1、数列前n项和的求法 求数列前n项和是数列的重要内容，也是一个难点。求等差（等比）数列的前n项和，主要是应用公式。对于一些既不是等差也不是等比的数列，就不能直接套用公式，而应根据它们的特点，对其进行变形、转化，利用化归的思想，来寻找解题途径。一、拆项转化法例 1 已 知 数 列 中，且（，,且t为常数），求 na3ntannNn0tnS例1已知数列 中，且 （，,且t为常数），求 na3ntannNn0tnS解：当t=1时，当 时，2)3(2)3(2nnnnnSn1t2)5(1)1(nntttSnn分析：观察数列的通项公式，数列 可以“分解”为一个公比为t的等比数列 和一个公差为1的等差数列 ，
2、因此，只要分别求出这两个数列的前n项之和，再把它们相加就可得 。注意等比数列前n项和公式对公比q的要求，可得如下解法:nant3 nnS总结：拆项转化常用于通项 是多项式的情况。这时，可把通项 拆成两个（或多个）基本数列的通项，再求和。有时也应用自然数的方幂和公式求 ，常用的有：nananS)12)(1(6112nnnknk2213)1(41nnknk2)1(1nnknk例2、求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，1+2+3+n，的前n项和Sn。解:该数列通项nnnan21213212令 ，则221nbnncn21nnncba数列 的前n项和nb)21(21222nSN)12)(1(1
3、21nnn数列 的前n项和nc)1(41)21(21nnnSn)2)(1(61nnnSSSnnn二、裂项相消法 常用的消项变换有：111)1(1nnnnan)121121(21)12)(12(1nnnnan)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan!)!1(!nnnnan)1()1()2)(1(31)1(nnnnnnnnan:nnnnan111:二、裂项相消法 常用的消项变换有：:)2)(1(nnnan)2)(1()1()3)(2)(1(41nnnnnnnn例3、求)2)(1(432321nnnSn解：由上面 知：)43215432()32104321(41nS)3)(2)(1
4、(41nnnn)2)(1()1()3)(2)(1(nnnnnnnn例4、求 3441451211512nnSn解：其“通项”)32)(12(134412nnnnan)321121(41nn )121321()9151()7131()511(41nnSn)321121(nn)32)(12(3)54()321121311(41nnnnnn三、倒序相加法 课本等差数列前n项和公式 就是用倒序相加法推导的。nS例5、已知数列 是首项为1，公差为2的等差数列，求na1322110nnnnnnnaCaCaCaCS分析：注意到 且当m+n=p+q时，有：（等差数列的性质）knnknCCqpnmaaaa解：，
5、又1322110nnnnnnnaCaCaCaCS101211aCaCaCaCSnnnnnnnnnnn两式相加得：nnnnnnnnaaCCCaaS2)()(2111011nnnnnnnaaS2)1(2)22(2)(1111四、错位相消法 课本推导等比数列前n项和公式的方法。利用 可求两类数列的和，其通项分别是：nnqSS （）（）分母是等比数列分子是等差数列字母是等比数列系数是等差数列例6、求数列 的前n项和,212,43,21nn 解：(1)nnnS212167854321 (2)1212232165834121nnnnnS (1)(2)，得 12122216282422121nnnnSnnn
6、nnnS232321221412122五、并项法例7，已知数列 的通项 ，求数列前2n项和na21)1(nannnS2解：2222222)2()12(4321nnSn令 14)2()12(22212nnnaabnnn 是首项为-3，公差为-4的等差数列nb)12(141173212nnnbbbSnn评注：用并项法把相邻的一正一负两项并作一项，从而使通项降次，得以转化为等差数列求解。六、逐差求和法（又叫加减法，迭加法）当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用迭加法进行消元 例8，求数列 ：1，3，7，13，21，31，的 和na解：1212aa2223aa3234aa4245aa121naann132121naannans两边相加得：例8，求数列 ：1，3，7，13，21，31，的 和na1212aa2223aa3234aa4245aa121naann132121naannans两边相加得：故 1122nnnnan取n=1，2，3，n，相加得：)2(31)321()321(22222nnnnnSn
