1、第1章 二 次 函 数1.1二 次 函 数【知识再现知识再现】一次函数表达式为一次函数表达式为y=_(k0),y=_(k0),反比例函数表达式为反比例函数表达式为y=_(k0).y=_(k0).kx+bkx+bkx【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P2-3,P2-3,解决下列问题解决下列问题:(1)(1)正方形的边长为正方形的边长为x,x,则其面积则其面积y=_.y=_.(2)(2)半径为半径为x x的圆与面积为的圆与面积为5 5的长方形的面积和的长方形的面积和y=_.y=_.x x2 2xx2 2+5+5(3)(3)心理学家发现心理学家发现:学生对概念的接受能力学生对概念的接受能力y y与
2、提出概念与提出概念的时间的时间x(x(分分)之间有如下关系之间有如下关系:y=-0.1x:y=-0.1x2 2+2.6x+43+2.6x+43(0 x30).(0 x30).观察可以发现观察可以发现:上述的关系式中上述的关系式中_为自变量为自变量,且自且自变量的最高次数都是变量的最高次数都是_,_,含含x x2 2的系数不为的系数不为0,0,对于对于x x的每一个取值的每一个取值,y,y都有唯一确定的值与它对应都有唯一确定的值与它对应,即即y y是是x x的函数的函数.x x2 21.1.二次函数定义二次函数定义:如果函数的表达式是自变量的如果函数的表达式是自变量的_多项式多项式,那么这样的函
3、数称为二次函数那么这样的函数称为二次函数.2.2.一般形式一般形式:_(a,b,c:_(a,b,c是常数是常数,a0).,a0).其中其中x x是自变量是自变量,a,b,c,a,b,c分别是函数表达式的分别是函数表达式的_系数、系数、_系数和系数和_._.二次二次y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c二次项二次项一次项一次项常数项常数项【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧!1.1.下列函数中下列函数中,属于二次函数的是属于二次函数的是()C CA.y=2x+1A.y=2x+1B.y=(x-1)B.y=(x-1)2 2-x-x2 2C.y=2xC.y=2x
4、2 2-7-7D.y=D.y=21x2.2.如果函数如果函数y=kxy=kx2 2+kx+1+kx+1是二次函数是二次函数,则则k k的取值范围的取值范围是是_._.3.3.已知二次函数已知二次函数y=1-3x+2xy=1-3x+2x2 2,则二次项系数则二次项系数a=_,a=_,一次项系数一次项系数b=_,b=_,常数项常数项c=_.c=_.4.4.一个圆柱的高为一个圆柱的高为5,5,设底面圆的半径为设底面圆的半径为r,r,则圆柱的则圆柱的体积体积V=_,V=_,其中自变量是其中自变量是_._.k0k02 2-3-31 15r5r2 2r r知识点一知识点一 二次函数二次函数(P3(P3二次
5、函数概念拓展二次函数概念拓展)【典例典例1 1】已知已知y=(k-1)+2x-1y=(k-1)+2x-1是二次函数是二次函数.(1)(1)求求k k值值.(2)(2)求当求当x=0.5x=0.5时时y y的值的值.2k3k 4【思路点拨思路点拨】由二次函数的定义知由二次函数的定义知x x的最高次数为的最高次数为2 2且且二次项系数不为二次项系数不为0,0,可求得可求得k k值值,进而求出二次函数的表进而求出二次函数的表达式达式,将将x=0.5x=0.5代入表达式即可求出对应的代入表达式即可求出对应的y y值值.【自主解答自主解答】(1)(1)由题意得由题意得:k k2 2-3k+4=2,-3k
6、+4=2,且且k-10,k-10,解得解得:k=2.:k=2.(2)(2)把把k=2k=2代入代入y=(k-1)+2x-1y=(k-1)+2x-1得得:y=x:y=x2 2+2x-1,+2x-1,当当x=0.5x=0.5时时,y=.,y=.2k3k 414【学霸提醒学霸提醒】判断一个函数是否是二次函数的判断一个函数是否是二次函数的“三步法三步法”【题组训练题组训练】1.(1.(概念应用题概念应用题)下列函数表达式中下列函数表达式中,一定为二次一定为二次函数的是函数的是()A.y=3x-1A.y=3x-1B.y=axB.y=ax2 2+bx+c+bx+cC.s=2tC.s=2t2 2-2t+1-
