1、一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分第二节第二节 二重积分的计算方法二重积分的计算方法二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式(1)(1)区域特征如图区
2、域特征如图,).()(21 r区域特征如图区域特征如图,).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1rAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式(2)(2)区域特征如图区域特征如图,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(0 2 0 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.Drdrd 二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式(3)(3)区域特征如图区域特征
3、如图).(0 rDoA)(r,20 解解 sincosryrx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(2 0 1 cossin1 rdrrrfd1 yx122 yx .10,11),(),(2 xxyxyxDdxdyyxfD形式，形式，的极坐标二次积分的极坐标二次积分写出积分写出积分,1 r,cossin1 r在在极坐标下极坐标下直线方程为直线方程为圆的圆的方程为方程为例例1 1解解dxdyeDyx 22 arrdred 0 2 0 2 ).1(2ae 在极在极坐标系中，积分区域坐标系中，积分区域D D 可表示为可表示为 .0 ,0:arD .,22的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域
4、半径为半径为是由中心在原点，是由中心在原点，其中其中计算计算aDdxdyeDyx 例例2 2解解|),(2221RyxyxD 2|),(2222RyxyxD 0,0|),(RyRxyxS ,022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2.0 2 dxex求求广广义义积积分分21 DSD 显然有显然有例例3 3 RyRxdyedxe 0 0 22;)(2 0 2 Rxdxe Rrrdred 0 0 22 );1(42Re );1(422Re 1221DyxdxdyeI 2222DyxdxdyeI同理同理 SyxdxdyeI22 又
5、又1D2DSS1D2DRR2,41 I,42 I,4 I,21III );1(4)()1(422222 0 RRxRedxee ,4)(2 0 2 dxex即即时，时，当当 R时，时，故当故当 R.2 0 2 dxex所求广义积分所求广义积分解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36 sin4 sin2 2 rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy.0303 4 ,2 ,)(222222所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域及直线及直线为由圆为由圆其中其中计算计算 xyyxyyxyyxDdxdyyxD例例4 4解解 Ddxdyyxyx
6、2222)sin(2 1 0 sin42rdrrrd .4 14DD 1D由由对称性，可只考虑第一象限部分对称性，可只考虑第一象限部分由由被积函数的对称性，得到被积函数的对称性，得到 .41),()sin(222222 yxyxDdxdyyxyxD积分区域为积分区域为，其中，其中计算二重积分计算二重积分 12222)sin(4Ddxdyyxyx 例例5 5解解)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D14 DD 根据对称性，有根据对称性，有在极在极坐标下坐标下.)(2)(222222222所围成的图形的面积所围成的图形的面积和和求曲线求曲线ayxyxayx 例例6 6 14Ddxdy 2cos2 0 64aardrd).33(2 a arar 2cos2 由由.)6,(aA Ddxdy 所求面积为所求面积为得得交点交点
