1、 第九届初中青年数学教师优秀课第九届初中青年数学教师优秀课 教教 学学 设设 计计 华东师大版八年级下册华东师大版八年级下册 17.4.2 反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质 东北师范大学附属中学东北师范大学附属中学 张冬梅张冬梅 一、一、内容内容和内容和内容解析解析 本节课是华师版八年级下册第 17 章 函数及其图象第 4 节反比例函数的第二课时，主要内容 是反比例函数的图象和性质本节课首先由函数关系式，通过描点法画出反比例函数的图象，然后通过观 察图象，直观地总结归纳出反比例函数的性质，再结合关系式，进一步认识函数的性质 这部分内容是继一次函数之后学习的又一个重要的函数函数是初中
2、数学重要的概念，对函数的研究 方法一脉相承，本节课对于反比例函数的图象、性质的探索和学习，是类比一次函数进行的，因此本节课 既是新知识，又是对已有研究方法的一个应用，学好它会为九年级继续探究二次函数的图象和性质打下基 础和提供研究方法，同时它还有助于理解和学习其他学科的知识，如物理中的速度与时间，电流与电阻等 知识 本节课对反比例函数的图象和性质的探究，类比一次函数，体现了“类比”的思想先画出六个反比 例函数的图象，根据图象归纳出它们的性质，再结合函数关系式0 k yk x 进一步解释和理解，得出反 比例函数的图象和性质，体现了“从特殊到一般”的思想和“数形结合”的思想在归纳反比例函数的性 质
3、时，要对 k 的正负性予以区别，体现了“分类”的思想 基于以上分析，确定本节课的教学重点：教学重点：反比例函数的图象和性质 二、二、教学目标教学目标和目标解析和目标解析 教学目标：教学目标： 1会画反比例函数的图象，根据图象和函数关系式，探索、归纳得到反比例函数的图象特征和性质 2在画反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“分类讨论”，“数形结合”以及“从特殊到 一般”的数学思想 3通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关 性质，训练学生的概括、总结能力. 目标解析：目标解析： 达成目标的标志是：会根据函数关系式使用描点法画出反比例函数的图
4、象，分析图象特征，归纳得到 反比例函数的性质 三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析 教学时经常遇到的问题： 1列表时，自变量 x 的取值个数不够、缺乏代表性 2连线时，由于前面所学的一次函数是直线，函数图象是连续的，容易使学生产生知识上的负迁移， 把双曲线跨象限连接 3画图时，对函数图象的延伸趋势和方向把握不清楚，容易造成图象与坐标轴相交或远离坐标轴的 情况 4对于反比例函数图象的变化趋势，容易忽视反比例函数的变化趋势只在每个象限内成立 诊断分析： 对函数图象与 x 轴、y 轴“越来越接近，但永远不相交”的趋势不易理解教学时，应注意有针对性 的指导，在学生遇到困难时，可以分别利用几何画板从
5、“形”上直观观察，利用函数关系式从“数”上分 析，从而加深理解 在前面学习一次函数的时候，学生已经经历过观察、分析图象特征，抽象、概括函数性质的过程，对 研究函数性质的方法也有一定的了解因此，通过类比方法，探究反比例函数的图象性质，从方法上不会 存在障碍但对于反比例函数的图象是两条曲线，函数图象的变化趋势只在每个象限内成立，学生在一次 函数的学习中并未遇到，所以无论是总结还是应用变化趋势这条性质对学生来说都比较困难，因此在教学 中可以通过举反例、结合图象来理解这条性质 基于以上分析， 确定本节课的教学难点教学难点： 反比例函数的图象的变化趋势只在每个象限内成立的理解和 应用 四、教学支持条件分
6、析四、教学支持条件分析 根据本节课教材内容的特点，为了直观、形象地突出重点、突破难点，借助信息技术工具，学生利用 图形计算器绘制反比例函数的图象验证结论，教师以几何画板软件为平台，绘制反比例函数图象，通过动 态演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当自变量变化时，对应函数值的变化规律， 进而探究反比例函数的性质 五、五、教学过程教学过程设计设计 教学过程设计教学过程设计 问题与情境 师生行为 设计意图 一、一、方法梳理，引入新知方法梳理，引入新知 教师梳理一次函数的研 究方法，引出本节课题 反比例函数的图象和性 质的探究方法与一次函数相 同，此处的设计为学习反比例 函数的图象和
7、性质作好方法 上的铺垫 二、二、小组合作小组合作，探究新知探究新知 （一）（一）画出画出六个反比例六个反比例函数图象函数图象 6 y x ， 6 y x ， 4 y x ， 4 y x ， 8 y x ， 8 y x 【任务一】 1 画出抽到的反比例函数的图象， 在图象 的旁边标上函数关系式 2组长组织组员从列表、描点、连线三个 方面互相纠错，讲解错误原因，并改正错 误 3 组员选出本组画得最好的一个图象上交 展示 （二）观察图象，归纳性质（二）观察图象，归纳性质 将上面六个反比例函数分类 【任务二】 1 观察这六个反比例函数的图象， 从中你 能发现么结论？将你发现的结论写在练习 纸上 2 组