7、2t+1D.y=xD.y=x2 2+C C1x2.2.对于二次函数对于二次函数y=-xy=-x2 2-1-1的二次项系数的二次项系数a,a,一次项一次项系数系数b,b,常数项常数项c c描述正确的是描述正确的是 ()A.a=-1,b=-1,c=0A.a=-1,b=-1,c=0B.a=-1,b=0,c=1B.a=-1,b=0,c=1C.a=-1,b=0,c=-1C.a=-1,b=0,c=-1D.a=1,b=0,c=-1D.a=1,b=0,c=-1C C3.3.已知函数已知函数y=(my=(m2 2-m)x-m)x2 2+(m-1)x+m+1.+(m-1)x+m+1.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(
8、1)(1)若这个函数是一次函数若这个函数是一次函数,求求m m的值的值.(2)(2)若这个函数是二次函数若这个函数是二次函数,则则m m的值应怎样的值应怎样?解解:(1)(1)依题意得依题意得 m=0m=0时时,这个函数是一次函数这个函数是一次函数.(2)(2)依题意得依题意得m m2 2-m0,-m0,解得解得m0m0且且m1,m1,m0m0且且m1m1时时,这个函数是二次函数这个函数是二次函数.2mm0m 10，m0m1m1或，知识点二知识点二 列二次函数表达式列二次函数表达式(P3(P3例题拓展例题拓展)【典例典例2 2】一个正方形的边长是一个正方形的边长是12 cm,12 cm,若从中
9、挖去一个若从中挖去一个长为长为2x cm,2x cm,宽为宽为(x+1)cm(x+1)cm的小长方形的小长方形,剩余部分的面积剩余部分的面积为为y cmy cm2 2.(1)(1)写出写出y y与与x x之间的函数表达式之间的函数表达式,并指出并指出y y是是x x的什么的什么函数函数?(2)(2)当当x x的值为的值为2 2或或4 4时时,相应的剩余部分的面积是多少相应的剩余部分的面积是多少?【规范解答规范解答】(1)(1)根据题意得根据题意得:y=12:y=122 2-2x(x+1),-2x(x+1),剩余面积等于大正方形的面积减去小长方形的面积剩余面积等于大正方形的面积减去小长方形的面积
10、又又2x12,2x12,0 x6,0 x6,解一元一次不等式解一元一次不等式即即y=-2xy=-2x2 2-2x+144(0 x6),-2x+144(0 x6),整式的化简整式的化简y y是是x x的二次函数的二次函数.二次函数的定义二次函数的定义(2)(2)当当x=2x=2时时,y=-2,y=-22 22 2-2-22+144=132,2+144=132,代入函数表达式求值代入函数表达式求值当当x=4x=4时时,y=-2,y=-24 42 2-2-24+144=104,4+144=104,代入函数表达式求值代入函数表达式求值当当x=2x=2或或4 4时时,相应的剩余部分的面积分别为相应的剩余
11、部分的面积分别为132 cm132 cm2 2或或104 cm104 cm2 2.【学霸提醒学霸提醒】在实际问题中确定二次函数表达式的一般步骤在实际问题中确定二次函数表达式的一般步骤1.1.审审:审清题意审清题意,分清实际问题中的已知量分清实际问题中的已知量(常量常量)和未和未知量知量(变量变量).).2.2.找找:找出题目中的等量关系找出题目中的等量关系.3.3.列式列式:根据等量关系列出等式根据等量关系列出等式,整理变形化成一般形整理变形化成一般形式式.【题组训练题组训练】1.1.在圆的面积公式在圆的面积公式S=rS=r2 2中中,S,S与与r r的关系是的关系是()A.A.一次函数关系一
12、次函数关系B.B.正比例函数关系正比例函数关系C.C.二次函数关系二次函数关系D.D.不是函数关系不是函数关系C C2.(2.(生活情境题生活情境题)某农产品市场经销一种销售成本为某农产品市场经销一种销售成本为4040元的水产品元的水产品.据市场分析据市场分析,若按每千克若按每千克5050元销售元销售,一个一个月能售出月能售出500500千克千克;销售单价每涨一元销售单价每涨一元,月销售量就减少月销售量就减少1010千克千克.设销售单价为每千克设销售单价为每千克x x元元,月销售利润为月销售利润为y y元元,则则y y与与x x的函数表达式为的函数表达式为()C CA.y=(x-40)(500
13、-10 x)A.y=(x-40)(500-10 x)B.y=(x-40)(10 x-500)B.y=(x-40)(10 x-500)C.y=(x-40)500-10(x-50)C.y=(x-40)500-10(x-50)D.y=(x-40)500-10(50-x)D.y=(x-40)500-10(50-x)3.(20193.(2019康巴什期中康巴什期中)如图如图,在在RtRtABOABO中中,ABOB,ABOB,且且AB=OB=3,AB=OB=3,设直线设直线x=tx=t截此三角形所得的阴影部分的面截此三角形所得的阴影部分的面积为积为S,S,求求S S与与t t之间的函数表达式之间的函数表达
