1、第二十一章 一元二次方程第3课时 几何图形与一元二次方程学习目标1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）导入新课导入新课问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_.CBDA(30-2x)(20-x)=678问题引入讲授新课讲授新课几何图形与一元二次方程一引例：要设计一本书的封面,封面长27,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果
2、要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)27cm21cm合作探究 分析:这本书的长宽之比 ：正中央的矩形长宽之比 ：，上下边衬与左右边衬之比 ：.9 79 727cm21cm解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：11(27 9):(21 7)22aa9 79(3):7(3)9:7.aa27cm21cm解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得3(27 18)(21 14)27 21,4xx 解方程得63 3.4x故上下边衬的宽度为:63 391.8,4故左右边衬的宽度为:
3、63 371.4.4方程的哪个根合乎实际意义?为什么?试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得27cm21cm39727 21,4xx解得 223 33 322xx，（舍去）.故上下边衬的宽度为:3 327 927 954 27 321.8.224x 3 321 721 742 21 321.4.224x 故左右边衬的宽度为:例1：如图所示，在ABC中，C=90，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时
4、，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为9 cm？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：若设出发x s后可使PCQ的面积为9cm整理，得解得 x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使PCQ的面积为9cm.92)6(21xx0962 xx 主要集中在几何图形的面积问题,这类问题的面积公式是等量关系.如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;方法点拨220 323220540 xxx2032xx解：设道路的宽为x米例2：如图，在一块宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种
5、上草坪,要使草坪的面积为540,求道路的宽为多少？典例精析还有其他还有其他解法吗？解法吗？2032xx解：设道路的宽为 x 米20-x32-x(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得 x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.取x=2答：道路的宽为2米.方法二：在宽为在宽为20m,长为长为32m的矩形的矩形地面上修筑同样宽的道路地面上修筑同样宽的道路,余下的部分余下的部分种上草坪种上草坪,要使草坪的面积为要使草坪的面积为540,求求这种方案下的道路的宽为多少？这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为解：设道路的宽为 x 米米(32-x)
6、(20-x)=540可列方程为可列方程为2032xxx20-x 在宽为在宽为20m,长为长为32m的矩形地面上修筑同的矩形地面上修筑同样宽的道路样宽的道路,余下的部分种上草坪余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为解：设道路的宽为 x 米米(32-2x)(20-x)=540可列方程为可列方程为32-2x2032xxxx20322x2x32-2x20-2x 在宽为在宽为20m,长为长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道的矩形地面上修筑同样宽的道路路,余下的部分种上草坪余下的部分种上草坪,要使要使
7、草坪的面积为草坪的面积为540m2,求这种种求这种种方案下的道路的宽为多少？方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为解：设道路的宽为 x 米米(32-2x)(20-2x)=540可列方程为可列方程为在宽为在宽为20m,长为长为32m的矩形地面上修筑四条道路的矩形地面上修筑四条道路,余余下的部分种上草坪，下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽求道路的宽为多少？为多少？小路所占面积是矩形小路所占面积是矩形面积的四分之一面积的四分之一 剩余面积是矩形面剩余面积是矩形面积的四分之三积
8、的四分之三解解:设横、竖小路的宽度分别为设横、竖小路的宽度分别为3x、2x，于是可列方程于是可列方程(30-4x)(20-6x)=203020303x2x30-4x20-6x433x2x6x4x30-4x20-6x 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨解：设AB长是x m.(100-4x)x=400 x2-25x+100=0 x1=5，x2=20 x=20,100-4x=2025 x=5(舍去)答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.例3：如图：要利用一面墙（墙长
9、为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？DCBA25米变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？住房墙住房墙1m解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，由题意得 x(25-2x+1)=80化简，得 x2-13x+40=0解得 x1=5,x2=8当x=5时，26-2x=1612 (舍去）当x=8时，26-2x=1012 故所围矩形猪舍的长为10m,
10、宽为8m.则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=080cmxxxx50cmB当堂练习当堂练习2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽 解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x c
11、m5(2x-10)(x-10)=3000 x2-15x-250=0解得 x1=25 x2=-10(舍去）所以 2x=50答：铁板的长50cm,宽为25cm.3.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2 3，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？解：设横向彩条的宽度2xcm,竖彩条的宽度3xcm (20-6x)(30-4x)=400 6x2-65x+50=0舍去）(10,6521xx253,352xx则.cm25,cm35分别是答：每个横竖条的宽度课堂小结课堂小结几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图
12、形面积是等量关系.类 型课本封面问题彩条/小路宽度问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程21.3 21.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程第第2 2课时课时1.1.了解几种特殊图形的面积公式了解几种特殊图形的面积公式.2.2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题解决实际问题.1.1.列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤?对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题深刻体会与真正掌握列方程解应用题.上一节，我们学习了解决上一节，我们
