1、戴宏亮戴宏亮 编著编著湖南大学湖南大学 机械与运载工程学院机械与运载工程学院工程力学系工程力学系首页上一页下一页3第七章 梁的弯曲变形首页上一页下一页4第七章 梁的弯曲变形首页上一页下一页5第七章 梁的弯曲变形首页上一页下一页6第七章 梁的弯曲变形挠曲线方程：挠曲线方程：)(xww 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠曲线yxxw挠度转角挠度挠度w：截面形心在y方向的位移。符号：符号：与y轴正方向相同为正。转角转角：截面绕中性轴转过的角度。符号：符号：与y轴正方向相同为正。xwdxdwtan首页上一页下一页7第七章 梁的弯曲变形2 2.挠度：
2、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移用横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移用 w 表示，与坐标表示，与坐标 y 同向为正，反之为负。同向为正，反之为负。3 3.转角：转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示表示 逆时针转动为正，逆时针转动为正，反之为负。反之为负。1 1.挠曲线：挠曲线：梁变形后，轴线变成的光滑曲线梁变形后，轴线变成的光滑曲线首页上一页下一页8第七章 梁的弯曲变形挠曲线挠曲线yxxw挠度挠度转角转角1.1.梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程纯弯曲纯弯曲时，得到：时，得到：z zE EI IM M1 1 MM横力弯曲横力弯曲时时,忽略剪
3、力忽略剪力对变形的影响对变形的影响1()()zM xxEI首页上一页下一页9第七章 梁的弯曲变形由数学知识可知：由数学知识可知：略去高阶小量，得略去高阶小量，得所以所以222 3/2d1dd()1()dwxwxx 1()()zM xxEI22)(1dxwdx22d()dwM xxEI 首页上一页下一页10第七章 梁的弯曲变形 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：程为：zEIxMdxwd)(222M(x)0M(x)0Od ydx2 0 xyM(x)0Odxd
4、y 022yxM(x)b。1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）弯矩方程）弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11110,AC AC 段：段：lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB解解首页上一页下一页17第七章 梁的弯曲变形3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxwdEI1211112)(CxlFbxEIdxdwEI1113116DxCxlFbEIwAC AC 段：段：ax 10)()(222
5、2222axFxlFbxMdxwdEI2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdwEI2223232)(662DxCaxFxlFbEIwCB CB 段：段：lxa2maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB首页上一页下一页18第七章 梁的弯曲变形4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数0)(,22lwlx0)0(,011wx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx )()(,2121awawaxxlFbFblCC661321 021 DDmaxwab1x2xACDFxAyFByFAByB首页上一页下
6、一页19第七章 梁的弯曲变形5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231661xbllFbxlFbEIw)(AC AC 段：段：ax 10)()(2222222622bllFbaxFxlFbEI22232322666xbllFbaxFxlFbEIw)()(CB CB 段：段：lxa2maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB首页上一页下一页20第七章 梁的弯曲变形6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0 dxd)(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，0dxdw)()(,maxEIlb
7、lFbwblx39332222maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB首页上一页下一页21第七章 梁的弯曲变形积分法求梁的变形关键点：积分法求梁的变形关键点：分段列弯距方程 寻找边界条件分段 AB、BC、CD三段，六个积分常数边界条件 0,0 ,AABBccwwwww左右左右,0Dccw左右PDABC首页上一页下一页22第七章 梁的弯曲变形边界条件：0,ABBCwwl 集中力、集中力偶作用点，分布力的集中力、集中力偶作用点，分布力的起、终点，梁的自然端点为分段点。起、终点，梁的自然端点为分段点。支承条件、连续条件、光滑条件。有支承条件、连续条件、光滑条件。有多少积分常数就有且仅有多少
8、个边界多少积分常数就有且仅有多少个边界条件。条件。ABC首页上一页下一页23第七章 梁的弯曲变形 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处转角不超过许用数值。处转角不超过许用数值。B1 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为：EIFlaB3解解例题例题 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 20 kN，al m，l2 m，E E=206=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5=0.5。根据刚度要求。根据刚度要求确定轴的直径确定