14、式.世纪金榜导学号世纪金榜导学号解解:如题图所示如题图所示,在在RtRtAOBAOB中中,ABOB,ABOB,且且AB=OB=3,AB=OB=3,AOB=A=45AOB=A=45,CDOB,CDOB,CDAB,CDAB,OCD=A,OCD=A,AOD=OCD=45AOD=OCD=45,OD=CD=t,OD=CD=t,SSOCDOCD=ODODCDCD=t=t2 2(0t3),(0t3),即即S=tS=t2 2(0t3).(0t3).121212【火眼金睛火眼金睛】当当m m为何值时为何值时,y=(m+1)y=(m+1)是关于是关于x x的二次函数的二次函数?2m3m 2x正解正解:根据题意根据
15、题意,得得 解得解得m=4,m=4,即即m=4m=4时时,函数是关于函数是关于x x的二次函数的二次函数.2m3m22,m10，【一题多变一题多变】如图如图,在在ABCABC中中,B=90,B=90,AB=12,BC=24,AB=12,BC=24,动点动点P P从点从点A A开始沿边开始沿边ABAB向终点向终点B B以每秒以每秒2 2个单位长度的速度移动个单位长度的速度移动,动动点点Q Q从点从点B B开始沿边开始沿边BCBC以每秒以每秒4 4个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点C C移动移动,如果点如果点P,QP,Q分别从点分别从点A,BA,B同时出发同时出发,那么那么PBQPBQ的
16、的面积面积S S随出发时间随出发时间t(s)t(s)如何变化如何变化?写出函数表达式及写出函数表达式及t t的的取值范围取值范围.解解:PBQPBQ的面积的面积S S随出发时间随出发时间t(s)t(s)成二次函数关系变化成二次函数关系变化.在在ABCABC中中,B=90,B=90,AB=12,BC=24,AB=12,BC=24,动点动点P P从点从点A A开始开始沿边沿边ABAB向终点向终点B B以每秒以每秒2 2个单位长度的速度移动个单位长度的速度移动,动点动点Q Q从点从点B B开始沿边开始沿边BCBC以每秒以每秒4 4个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点C C移移动动,BP=12
17、-2t,BQ=4t,BP=12-2t,BQ=4t,PBQPBQ的面积的面积S S随出发时间随出发时间t(s)t(s)的表达式为的表达式为S=(12-2t)S=(12-2t)4t=-4t4t=-4t2 2+24t(0t6).+24t(0t6).12【母题变式母题变式】【变式一变式一】如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,点点D D在在BCBC上上,DEAC,DEAC,交交ABAB于点于点E,E,点点F F在在ACAC上上,DC=DF,DC=DF,若若BC=3,EB=4,CD=x,CF=y,BC=3,EB=4,CD=x,CF=y,求求y y与与x x之间的函数表达式之间的函数表达
18、式,并写出自变量并写出自变量x x的取值范围的取值范围.解解:AB=AC,DC=DF,AB=AC,DC=DF,B=C=DFC,B=C=DFC,又又DEAC,DEAC,BDE=C,BDE=C,BDEBDEFCD,FCD,DBBEFCFD，y=x(3-x)=-xy=x(3-x)=-x2 2+x,+x,自变量自变量x x的取值范围是的取值范围是0 x3.0 x3.3x4yx，141434【变式二变式二】如图所示如图所示,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=6,AB=6厘米厘米,BC=12,BC=12厘米厘米,点点P P在线段在线段ABAB上上,P,P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边以边以1
