1、第7章 排列、组合、二项式定理和概率一、两个原理二、排列三、组合五、二项式定理四、排列、组合的应用题六、概率（古典概型）（加法公式）（乘法公式）第7章 排列、组合、二项式定理和概率一、两个原理1.分类计数原理（加法原理）若完成一件事有 类办法。n在第一类办法中有 种不同的方法；1m在第二类办法中有 种不同的方法；在第 类办法中有 种不同的方法。2mnnm则完成这件事共有：12nmmm种不同的方法。2.分步计数原理（乘法原理）若完成一件事需要分成 个步骤。n做第一步有 种不同的方法；1m做第二步有 种不同的方法；做第 步有 种不同的方法。2mnnm则完成这件事共有：12nm mm种不同的方法。例
2、 A城 B城；汽车3 火车2 飞机1 A村 B村 C村 例 4人报名参加3项比赛，每人报且只报一项，则不同的报法有（）种。A.B.C.D.344334C34P解按人分步B33 3 3 43二、排列1.排列：从 个不同的元素中任取 个（）元nmmn素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同n元素中取出 个元素的一个排列。m特别：当 时，称为全排列。mnn 即 个不同元素全部取出的排列。2.排列数从 个不同的元素中取出 个（）元素的nmmn所有排列的个数。记作：mnPmnA或例 310P例 由2，5，7，8可组成多少个没有重复数字的三位数？解34.P（若可以有重复数字的三位数？）34.例 5人排成
3、一排照相，共有多少种排法？解55P5!120指.3.排列数公式!(1)(2)2 1nnnn(1)(2)(1)mnPnnnnm!()!mnnPnm特别：!nnPn310P例 10 9 8 720.补 由 可组成多少个8位数的电话号码？0,1,2,9多少个没有重复数字的8位数的电话号码？810.810P三、组合1.组合：从 个不同的元素中任取 个（）nmmn元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个n元素的一个组合。m2.组合数从 个不同的元素中取出 个（）元素的nmmn所有组合的个数。记作：mnC例 310C指.011nnnCC 由定义知1nCn12(2,C 133,C)2323(1)CC 3.
4、组合数公式!mmnnPCm!()!mnnCm nm310C例 120.3103!P10 9 86 4.组合数的性质.mn mnnCC11.mmmnnnCCC（常当 时用）2nm 910C例 110C10710C310C120.443544.CCCC（）.补补21111234limnnnnCCCCC解A.B.C.D.012122lim234nnCn(1)2lim(2)(1)2nn nn n原式lim2nnn1.等差数列前等差数列前n项和公式项和公式（）.补补22222341111234lim()nnnCCCCn CCCC解22C31lim(234)nnCnn 原式222341111234lim(
5、)nnnCCCn CCCC33C(1)(1)6lim(2)(1)2nnnnn nn 1lim3(2)nnn1.313四、排列、组合的应用题（大致分为三类）1.无限制条件的排列或组合题直接根据有关公式求。2.有限制条件的排列或组合题直接计算法间接计算法直接计算法：把符合限制条件的排列（或组合）数直接计算出来。间接计算法：先算出无限制条件的所有排列（或组合）数，再从中减去全部不符合条件的排列（或组合）数。3.排列、组合综合题通常先考虑组合，后考虑排列。通常先考虑组合，后考虑排列。例 5名学生和2位教师排成一排照相，两位教师 不在两端，且要相邻的排法共有（）种。DA.B.C.D.1082404809
6、60解直接计算法分步法一法二先安排老师14P2 4 5!960 2先安排学生55P14P255P2 5!4960补补 6人排成一排照相，其中甲、乙两人不能相邻 的排法有（）种。480解法一（间接计算）法二（直接计算）66P552P6!2 5!480分步先安排其余4人，再安排甲、乙。44P25P480例 5个男生和2个女生站成一排照相。（1）共有多少种排法？（2）男生甲必须站在左端或右端，且2个女生必须相邻，有多少种排法？（3）男生甲必须站在中间，且2个女生必须相邻，有多少种排法？解（3）（2）先安排甲12P55P2 480甲先安排两个女生14P44P2 192（1）77P7!5040例 100