9、轴的直径d d。首页上一页下一页24第七章 梁的弯曲变形B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径：B 111mmm101115.010206318012102064318064342934EFlad 1803EIFla EFlaI3180 EFlad3180644首页上一页下一页25第七章 梁的弯曲变形已知：q=10kN/m，L=3m，bhLfGPaE2 ,2501 ,200试设计截面。hbABLq,120MPa解：解：(1)按强度条件设计按强度条件设计A截面为危险截面mNqLM3232max1045310102121maxzWM32646332bbbhWz)2(bh 633
10、10120104532bcmmb 25.8 1025.8101202104532363cmbh 5.162 首页上一页下一页26第七章 梁的弯曲变形(2)按刚度条件设计按刚度条件设计maxLfLf4max,8zqLfEI3212)2(12433bbbbhIzABLqhb333max9410 1031282508 200 103ZfqLLEIb代入刚度条件可得：cmb 92.821020082503101034933cmbh 84.172 综合考虑强度和刚度条件，取：cmbcmh 9 18首页上一页下一页27第七章 梁的弯曲变形)(22xMEIwdxwdEI 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作
11、用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为w w，则有：，则有：)(xMEIwii 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：i iy)(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)()(11xMwEIwEIniinii首页上一页下一页28第七章 梁的弯曲变形故故 )(1niiww由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此,1niiniiww1重要结论：重要结论：梁在若干个载荷共同作
12、用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算这就是计算弯曲变形的叠加原理弯曲变形的叠加原理。首页上一页下一页29第七章 梁的弯曲变形3,3BzPLwEIzBEIPL22LAPB4,8BzqLwEIzBEIqL63ABLq3,48CzPLwEIzAEIPL16245,384CzqLwEIzAEIqL243挠度：3、8、48、5384转角：2、6、16、24APBL/2L/2CABqL/2L/2C首页上一页下一页30第七章 梁的弯曲变形例例题题：求求A点转角和点转角和C点挠度。点挠度。
13、BBqBqPP=+AAACaa解解：a)载荷分解如图b)查表EIFaEIFLyFC64833EIFaEIFLFA41622EIqaEIqLyqC245384544EIqaEIqLqA32433首页上一页下一页31第七章 梁的弯曲变形EIFaEIqayyyqAFAC624534qAFAA)43(122qaFEIac)叠加EIFaEIFLyFC64833EIFaEIFLFA41622EIqaEIqLyqC245384544EIqaEIqLqA32433首页上一页下一页32第七章 梁的弯曲变形qBACla例题例题:已知：已知：悬臂梁受力如图悬臂梁受力如图示，示，q、l、a、EI均为已知。均为已知。求
14、求C 截面的挠度截面的挠度yC和转角和转角 C。qBAClaByByC36CBqlEI CBByya 4386qlql aEIEI 3243qllaEI 首页上一页下一页33第七章 梁的弯曲变形例题例题 已知：悬臂梁受力如图已知：悬臂梁受力如图示，示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面的挠度截面的挠度w wC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 先将均布载荷延长至梁先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在荷作用的效果，在AB AB 段还段还需再加上集度相同、方向
15、相需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。反的均布载荷。Cy解解首页上一页下一页34第七章 梁的弯曲变形Cy2Cy1Cy2By,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCEIqlC631EIqlC4832EIqlwwiCiC384414213 3）将结果叠加）将结果叠加 EIqliCiC4873212 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。首页上一页下一页35第七章 梁的弯曲变形解解：分别考虑AB和BC梁段的情况。LaABCPPam 0(a)刚化BC求图示荷载
16、作用下，C截面的挠度。LaABCPLaABCPBaBPam 0zzBEIPaLEILm330123CBzPa LfaEI 2.逐段叠加法逐段叠加法首页上一页下一页36第七章 梁的弯曲变形(c)叠加(b)刚化ABBCP2CfLaABCP233CzPafEI 12 CCCfff)(32aLEIPazaEIPaLEIPazz333LaABCPBaBPam 0123CBzPa LfaEI (a)刚化BC首页上一页下一页37第七章 梁的弯曲变形例题：例题：如图，求C截面的挠度和转角 qABCab2EIEI首页上一页下一页38第七章 梁的弯曲变形（1）逐段刚化法。）逐段刚化法。分段，区分支承部分和附加部分
17、。ABCab2EIEIqBBCcBBBCcBBbwwEIabqbEIaqbEIqaEIabqbEIaqbEIqaw)2(1)2()2(2)()2(6)2(2)2()2(3)()2(823234（2 2）刚化）刚化BCBC段。段。静力等效BC段的均布载荷。首页上一页下一页39第七章 梁的弯曲变形（3）刚化）刚化AB段。段。ABCab2EIEIqEIqbEIqbwABcABc6834（4）叠加）叠加BCcABccBCcABccwww首页上一页下一页40第七章 梁的弯曲变形1.超静定梁简述超静定梁简述超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言,多余