19、1厘米厘米/秒的秒的速度向点速度向点B B移动移动,点点E E为线段为线段BCBC的中点的中点,点点Q Q从点从点E E开始开始,沿沿ECEC以以1 1厘米厘米/秒的速度向点秒的速度向点C C移动移动,如果点如果点P,QP,Q分别从点分别从点A,EA,E同时出发同时出发,写出写出BPQBPQ的面积的面积S S与出发时间与出发时间t t之间的函之间的函数表达式数表达式,求出求出t t的取值范围的取值范围.解解:PB=6-t,BQ=BE+EQ=6+t,PB=6-t,BQ=BE+EQ=6+t,S=PBS=PBBQ=PBBQ=PB(BE+EQ)(BE+EQ)=(6-t)(6+t)=(6-t)(6+t)
20、=-t=-t2 2+18.+18.S=-tS=-t2 2+18(0t6).+18(0t0a0时时,抛物线抛物线y=axy=ax2 2开口开口_;_;当当a0a0a0时时,顶点是抛物线的最顶点是抛物线的最_点点;当当a0a0.a0.当当x0 x0时时,y,y随随x x的增大而的增大而_,_,简称简称:右升右升;当当x0 x0时时,y,y随随x x的增大而的增大而_,_,简称简称:左降左降.a0.a0 x0时时,y,y随随x x的增大而的增大而_,_,简称简称:右降右降;当当x0 x0.a0.当当x=0 x=0时时,函数值最小函数值最小,最小值为最小值为_._.a0.a1x1时时,函数值函数值y
21、y随自变量随自变量x x的增大而增大的增大而增大”的是的是()A.A.B.B.C.C.D.D.B B3x【思路点拨思路点拨】为一次函数为一次函数,为反比例函数为反比例函数,为为二次函数二次函数,根据各个函数的图象与性质进行判断根据各个函数的图象与性质进行判断.【学霸提醒学霸提醒】二次函数二次函数y=axy=ax2 2的的“两关系四对等两关系四对等”1.a01.a0开口向上开口向上有最小值有最小值x0yxx0yx.时，随 的增大而增大，时，随 的增大而减小2.a02.a0开口向下开口向下有最大值有最大值x0yxx0yx.时，随 的增大而减小，时，随 的增大而增大【题组训练题组训练】1.1.对于函
22、数对于函数y=5xy=5x2 2,下列结论正确的是下列结论正确的是()A.yA.y随随x x的增大而增大的增大而增大B.B.图象开口向下图象开口向下C.C.图象关于图象关于y y轴对称轴对称D.D.无论无论x x取何值取何值,y,y的值总是正的的值总是正的C C2.2.在抛物线在抛物线y=-xy=-x2 2上上,当当y0y0A.x0B.x0B.x0 x0时时,y,y随随x x的增大而的增大而_(_(填填“增大增大”或或“减小减小”).).12C C增大增大4.4.通过列表、描点、连线的方法画函数通过列表、描点、连线的方法画函数y=-xy=-x2 2的图的图象象.世纪金榜导学号世纪金榜导学号解解
23、:列表得列表得:x x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3y y-9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9描点描点,连线连线.知识点二知识点二 二次函数二次函数y=axy=ax2 2(a0)(a0)的图象与性质的应用的图象与性质的应用(P10(P10练习练习T1T1拓展拓展)【典例典例2 2】(2019(2019开封顺河区月考开封顺河区月考)如图如图,正方形的正方形的边长为边长为4,4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数作出函数y=2xy=2x2 2与与y=-2xy=-2x2 2的图象的图象,则阴影部分的面积则阴影部分的面
24、积是是_._.8 8【思路点拨思路点拨】利用图象的对称性利用图象的对称性,将不规则的阴影部分将不规则的阴影部分割补成规则图形割补成规则图形,进而求出面积进而求出面积.【学霸提醒学霸提醒】利用二次函数图象解题的两种思想利用二次函数图象解题的两种思想(1)(1)数形结合的思想数形结合的思想.(2)(2)转化的思想转化的思想,能把实际问题转化为数学问题能把实际问题转化为数学问题.【题组训练题组训练】1.1.若二次函数若二次函数y=2xy=2x2 2的图象经过点的图象经过点A(1,a),A(1,a),则则a a的值的值为为()A.A.B.1B.1C.2C.2D.4D.4C C572.2.如图如图,四个
25、二次函数图象中四个二次函数图象中,分别对应分别对应:y=axy=ax2 2;y=bxy=bx2 2;y=cxy=cx2 2;y=dxy=dx2 2,则则a,b,c,da,b,c,d的大小关系的大小关系为为世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.abcdA.abcd B.abdcB.abdcC.bacdC.bacd D.badcD.badcA A3.3.如图如图,点点P P是二次函数是二次函数y=xy=x2 2图象上第一象限内的图象上第一象限内的一个点一个点,点点A A的坐标为的坐标为(3,0).(3,0).世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)令点令点P P的坐标为的坐标为(x,y),(x,y)