8、内交流，整理发现的结论 学生先根据自己的理解 独立完成列表、 描点和连线的 过程教师在巡视的过程中， 个别指出学生的问题，比如： 列表时选择的自变量的选取 个数少、只取正的不取负的， 缺乏代表性， 连线的趋势不正 确等等 学生在独立完成后， 在组 长的组织下，互相检查纠错， 从而画出正确的图象 学生将函数分类， 并讨论 从图象中能看到的结论 当学生谈论不全面时， 教 师引导学生对比一次函数的 图象和性质来研究 图象是直观地描述和研 究函数的重要工具，通过经历 用描点法画出反比例函数图 象的基本步骤，可以使学生对 反比例函数的性质有一个初 步、整体的感性认识 准备六个反比例函数，每 组各画一个，
9、既能达到学会画 图象的目的，也为下面的分类 研究性质做准备 小组活动，充分调动学生 的学习主动性，在互相讨论和 交流的过程中， 明晰取点的 原则，对函数图象的形状和特 征有一个直观的认识 从六个函数图象中， 学生 非常直观、容易的将函数分为 k0 和 k0 两种情况讨论， 体现了分类的思想，同时，帮 助学生建立函数关系式和图 象的联系，体现数形结合的思 想 对于图象的特征和性质 的探究是本节课的重点，此环 节的设计，通过类比一次函 数，引导学生观察图象的形 状、位置和变化趋势，感受 （1）形状：双曲线 （2）位置：当0k 时，双曲线的两个分 支位于一、三象限；当0k 时，双曲线 的两个分支位于
10、二、四象限 （3）变化趋势：当0k 时，在每个象限 内，y 随 x 的增大而减小；当0k 时，在 每个象限内，y 随 x 的增大而增大 （三）验证结论（三）验证结论 【任务三】 利用每组的图形计算器，再画几个反比例 函数的图象，验证刚刚得到的结论 （四）（四）利用利用函数关系式解释函数关系式解释说理说理 【任务四】 1为什么当0k 时，双曲线位于一、三 象限；当0k 时，双曲线于二、四象限 2双曲线能不能与坐标轴相交？ 3 反比例函数的图象为什么不能是一条曲 线？ 对于函数图象的变化趋 势， 如果学生不强调在每个象 限内， 教师可以引导学生举例 子或从图象上分析， 从而得出 正确的结论 学生利
11、用图形计算器验 证归纳出的结论 教师用几何画板动态演 示，进一步验证结论 组内交流汇总， 并派代表 发言 “形”的特征，感受函数值随 自变量的增大而如何发生变 化，使学生对反比例函数的图 象和性质形成初步的印象 图象的变化趋势是本节 课的难点，这里通过具体的例 子让学生自己意识到问题并 主动修正结论 信息技术的使用， 能让学 生在短时间内，绘制不同类型 的反比例函数，快速验证归纳 出的结论，加深对图象和性质 的理解 几何画板的动态演示， 不 仅能观察图象的变化情况，还 能观察相关数值的变化情况， 帮助学生对函数增减性的理 解，建立“数”和“形”的联 系 从关系式的角度进行解 释，进一步加强学生
12、对这些性 质的理解，启发学生“由数想 形”、“由形助数” 学生经过观察猜想 验证说理，从而得出反比 例函数的图象特征和性质，这 是一个完整的数学探究过程， 学生学习的不仅仅是知识，还 有科学研究问题的方法 三、解决问题，应用新知解决问题，应用新知 1反比例函数 1 y x 的图象是（ ） （A） （B） （C） （D） 2 函数 x m y 2 的图象在二、四象限， 则 m 的取值范围是 _ 3在反比例函数 1k y x 的图象的每一 条曲线上，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是( ) （A）k1 （B）k0 （C）k1 （D）k1 4已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=2
13、时， 2 3 y . （1）求这个反比例函数的表达式 （2）这个函数图象位于哪个象限？ （3）若点（1，y1） ， （2，y2）是此函数图 象上的两个点，请比较 y1和 y2的大小 学生抢答 学生在练习纸上独立完 成 教师在巡视过程中， 引导 学生在第（3）问中可以用两 种方法解决 第 1 题、第 2 题、第 3 题 是对本节课的所学性质的直 接应用，落实本节课的重点知 识 第4题综合运用反比例函 数的相关知识 四四、归纳反思，深化、归纳反思，深化理解理解 1知识 2方法 3数学思想 五五、布置作业、布置作业，落实新知，落实新知 1. 教材 59 页第 2 题. 2.思考题： 反比例函数除了我
14、们今天上课介绍的 这些性质外，仔细观察和分析图象，看看 你还能发现哪些性质？请尝试分别从图象 和函数关系式的角度给予解释和说明. 教师引导学生交流本节 课学习的知识， 探究问题的方 法，以及用到的数学思想 教师布置作业， 学生记录 作业. 对本节课所学知识进行 及时整理、巩固和提高，培养 学生整理、归纳的习惯和能 力 思考题的设置，鼓励学生 进一步探索反比例函数的对 称性、过反比例函数上任意一 点向坐标轴引垂线构成的矩 形的面积与 k之间的关系等结 论 六、目标检测设计六、目标检测设计 1反比例函数 2 y x 的图象在第_象限 2函数 y2x 与函数 1 y x 在同一坐标系中的大致图象是(
15、 ) （A） （B） （C） （D） 3对于函数 4 y x ，下列说法错误的是( ) （A）它的图象分布在第一、三象限 （B）点2,2在它的图象上 （C）当 x0 时，y 的值随 x 的增大而增大 （D）当 x0 时，y 的值随 x 的增大而减小 4若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数 5 y x 的图象上，且 x10x2，则 ( ) （A）y1y20 （B）y1y20 （C）y10y2 （D）y10y2 5已知反比例函数0 k yk x 的图象经过点 A 4，1 2 （1）求这个函数的关系式； （2）画出函数图象； （3）这个函数图象位于哪几个象限？ 在每个象限内，y 随 x 的增大如何变化？