18、的约束。超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.超静定梁的基本求解方法：超静定梁的基本求解方法：确定超静定次数 将超静定梁转化为静定梁 写出变形协调条件 联立求解平衡方程、变形协调方程以及物理方程 解出全部未知力 进行强度与刚度的计算。变协调方程：变协调方程：根据多余约束对位移的限制，建立各部分位 移之间的几何方程。首页上一页下一页41第七章 梁的弯曲变形解：解：3个反力，2个平衡方程0qBRBBfffB34(2)5(2)038448RBzzFlqlEIEIACqFRBFRAFRCACqFRB例题例题 求图示梁的约束反力。ABCllq相当系统（或静定基）如图1.变形协调关系：变
19、形协调关系：2.物理关系：物理关系：首页上一页下一页42第七章 梁的弯曲变形0RCRBRAFFFACqFRBFRAFRC53,48RBRARCFqlFFql3.平衡关系：平衡关系：0 Y 0BM0lFlFRCRA34(2)5(2)038448RBzzFlqlEIEI4.联立三式：联立三式：首页上一页下一页43第七章 梁的弯曲变形 2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解解例题例题 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1 1）判定超静定次数）判定
20、超静定次数2 2）解除多余约束，转化为静定梁）解除多余约束，转化为静定梁(d)ABCFByABFC0ByFBFBBwww)()(3 3）进行变形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协调条件调条件首页上一页下一页44第七章 梁的弯曲变形4 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 EIFaaaEIaFwFB314296232)()()(EIaFwByFBBy383)(03831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy475 5）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 )(),(FFFaMAyA432 2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyAC
21、FCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MA Ay yF F首页上一页下一页45第七章 梁的弯曲变形例题例题 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度两端固定，梁的抗弯刚度均为均为EIEI，F F=40kN=40kN，q q=20kN/m=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。从从B B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BBwwBBFFFBw
22、B1 FBwB2物理关系物理关系EIFEIqwBB3484341EIFEIFwBB3424362322解解首页上一页下一页46第七章 梁的弯曲变形FB FBwB1wB2kN.7584842046104023342BF代入得补充方程：代入得补充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234确定确定A A 端约束力端约束力04,0 qFFFBAykN25.7175.82044 BAFqF0424,0 BAAFqMM mkN12575.842204424 BAFqM首页上一页下一页47第七章 梁的弯曲变形FB FBwB1wB20,0 FFFFCBy确定确定B B 端约束力端约束力
23、kN75.4875.840 BCFFF042,0 BCCFFMM kN.m11540275.8424 FFMBC首页上一页下一页48第七章 梁的弯曲变形A A、B B 端约束力已求出端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力图和弯矩图)()(25.7175.875.48 kN SF)(kN25.71 AF)kN(75.48 CF)(mkN125 AM)m(kN115 CM)(12511594.15.17)mkN(M)(首页上一页下一页49第七章 梁的弯曲变形材料材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；截面截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；跨度跨度梁的位移与跨度 l 的 n次幂
24、zEIxMdxwd)(223,3BzPLwEIzBEIPL22LAPB首页上一页下一页50第七章 梁的弯曲变形1 1 选择合理的截面形状选择合理的截面形状首页上一页下一页51第七章 梁的弯曲变形2 2 合理选择材料合理选择材料影响梁强度强度的材料性能是极限应力极限应力 u；影响梁刚度刚度的材料性能是弹性模量弹性模量 E。钢材(或各种铝合金)的极限应力虽然差别很大，但它们的弹性模量十分接近。首页上一页下一页52第七章 梁的弯曲变形3 3 梁的合理加强梁的合理加强超静定加强超静定加强首页上一页下一页53第七章 梁的弯曲变形4 4 合理安排梁的约束与加载方式合理安排梁的约束与加载方式改变支座形式改变
25、支座形式3,48CzPLwEIzAEIPL162APBL/2L/2C3,3BzPLwEIzBEIPL22LAPB首页上一页下一页54第七章 梁的弯曲变形改变载荷类型改变载荷类型3,48CzPLwEIzAEIPL16245,384CzqLwEIzAEIqL243APBL/2L/2CABqL/2L/2C首页上一页下一页55第七章 梁的弯曲变形1 1、明确挠曲线、挠度和转角的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念2 2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3 3、学会求解简单超静定问题、学会求解简单超静定问题首页上一页下一页56第七章 梁的弯曲变形作业题作业题第一次课：第一次课：7-1，7-7，7-10，7-13第二次课：第二次课：7-20，7-21第三次课：第三次课：7-15，7-16，7-18第四次课：第四次课：7-19，7-22