26、,求求OPAOPA的面积的面积S S与与y y的关系式的关系式.(2)S(2)S是是y y的什么函数的什么函数?S?S是是x x的什么函数的什么函数?略略【火眼金睛火眼金睛】已知抛物线已知抛物线y=(a+2)y=(a+2)开口向下开口向下,求求a a的值的值.2a2a 1x正解正解:函数函数y=(a+2)y=(a+2)的图象是抛物线的图象是抛物线,aa2 2+2a-1=2,+2a-1=2,解得解得a=-3a=-3或或a=1.a=1.又又抛物线开口向下抛物线开口向下,a=-3.,a=-3.2a2a 1x【一题多解一题多解】已知点已知点(-3,y(-3,y1 1),(1,y),(1,y2 2),(
27、,y),(,y3 3)都在函数都在函数y=xy=x2 2的图象的图象上上,则则y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小关系是的大小关系是.2解解:方法一方法一:把把x=-3,1,x=-3,1,分别代入分别代入y=xy=x2 2中中,得得y y1 1=9,y=9,y2 2=1,y=1,y3 3=2,=2,则则y y1 1yy3 3yy2 2;2方法二方法二:如图如图,作出函数作出函数y=xy=x2 2的图象的图象,把各点依次在函数把各点依次在函数图象上标出图象上标出.由图象可知由图象可知y y1 1yy3 3yy2 2;方法三方法三:略略【核心点拨核心点拨】比较二次函数中函数值的大小有三种
28、方比较二次函数中函数值的大小有三种方法法:直接把自变量的值代入表达式中直接把自变量的值代入表达式中,求出对应函数求出对应函数值进行比较值进行比较;图象法图象法;根据函数的增减性进行比较根据函数的增减性进行比较,当要比较的几个点在对称轴的两侧时当要比较的几个点在对称轴的两侧时,可根据抛物线的可根据抛物线的对称性找出某个点的对称点对称性找出某个点的对称点,转化到同侧后转化到同侧后,再利用增再利用增减性进行比较减性进行比较.1.2二次函数的图象与性质第2课时【知识再现知识再现】二次函数二次函数y=axy=ax2 2(a0)(a0)的图象是一条的图象是一条_,_,当当a0a0时时,抛物线抛物线y=ax
29、y=ax2 2开口开口_;_;当当a0a0h0时时,抛物线抛物线y=axy=ax2 2向向_平移平移h h个单位个单位,得到得到y=a(x-h)y=a(x-h)2 2;当当h0h0a0时时,抛物线开口抛物线开口_,_,在对称轴左侧在对称轴左侧,y y随随x x的增大而的增大而_;_;在对称轴右侧在对称轴右侧,y,y随随x x的增大的增大而而_;_;当当x=hx=h时时,函数值最小函数值最小,最小值为最小值为_._.向上向上减小减小增大增大0 0当当a0a0时时,抛物线开口抛物线开口_,_,在对称轴左侧在对称轴左侧,y y随随x x的增大而的增大而_;_;在对称轴右侧在对称轴右侧,y,y随随x
30、x的的增大而增大而_._.当当x=hx=h时时,函数值最大函数值最大,最大值为最大值为_._.向下向下增大增大减小减小0 0【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧!1.1.抛物线抛物线y=-3(x+6)y=-3(x+6)2 2的对称轴是直线的对称轴是直线 ()A.y=-6A.y=-6 B.y=6B.y=6C.x=-6C.x=-6D.x=6D.x=6C C2.2.已知抛物线的表达式为已知抛物线的表达式为y=5(x-2)y=5(x-2)2 2,则抛物线的则抛物线的顶点坐标是顶点坐标是()A.(-2,0)A.(-2,0)B.(2,0)B.(2,0)C.(-2,5)C
31、.(-2,5)D.(2,5)D.(2,5)B B3.3.如果将抛物线如果将抛物线y=xy=x2 2向右平移向右平移1 1个单位个单位,那么所得的抛那么所得的抛物线的表达式是物线的表达式是()A.y=xA.y=x2 2-1-1B.y=xB.y=x2 2+1+1C.y=(x-1)C.y=(x-1)2 2D.y=(x+1)D.y=(x+1)2 2C C4.4.如果二次函数如果二次函数y=a(x+3)y=a(x+3)2 2有最大值有最大值,那么那么a_0,a_0,当当x=_x=_时时,函数的最大值是函数的最大值是_._.0,(2)a=0,已知已知在对称轴左侧在对称轴左侧,即当即当x-2x-2时时,y,