7、件产品中，有3件次品，其余均为合格品，（1）恰有1件次品的取法有多少种？从这100件中任取3件，则：（2）至少有1件次品的取法有多少种？（3）至多有2件次品的取法有多少种？解（3）（2）（1）13C297C13968间接计算3100C397C14260间接计算3100C33C161699直接计算补补 从4名男生和3名女生中挑出3人站成一排，3人中至少有一名男生的排法共有（）种。A.B.C.D.2934204209解C法一（间接计算）法二（直接计算）37P33P7 6 53!2041243CC33P2143CC33P34P204例 将4本不同的书分给3个人，每人至少1本，不同分配方法的种数是（）
8、。BA.B.C.D.113433C C P解分步2343C P333P343P由题知，3人中有一人得到2本，其余2人各得1本。21124C33P先把书分组，再例 把4封不同的信投入3个不同的邮箱，且每个邮箱 至少投一封信，共有（）种投法？C解分步21124C33PA.B.C.D.122136424 33!2!36例 4个不同的小球放入甲、乙、丙、丁4个盒中，恰有一个空盒的放法共有（）种。DA.B.C.D.1244C C解3343C P1444C P323443C C P甲乙丁丙分步14C2343C P先选一个空盒法二先把球分组，法一分步211再把球放入4个盒中。24C34P)(333434PP
9、C 五、二项式定理定理对任意 ，都有：nZ0()nnrn rrnrabC ab共 项1nnanb上式称为 的二项展开式。()nab 展开式的通项：rn rrnC ab 展开式的二项式系数rnC即nnnnnCCCC,210),2,1,0(nrnnnnnnnnnbaCbaCbaCbaC0222111000122nnnnnnCCCC当 的二项式系数可排成下表：1,2,3,4,5n 1()ab2()ab3()ab4()ab5()ab11 1121133 114641151010511222324252“杨辉三角”二项式系数中，两端都是1，且中间的系数最大.二项式系数具有对称性。相邻两行系数间的关系（除
10、两端的1以外，每个系数都等于它“肩上”的两数之和）。二项式系数的性质（令 ）1ab 展开式中展开式中某项的某项的二项式系数二项式系数与与该项的该项的系数系数不同不同。例 在 的展开式中，7(12)x第四项的二项式系数为：37C35而第四项的系数为：（第四项为：）337(2)Cx33372C x3372 C280nnnnnnCCCC2210nnnnnCCCC,2100()nnrn rrnrabC ab第四项第四项 r=3B 右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字 构成规律，图中第八行所有 中应填数字的和补A.B.C.D.96128256312（09年）等于（）.11 1121133 11464
11、1151010511615201561解7n 72128 求 的展开式中 的系数。补91()xx3x解展开式的通项为：991()rrrCxx 99(1)rrrrCxx 9 29(1)rrrCx 令 ，得 923r3r 3x的系数为：339(1)C84 注意：符号问题注意：符号问题 的展开式的二项式系数之和为64，补1(2)nxx则展开式中常数项为（）。DA.B.C.D.20160160解20由题知 264n6n 展开式的通项为：661(2)()rrrCxx 66 26(1)2rrrrCx 令 ，得 620r3r 展开式中常数项为：3336(1)2C160 注意：二项式系数与第几项系数的区别注意
12、：二项式系数与第几项系数的区别 已知 展开式中所有系数之和等于81，补(12)nx则展开式中 项的系数为（）。DA.B.C.D.8163243x解设令 ，得 1x 381n4n 展开式的通项为：4(2)rrCx42rrrC x3x展开式中 的系数为：3342 C322012(12)nnnxaa xa xa x（重要）nnaaaa3210的展开式中，的系数是（）补补难难102(2)(1)xxA.B.C.D.179908918010 xB解102(2)(1)xx21010(2)(2)xxx10 x的系数为：又282102C x 21041C 1792821019110101022)2(xCxCxx
