受到图形旋转过 程中所生成的点、线段等图形的变化规律，准确地找到符合题意的旋转后图形的位置，有效地突破 难点，为下一步求出点的坐标做好准备铺垫工作 五、教学过程设计五、教学过程设计 （一）（一）创设情境，创设情境，基础训练基础训练 问题问题 1：图中风车图案可以看作由哪个基本图形，经过什么样的旋转而得到的？ 【师生活动】师生活动】学生观察图形并回答，教师给出积极地评价 【设计意图】设计意图】从常见的风车图形入手，一方面使学生体会到我们数学课研究的几何图形来源于 生活，另一方面吸引学生的注意力，激起他们的兴趣，自然地引入到本节课的
14、探索和学习中从复 杂图形中找到基本图形，利用旋转的三要素来描述图形旋转的过程，既复习旋转的定义和性质，也 为后面问题的学习做好铺垫 问题问题 2：将问题 1 中的风车图案放入坐标系中，已知2OEAE=，求点 A，B，E，G，M， Q 的坐标 A( ， ) B( ， ) E( ， ) G( ， ) M( ， ) Q ( ， ) 【追问追问 1】求哪个点的坐标最容易？ y x O Q P N M H G F E DC B A A B CD E F G H M N P Q O 6 【追问追问 2】哪个点的坐标与已经求出的点的坐标有特殊关系？有什么特殊关系？ 【追问追问 3】如何求点 M 的坐标？ 【
15、师生活动】师生活动】学生先独立思考，然后分组讨论请学生说出分析问题的思路和结果，如果回答 过程中有问题，教师给出及时的指导 【设计意图】设计意图】问题 2 应用旋转的性质找到线段之间的等量关系，进一步加深对旋转性质的理解 和应用根据2OEAE=可以判断45AOE，进而发现图形中隐含的等腰直角三角形求点 的坐标实质转化成求其所对应的直角三角形的直角边长，在线段的长与坐标的转化过程中，要特别 注意符号的问题：线段的长都为正数，但坐标有正、有负求点的坐标时经常用到对称性，找到两 点之间关于坐标轴对称或原点对称这一特征可以更加巧妙地解决问题 回顾知识点回顾知识点： 1.旋转的三要素 、 、 ； 2.旋
16、转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离_； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_； （3）旋转前、后的图形_ 3.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是_，对称点所连线段都经过_，而且 _ 4.点( , )P x y关于原点对称的点P的坐标为_ 【师生活动】师生活动】学生回忆并回答，如果有语言表达不准确的地方，师生可共同完成 【设计意图】设计意图】这个环节的设计，将所学知识点融入到问题中，以问题引出复习，在应用中巩固 新知学生在解决问题的过程中记忆、领悟，既达到对本章知识复习巩固的作用，又达到对重要思 想方法的总结归纳、深化理解的作用 （二）（二）协作探究协作探究，解决问题解决问题
17、问题问题 3：如图，平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点 A 在第二象限内，点 O 是坐标原点，点 B，点 C 在 x 轴的负半轴上，BAC=OAC =30，OA=4将 图（1）中的ACB 绕点 C 顺时针方向旋转得到A1CB1， 其中直线 A1C 与直线 AO 交于点 E （1）将图（1）中的ACB 绕点 C 顺时针方向旋转 30时， COE是 三角形， 线段=CE ，COE的面积为 ； 7 点 E 的坐标为 （2）将图（1）中的ACB 绕点 C 顺时针方向旋转（旋转角为a，0a150） ，当COE 的面积为 3 4 时，求点 E 的坐标 F G B A CO
18、 y xx y OC A B E B1 A1 A CO y x 图（1） （备用图） 【追问追问 1】已知中给出两个全等的直角三角形是哪两个三角形？它们有什么特性？你能说出三 角形中各角的度数和各边的长度吗？ 【追问追问 2】第（1）问中已知条件给出旋转角为 30，你能找到哪个角是旋转角吗？ 【追问追问 3】OCE等于多少度？COE 具有什么特殊性质？ 【追问追问 4】线段CE的长度是多少？ 【追问追问 5】如何求COE 的面积？ 【追问追问 6】如何求点 E 的坐标？ 【师生活动】师生活动】教师将题中的第（1）问分解，以问题串的形式给出，引导学生进行思考，师生共 同协作探究第（2）问学生先独