13、学习了解决“平均增长平均增长(下降下降)率问率问题题”，现在，我们要学习解决，现在，我们要学习解决“面积、体积问题面积、体积问题”.2.2.直角三角形的面积公式是什么？一般三角形直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？的面积公式是什么呢？3.3.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？公式又是什么？4.4.梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？5.5.菱形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？6.6.平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？7.7.圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？【例例1 1】要
14、设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长2727,宽宽2121,正中央是一个与整个封面正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一衬所占面积是封面面积的四分之一,上、上、下边衬等宽下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度?2721【解析解析】这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,9:7,依题知正中央的矩形依题知正中央的矩形两边之比也为两边之比也为9:7.9:7.例 题 解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm9xc
15、m,7xcm 依题意得依题意得21274379 xx解得解得 2331x8.143275422339272927 x4.143214222337212721x不合题意，舍去）(2332x左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为:212743)1421)(1827(xx解方程得解方程得4336 x(以下请自己完成以下请自己完成)方程的哪个根合乎实际方程的哪个根合乎实际意义意义?为什么为什么?解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm,7xcm,依题意得依题意得【例例2 2】学校为了美化校园环境，在一块长学校为了
16、美化校园环境，在一块长4040米、宽米、宽2020米的米的长方形空地上计划新建一块长长方形空地上计划新建一块长9 9米、宽米、宽7 7米的长方形花圃米的长方形花圃.（1 1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1 1平方米，平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案请你给出你认为合适的三种不同的方案.（2 2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加长方形花圃的面积能否增加2 2平方米？如果能
17、，平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.例 题【解析解析】(1)(1)方案方案1 1：长为：长为 米，宽为米，宽为7 7米米;719方案方案2 2：长为：长为1616米，宽为米，宽为4 4米米;方案方案3 3：长：长=宽宽=8=8米米;注：本题方案有无数种注：本题方案有无数种（2 2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面 积不能增加积不能增加2 2平方米平方米.由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为1616米米.设长方形花圃的设长方形花圃的长为长为x x米，则
18、宽为（米，则宽为（16-x16-x）米）米.x x(16-(16-x x)=63+2)=63+2，x x2 2-16-16x x+65=0+65=0，22b4ac(16)4 1 6540 此方程无解此方程无解.在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加加2 2平方米平方米1 1用用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形,若若能够能够,求它的长与宽求它的长与宽;若不能若不能,请说明理由请说明理由.【解析解析】设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,xcm,则宽为则宽为 cm,cm,)220(x30
19、)220(xx即即x x2 2-10 x+30=0-10 x+30=0这里这里a=1,b=a=1,b=10,c=30,10,c=30,0203014)10(422acb此方程无解此方程无解.用用20cm20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形.跟踪训练2.2.某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长3232米米,宽宽2020米的长方形米的长方形场地上修筑若干条道路场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪余下部分作草坪,并请全校同学参并请全校同学参与设计与设计,现在有两位学生各设计了一种方案现在有两位学生各设计了一种方案(如图如图),)
20、,根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少求图中道路的宽分别是多少?使图使图(1),(2)(1),(2)的草坪面积为的草坪面积为540540米米2 2.(1)(1)(2)(2)(1)(1)【解析解析】（1)1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，则则540)220)(232(xx化简得，化简得，025262xx0)1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)(1)中道路的宽为中道路的宽为1 1米米.则横向的路面面积为则横向的路面面积为 （2）解析：）解析：此题的相等
21、关系是矩此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于形面积减去道路面积等于540540米米2 2.解法一、解法一、如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2,纵向的路面面积为纵向的路面面积为 20 x 20 x 米米2 2.注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是x x2 2,所列的方程是不是所列的方程是不是3220(3220)540 xx？图中的道路面积不是图中的道路面积不是3220 xx米米2 2.(2)(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是m m2 2所以正确的方程是：所以正确的方程是：232203220540 x
22、xx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去.取取x=2x=2时，时，道路总面积为：道路总面积为：草坪面积草坪面积=32=3220-100=540 20-100=540（米（米2 2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米米.122,50 xx)2032(2xxx22(3220)22100()米解法二：解法二：我们利用我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改图形经过移动，它的面积大小不会改变变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，
23、至于实际施工，仍可按易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）原图的位置修路）(2)(2)横向路面横向路面:如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，32x32x米米2纵向路面面积为纵向路面面积为:2020 x米米2草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为:草坪矩形的宽（纵向草坪矩形的宽（纵向:）为：）为：相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即3220540.xx化简得：化简得：212521000,50,2xxxx再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相