13、则 的值是（）.补423401234(23),xaa xa xa xa xA若2202413()()aaaaaA.B.C.D.1021解2202413()()aaaaa0241302413()()aaaaaaaaaa令 ，得 1x 402413(23)aaaaa令 得 1x 402413(23)aaaaa 2202413()()aaaaa44(23)(23)4(34)1六、古典概率1.基本概念 随机现象：某些现象，在个别试验中其结果呈现出不确定性，而在大量重复试验中其结果又具有统计规律性，这些现象称为随机现象。为了研究随机现象，我们所进行的观察或实验，称为试验。随机试验：若一个试验具有下列三个
14、特点：在相同条件下可以重复进行。每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。知道试验的所有可能结果。则称这一试验为随机试验。记为：.E随机试验的样本点：随机试验中的每一个基本结果。随机试验的样本空间：随机试验的全体样本点组成的集合。记为：随机事件：随机试验的样本空间的子集。（简称事件）（随机试验中，可能发生也可能不发生的结果）。通常用 表示。,A B C例抛硬币掷骰子AB 出现反面出现正面，A出现的点数小于3例1E抛掷一枚硬币，观察正面和反面出现的情况。2E掷一颗骰子，观察出现的点数。基本事件：由一个样本点构成的集合。（或 随机试验的每一个基本结果）事件
15、 发生：A在一次试验中，当且仅当 中包含的一个A一个样本点出现。事件的关系及运算设 为两事件,A BAB：“事件 与 中至少有一个发生”的事件。AB称为事件 与 的并（和）.ABAB（或 事件“或 ”）。ABABAB：“事件 与 同时发生”的事件。AB称为事件 与 的交（积）.ABAB（或 事件“且 ”）。ABAB互斥事件（互不相容事件）：在一次试验中，若 与 不可能同时发生。AB例基本事件是两两互斥的。掷骰子B A出现1点，例出现3点则 与 互斥。ABABBA对立事件：在一次试验中，若 与 不可能同时发生，AB且必有一个发生，则称 与 互为对立事件。ABA的对立事件记为：A事件 的概率：A(
16、)P A012.古典概型若随机试验 满足：E 基本事件只有有限个。每一个基本事件的发生是等可能的。（等可能概型）定理在古典概型中，是一个随机事件，则()mP AnA基本事件的总数nm事件 所包含的基本事件的个数A其中：则称此试验（试验模型）为古典概型。计算 常要用排列、组合的知识。,m n例 一袋内有10个大小相同的球，其中有6个白球，4个黑球。现从中任取2球，求：（2）取出的2球恰好一黑一白的概率；解此题属古典概型（1）取出的2球都是白球的概率；（3）取出的2球中至少有一个黑球的概率。法一210nC（1）()P A 26210CC13（2）()P B 1146210C CC815（3）()P
17、 C 112464210C CCC23法二()1()P CP C 262101CC 23先不讲！例 某市电话号码由8位数字组成，设每位数字可以 是从0到9这10个数字中的任意一个，电话号码A由8个不同数字组成的概率是（）。A.B.C.D.810810P810810C810108P810108C解此题属古典概型810n()P A 810810P例 桌上有中文书6本、英文书6本、俄文书3本。从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书C各1本的概率是（）。A.B.C.D.4911108108455414455解此题属古典概型315nC()P A 111663315C C CC108455例 将5个
18、相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（）CA.B.C.D.356556328528解此题属古典概型58nC()P A 586C328“3个空格相连”可看成占一个格子三个空格相连的放法共有6种，有两种理解：直接数出来56C6从 这十个数中任取四个数，补补A.B.C.D.0.480.500.520.46B解1,2,3,10其和为奇数的概率是（）。（选最接近的一个选项）此题属古典概型410nC()P A 13315555410C CCCC100.48211奇3偶2奇2偶3奇1偶4奇13554102C CC4偶若从 这十个数中任取3个不同的数，补补A.B.C.D.