19、立思考，然后再分组讨论，生生协作探究学生们利用提前准备好 的三角形纸板动手操作，将三角形纸板进行旋转，直观地感受图形旋转的全过程，预测旋转后图形 的位置，在备用图中动手画出符合题意的图形小组代表发言，说出组内的讨论结果教师应用几 何画板展示三角形旋转的全过程，让学生直观地感受到图形的运动所带来的点 E 坐标的变化最后 教师给出规范的板书，师生共同完成此题 【设计意图】设计意图】问题 3 用问题串的形式呈现，从观察图形的特性入手，然后再计算点的坐标，突 出体现了先“定性”分析，再“定量”计算的研究几何问题的一般思考方法.问题 3 利用旋转的性质 找到变化过程中的不变量，再结合基本图形进行线段和角
20、度的计算，最后将线段的长转化为坐标， 感悟“数形结合” 、 “转化”的数学思想在解题的过程中，学生想象不到图形旋转后的位置，在画 8 出图形这个环节遇到困难，教师使用几何画板动态演示，借助几何直观可以帮助学生有效地突破这 一难点，培养画图和识图的能力在三角形旋转的过程中，学生抓住基本图形的特征，在变化中寻 找的不变量，在计算线段长度和坐标的过程中，提高了计算能力经历同学之间协作探究，归纳总 结等活动使学生对“用坐标描述图形的旋转”由感性认识上升到理性思考 （三）（三）巩固巩固训练训练，能力提升能力提升 问题 4：在平面直角坐标系中，O为原点，点( 1 0)E ，点(0 1)F，若正方形OEDF
21、绕点O顺 时针旋转，得正方形OE D F ，记旋转角为 （1）当45时，求点D的坐标； （2）当60时，求点D的坐标 【师生活动】师生活动】学生分组讨论，学生利用提前准备好的正方形纸板动手操作，将正方形纸板进行 旋转，直观地感受图形的旋转，尝试画出图形利用前面 3 个问题积累的思考问题和解题经验，学 生可以协作完成此题，并请学生代表上台讲解，并且展示解题步骤第 1 问先确定D旋转后的位置 （y轴正半轴） ，再计算OD长度，求得点D坐标为(0, 2)第 2 问的方法 1：如图（1）过点D 作D Mx 轴于点M，过点F作F Nx 轴于点N，过点F作F GD M于点G，可以借 助 于 含 30 角
22、的 直 角 三 角 形D GF和ONF解 得 31 2 D MD GGM ， 31 2 OMONMN ，求得点D坐标为 3131 (,) 22 学生代表在讲述过程中如果有表 达不准确的地方，教师给予及时的帮助和鼓励 y x E DF O y x E DF O 9 1 2 3-1 2 3 2 1 2 1 2 1 FD E x y N G D M F O E 3+ 3 2 -2= 3-1 2 3+1 2 MQ y x E DF 13 1 D F O E 图（1） 图（2） 第 2 问的方法 2：如图（2）过点D作D Mx 轴于点M，延长D E交x轴于点Q，通过 已知可以判断OE Q和D MQ都是含
23、 30角的直角三角形，根据边角关系和勾股定理可以解得 131 22 D MD Q ， 31 2 OMQMOQ ，求得点D坐标为 3131 (,) 22 学生 代表在讲述过程中如果有表达不准确的地方，教师给予及时的帮助和鼓励如果没有学生用这种方 法，教师可以展示方法 2，开阔学生的思路，帮助他们积累更多的解题经验 【设计意图】设计意图】 本题以平面直角坐标系为背景， 以旋转变化的内容为载体， 给学生创设了从数 （点 坐标）的特征寻求形（图形）的特性再回到求点坐标的探索性问题问题 4 中求点D的坐标，延续 了前面 3 个问题中积累的方法和经验，起到了检验学生是否已经掌握了用旋转的性质求点的坐标的
24、基本方法和基本技能第（1）问给出旋转角为45的特殊情形，分两步解答：先根据正方形对角线 与边长之间的夹角为45这一特性，确定点D旋转后的位置正好落在y轴正半轴上，再根据勾股定 理计算线段OD的长度，再利用旋转不变性求出线段OD的长度，求出点D的坐标第（2）问中 旋转角度发生变化，但正方形的边长没有发生变化，可以确定D F和OF的长度为 1通过分析 可以发现D GF和ONF是两个全等的含 30角的直角三角形，通过代数运算可以解得线段 D M和OM的长度，突出体现了先“定性”分析，再“定量”计算的研究几何问题的一般思考方 法. （四（四）课堂课堂小小结，结，自我完善自我完善 1.在平面直角坐标系中