24、同相同.1.1.如图是宽为如图是宽为2020米米,长为长为3232米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑同样宽要修筑同样宽的三条道路的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂直且互相垂直),),把耕地分把耕地分成六块大小相等的试验地成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为要使试验地的面积为570570平方平方米米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?【解析解析】设道路宽为设道路宽为x x米，米，570)220)(232(xx化简得，化简得，035362xx0)1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽
25、为道路的宽为1 1米米.则则2.2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度四周外围环绕着宽度 相等的小路相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m246m2 2,求小路的宽度求小路的宽度.A AB BC CD D化简得，化简得，01233522xx0)412)(3(xx241,321xx?其中其中x=-20.5x=-20.5应舍去应舍去.答答:小路的宽为小路的宽为3 3米米.【解析解析】设小路宽为设小路宽为x x米，则米，则2015246)215)(220(xx3.3.如图，有长为如图，有长为2424米的篱
26、笆，一面利用墙（墙的最大可用米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度长度a a为为1010米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花设花圃的宽圃的宽ABAB为为x x米，面积为米，面积为S S米米2 2，（1 1）求）求S S与与x x的函数关系式的函数关系式;（2 2）如果要围成面积为）如果要围成面积为4545米米2 2的花圃，的花圃，ABAB的长是多少米？的长是多少米？【解析解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2
27、2+24x+24x(2)(2)由条件由条件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得 x x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽ABAB为为5 5米米1434.4.某公司投资新建了一商场某公司投资新建了一商场,共有商铺共有商铺3030间间.据预测据预测,当每间当每间的年租金定为的年租金定为1010万元时万元时,可全部租出可全部租出.每间的年租金每增加每间的年租金每增加5 5 000000元元,少租出商铺少租出商
28、铺1 1间间.该公司要为租出的商铺每间每年交各该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用种费用1 1万元万元,未租出的商铺每间每年交各种费用未租出的商铺每间每年交各种费用5 0005 000元元.（1 1）当每间商铺的年租金定为）当每间商铺的年租金定为1313万元时万元时,能租出多少间？能租出多少间？（2 2）当每间商铺的年租金定为多少万元时）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益该公司的年收益（收益租金各种费用）为（收益租金各种费用）为275275万元？万元？【解析解析】（1 1）2424间；（间；（2 2）10.510.5或或1515万元万元.1.1.列一元二次方程解应用题的步骤与列
29、一元一次方程解应列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答.2.2.这里要特别注意这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求的要求.通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：实际问题与一元二次方程（三）实际问题与一元二次方程（三）面积、体积问题面积、体积问题复习：复习：列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过
30、解各种类型的问题，对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。上一节，我们学习了解决上一节，我们学习了解决“平均平均增长增长(下降下降)率问题率问题”，现在，我们要学习解决，现在，我们要学习解决“面积、体面积、体积问题积问题。一、复习引入一、复习引入 1直角三角形的面积公式是什么？直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？一般三角形的面积公式是什么呢？2正方形的面积公式是什么呢？正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？长方形的面积公式又是什么？3梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？4菱形的
31、面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？5平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？6圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中央是一个正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边左、右边衬等宽衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度应如何设计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知正中依题知正中央的矩形两边之比也为央的矩形
32、两边之比也为9:7解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得依题意得21274379 xx解得解得 2331x),(2332舍去不合题意x故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:8.143275422339272927 x4.143214222337212721 x 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一一,上、下边衬等
33、宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,正中央的正中央的矩形两边之比也为矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm依题意得依题意得212743)1421)(1827(xx解方程得解方程得4336x(以下同学们自己完成以下同学们自己完成)方程的哪个根合方程的哪个根合乎实际意义乎实际意义?为什么为什么?例例1.学校为了美化校
34、园环境，在一块长学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽米、宽20米米的长方形空地上计划新建一块长的长方形空地上计划新建一块长9米、宽米、宽7米的长方形米的长方形花圃花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案请你给出你认为合适的三种不同的方案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出
35、平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.解解:(1)方案方案1：长为：长为 米，宽为米，宽为7米米;719方案方案2：长为：长为16米，宽为米，宽为4米米;方案方案3：长：长=宽宽=8米米;注：本题方案有无数种注：本题方案有无数种（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加圃面积不能增加2平方米平方米.由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为16米米.设长方形花圃设长方形花圃的长为的长为x米，则宽为（米，则宽为（16-x）米）米.x(16-x)=63+2，x2-16
36、x+65=0，046514)16(422acb此方程无解此方程无解.在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加增加2平方米平方米1 1、用、用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形,若能够若能够,求它的长与宽求它的长与宽;若不能若不能,请说明请说明理由理由.解解:设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,则宽为则宽为 cm,)220(x30)220(xx即即x2-10 x+30=0这里这里a=1,b=10,c=30,0203014)10(422acb此方程无解此方程无解.用用20cm长的铁丝不能折成