19、130120115140B1,2,3,10则它们能构成公比大于1的等比数列的概率是（）.解此题属古典概型310nC()P A 3104C能构成公比大于能构成公比大于1的等比数列的的等比数列的3个数只有：个数只有：1,2,4;1,3,9;2,4,8;四种情况。1.304,6,9.有长为1cm,2cm，3cm,4cm,5cm,6cm的六根细 补补A.B.C.D.1431072015D木条，任取其中3根为边能构成一个三角形的概率解此题属古典概型36nC为（）.()P A 能构成三角形的3根木条共有如下7种情况：2,3,43,4,52,4,57.203,5,6;367C2,5,6;3,4,64,5,6
20、;3.互斥事件有一个发生的概率（加法公式）定理若事件 与 互斥，则有：()()()P ABP AP BAB可推广一般地，()()()()P ABP AP BP AB推论()1()P AP A（常用于：“至少有一个 ）例 一袋内有10个大小相同的球，其中有6个白球，4个黑球。现从中任取2球，求：解（3）取出的2球中至少有一个黑球的概率。法二()1()P AP A 23262101CC 例 在10件产品中，有6件一等品，4件二等品。从中任 取3件，其中至少有一件为二等品的概率是多少？解()1()P AP A 有两种方法363101CC 5.6例 在 中任取一数，求该数能被2整除或能被5整除的概率。
21、解1,2,3,100设A该数能被2整除，则()P ABB 20(),100P B 该数能被5整除()()()P AP BP AB50(),100P A 10()100P AB 50201010010010035（）4.相互独立事件同时发生的概率（乘法公式）定理若事件 与 相互独立，则有：()()()P ABP AP BAB可推广若一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，则称这两个事件是相互独立。（投篮、射击）定理若事件 与 相互独立，AB事件 与 ；AB事件 与 ；AB事件 与 。AB都相互独立。则：例 甲、乙两人独立射击一目标，各射击一次，已知甲命中概率为0.7，乙命中概率为0.6，
22、试求：（2）恰有一人命中的概率；（1）两人都命中的概率；（3）至少有一人命中的概率。解设A甲命中，B乙命中则由题知，()0.7P A()0.6P B（1）()()P AP B0.7 0.60.42（2）ABAB()P ABABAB()P AB()()P ABP AB()()()()P A P BP A P B()1()1()()P AP BP A P B互斥（3）法二法一AB()P AB()()()P AP BP AB0.70.6 0.420.88设C 至少有一人命中，则()1()P CP C 1()P AB 1()()P A P B 1 1()1()P AP B 法三ABBABA.88.0)
23、(ABBABAP)()()(ABPBAPBAP.88.0例 打印一页文件，甲出错的概率为0.04，乙出错的概率为0.05。从两人打印的文件中各任取一页，C其中恰有一页出错的概率是（）。A.B.C.D.0.0380.0480.0860.096解设A甲出错，B乙出错则由题知，()0.04P A()0.05P B ABAB()P ABAB()()P ABP AB()()()()P A P BP A P B()1()1()()P AP BP A P B互斥0.04(1 0.05)(1 0.04)0.050.086例 有两个独立的报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率分别是0.95和0.92，则在
24、紧急情况D出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是（）.A.B.C.D.0.9200.9350.9500.996解设A甲报警器发出信号B则由题知，()0.92P B 乙报警器发出信号法一法二AB()P AB()()()P AP BP AB1()P AB()()()()P AP BP A P B1()()P A P B 1 1()1()P AP B()0.95P A 在一段电路中并联着3个自动开关，只要其中补补A.B.C.D.0.9820.9780.9850.973A解有一个开关闭合，线路就能正常工作。已知在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则在这段时间内线路能正常工作的概率为（）.(
25、)()()0.7P AP BP C1()P ABC1()()()P A P B P C 31 1()P A 31 0.3 0.973设A某段时间内甲开关能够闭合则由题知，C 甲盒中有200个螺杆，其中A型的有160个；从甲乙两盒中各任取一个零件，能配成A型螺栓的补补A.B.C.D.1201516351920概率为（）.乙盒中有240个螺母，其中A型的有180个。解法二法一（古典概型）AB()P AB1116018011200240()CCP ACC160 180200 24035设A从甲盒中取一个A型螺杆B 从乙盒中取一个A型螺母()()P A P B则160()200P A 180()240
26、P B 160 180200 24035 5.独立重复试验（贝努利概型）若随机试验满足：在相同条件下进行 次重复试验。A 每次试验只有两种可能结果（发生或 不发生）n 在每次试验中，发生的概率都一样。AA 各次实验是相互独立的。（即 每次实验的结果与其他各次试验的结果无关）则称这种实验为独立重复试验（贝努利概型）。定理的概率为：()(1)kkn knnP kCppAp若在一次试验中事件 发生的概率为 ，则在 次独立重复试验中事件 恰好发生 次 nAk(0)kn例 甲投篮1次投中的概率是0.6，求：（2）甲投篮5次至少投中4次的概率；（1）甲投篮5次投中4次的概率；解此题属独立重复试验0.6p（1）5(4)P445 450.6(1 0.6)C0.26（2）()()()P ABP AP B55(4)(5)PP445 4555 5550.6(1 0.6)0.6(1 0.6)CC0.34例 一批产品的次品率为0.1，逐件检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是次品的概率是（）AA.B.C.D.0.2710.2430.10.081解次品率()1()P AP A 法一（独立重复试验）法二0.1p 333(1)(2)(3)PPP123123()()()()P AAAP AP AP AA：三件全是正品31(3)P 正品率0.9p 333 3310.9(1 0.9)C 0.271