25、，一个图形旋转到某特定位置时，如何求出图形上关键点的坐标？应注 意的问题是什么？ 10 2.通过本节课的学习，你学到了哪些解决数学问题的方法？ 【师生活动】师生活动】学生谈本节课的学习感受，师生共同梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示 蕴涵的数学思想方法 【设计意图】设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对“用坐标描述图形的 旋转”有一个较为整体、全面认识，同时培养学生养成良好的学习习惯 （五（五）布置布置作业作业 必做作业：必做作业： 1.（基础达标）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称 的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形若点A的坐标是（1，3） ， 则
26、点M的坐标是_点N的坐标是_ 【说明】本题为必做作业，选自教师用书章节检测，可以帮助落实本节课的教学重点（利用旋 转的性质或对称性求关键点的坐标） 2. （反思提升） 在平面直角坐标系中，O为原点， 点( 2 0)A ， 点( 0 2 )B， 点E，点F分别为OA， OB的中点若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE D F ，记旋转角为 （）如图，当90时，求AEBF，的长； （）如图，当135时，求证AEBF，且AEBF； （）当60时，若直线 AE 与直线 BF 相交于点P（此时点D与点P重合） ，求点P的 坐标 【说明说明】本题为必做作业，改编于 2014 年天津中考第 24 题
27、，也是本节课问题 4 的变形和延伸， 可以延续课上总结的思想方法和解题经验进行反思提升 选做作业：选做作业： O x y AE D B F D () F E y x AE D O F E F D 图 图 B M N A O x y 11 3.（综合应用）如图，已知正方形 OABC 在直角坐标系 xOy 中，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正 半轴上，点 O 在坐标原点等腰直角三角板 OEF 的直角顶点 O 在原点，E，F 分别在 OA、OC 上， 且 OA=4，OE=2将三角板 OEF 绕 O 点逆时针旋转至 OE1F1的位置，连接 CF1，AE1 （1）求证： OAE1OCF1； （2）
28、若三角板 OEF 绕 O 点逆时针旋转一周，是否存在某一位置， 使得 OE1C F1？若存在，请求出此时点 E1的坐标；若不存在，请说明理由 【说明说明】本题为选做作业，学生可以利用本节课学习到的知识和方法进行自主探究，为学有余 力的学生提供更多的思考空间 【设计意图设计意图】课后作业分为必做和选做作业，为不同层次的学生提供不同的需求让学生借助 课上所学习到的思想方法解决同类问题，会用坐标描述图形的旋转，将课上的学习成果延续到课下. 六、目标检测设计六、目标检测设计 1.在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(2， 3)， 将线段OA绕点O顺时针旋转90得到线段OA， 则点A的坐标是_.若将OA
29、绕原点O逆时针旋转 180得到OA，则点A的坐标是 _. 2.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，RtABC 的三个顶点 A（2，2） ， B（0，5） ，C（0，2）. 将ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180 ，得到A1B1C，请画出A1B1C 的 图形. 第 3 题 3.在矩形 OABC 中，OA=4，OC=2，以点 O 为坐标原点，OA 所在的直线为 x 轴，建立直角坐 标系 将矩形 OABC 绕点 C 逆时针旋转至矩形 DEFC， 如图， DE 经过点 B， 求旋转角的大小和点 D， F 的坐标. A B C O x y 第 2 题 y x E1 A O E F F1 CB