37、面积为长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形的矩形.例例2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在现在有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分求图中道路的宽分别是多少别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2.(1)(2)(1)解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米
38、，则米，则540)220)(232(xx化简得，化简得，025262xx0)1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)中道路的宽为中道路的宽为1米米.则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面是矩形面积减去道路面积等于积等于540540米米2 2。解法一、解法一、如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x
39、2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是32 20(3220)540 xx？图中的道路面积不是图中的道路面积不是3220 xx米米2 2。(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是23220 xxx米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去.取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100(米米2)草坪面积草坪面积=32 20 100=540（米（米2）答：所求道路的
40、宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。122,50 xx解法二：解法二：我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）(2)(2)横向路面横向路面 ，如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，32x32x米米2 2纵向路面面积为纵向路面面积为 。20 x20 x米米2 2草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向）草坪矩形的宽
41、（纵向）。相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即3220540.xx化简得：化简得：212521000,50,2xxxx再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同。相同。1.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多
42、少米道路宽为多少米?解解:设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则570)220)(232(xx化简得，化简得，035362xx0)1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外四周外围环绕着宽度相等的小路围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解:设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则2015246)215)(220(xx化简得，化简得，01233522xx0)412)(
43、3(xx241,(321xx舍去）答答:小路的宽为小路的宽为3米米.例例3.如图，有长为如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度最大可用长度a为为10米），围成中间隔有一道篱笆的米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽长方形花圃。设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S米米2，（1）求）求S与与x的函数关系式的函数关系式;（2）如果要围成面积为）如果要围成面积为45米米2的花圃，的花圃，AB的长是多少米？的长是多少米？【解析解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积
44、S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由条件由条件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得14/3x14/3x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽ABAB为为5 5米米1.如图，用长为如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m2,应该应该怎么设计怎么设计?
45、解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则81)18(xx化简得，化简得，081182xx0)9(2 x答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的正方形.921xx 例例4某林场计划修一条长某林场计划修一条长750m，断面为，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上上口宽比渠深多口宽比渠深多2m，渠底比渠深多，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土）如果计划每天挖土48m3，需要多，需要多少天才能把这条渠道挖完？少天才能把这条渠道挖完？分析：分析：因为渠深最小，为了便于计
46、算，不妨因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为设渠深为xm，则上口宽为，则上口宽为x+2，渠底为渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建，那么，根据梯形的面积公式便可建模模解：（解：（1）设渠深为）设渠深为xm 则渠底为（则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（，上口宽为（x+2）m依题意，得：依题意，得：6.1)4.02(21xxx整理，得：整理，得：5x2+6x-8=0 解得：解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意（不合题意,舍去）舍去）上口宽为上口宽为2.8m，渠底为，渠底为1.2m（天）25487501.6(2)答：渠道的上口宽与渠底深各是答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m
47、和和1.2m；需要需要25天才能挖完渠道天才能挖完渠道1.如图，宽为如图，宽为50cm的矩形图案由的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为则每个小长方形的面积为【】A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm22.在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为xcm，那么，那么x满足的方程是满足的方程是【】Ax2+130
48、x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=03.如图，面积为如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为的正方形的四个角是面积为2m2的小的小正方形，用计算器求得正方形，用计算器求得a的长为（保留的长为（保留3个有效数字）个有效数字）【】A2.70m B2.66m C2.65m D2.60m80cmxxxx50cmaABC4如图，是长方形鸡场平面示意图，一边如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为长为35m，所围的面积为，所围的面积为150m2，则此长方，则此长
49、方形鸡场的长、宽分别为形鸡场的长、宽分别为_5 5、围绕长方形公园的栅栏长、围绕长方形公园的栅栏长280m.280m.已知已知该公园的面积为该公园的面积为4800m4800m2 2.求这个公园的长求这个公园的长与宽与宽.280248002xx 这里要特别注意:在列一元二次方在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求是否符合实际问题的要求 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答即审、设、列、解、检、答小结小结