32、y随随x x的增大而减小的增大而减小,二次函数的图象的性质二次函数的图象的性质-5-3,-5yy2 2.y y随随x x的增大而减小的增大而减小12【学霸提醒学霸提醒】利用二次函数性质比较大小的技巧利用二次函数性质比较大小的技巧1.1.抛物线抛物线y=a(x-h)y=a(x-h)2 2是轴对称图形是轴对称图形,对称轴是直线对称轴是直线x=h.x=h.2.2.当当a0a0时时,点到对称轴的距离越近点到对称轴的距离越近,y,y值越小值越小;点到对称点到对称轴的距离越远轴的距离越远,y,y值越大值越大.3.3.当当a0a0,(h0,向右平移向右平移,h0,h0h0时时,向右平移向右平移_个单位个单位
33、,当当h0h0a0 x=_x=_ _y y随随x x的增大的增大而而_ _ y y随随x x的增大的增大而而_a0axx2 21,1,则则y y1 1_y_y2 2(填填“”“=”“=”或或“”).知识点一知识点一 二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的图象与性质的图象与性质(P15(P15练练习习T1T1拓展拓展)【典例典例1 1】(2019(2019济南一模济南一模)已知二次函数已知二次函数y=(x-h)y=(x-h)2 2+1(h+1(h为常数为常数),),在自变量在自变量x x的值满足的值满足1x31x3的情况下的情况下,与其对应的函数值与其对应的函数值y y
34、的最小值为的最小值为10,10,则则h h的值为的值为()D DA.-2A.-2或或4 4B.0B.0或或6 6C.1C.1或或3 3D.-2D.-2或或6 6【思路点拨思路点拨】分类讨论分类讨论h h的取值的取值,看其是否在自变量取看其是否在自变量取值范围内值范围内,若在若在,则则x=hx=h时时,y,y取得最小值取得最小值;若不在若不在,看自变看自变量量x x的取值在的取值在x=hx=h的左侧还是右侧的左侧还是右侧,根据增减性分情况讨根据增减性分情况讨论论.【学霸提醒学霸提醒】二次函数的最值二次函数的最值二次函数的最值指的是抛物线的最高二次函数的最值指的是抛物线的最高(低低)点所对应的点所
35、对应的函数值函数值.(1)(1)当抛物线开口向上时当抛物线开口向上时,抛物线有最低点抛物线有最低点,此时函数有此时函数有最小值最小值,最小值为顶点的纵坐标的值最小值为顶点的纵坐标的值.(2)(2)当抛物线开口向下时当抛物线开口向下时,抛物线有最高点抛物线有最高点,此时函数有此时函数有最大值最大值,最大值为顶点的纵坐标的值最大值为顶点的纵坐标的值.【题组训练题组训练】1.(20191.(2019保山施甸模拟保山施甸模拟)把抛物线把抛物线y=2xy=2x2 2向下平移向下平移1 1个单位个单位,再向左平移再向左平移2 2个单位个单位,得到的抛物线是得到的抛物线是世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.
36、y=2(x+2)A.y=2(x+2)2 2-1-1B.y=2(x-1)B.y=2(x-1)2 2+2+2C.y=2(x+1)C.y=2(x+1)2 2-2-2D.y=2(x-2)D.y=2(x-2)2 2-1-1A A2.(20192.(2019宁波期中宁波期中)二次函数二次函数y=a(x-m)y=a(x-m)2 2-n-n的图象的图象如图如图,则一次函数则一次函数y=mx+ny=mx+n的图象经过的图象经过()A.A.第一、二、三象限第一、二、三象限B.B.第一、二、四象限第一、二、四象限C.C.第二、三、四象限第二、三、四象限D.D.第一、三、四象限第一、三、四象限A A3.3.已知二次函
37、数已知二次函数y=(x-1)y=(x-1)2 2-1(0 x3)-1(0 x3)的图象的图象,如图如图所示所示,关于该函数在所给自变量取值范围内关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法下列说法正确的是正确的是()A.A.有最小值有最小值0,0,有最大值有最大值3 3B.B.有最小值有最小值-1,-1,有最大值有最大值0 0C.C.有最小值有最小值-1,-1,有最大值有最大值3 3D.D.有最小值有最小值-1,-1,无最大值无最大值C C4.4.已知已知y=(x-3)y=(x-3)2 2-2-2的部分图象如图所示的部分图象如图所示,抛物抛物线与线与x x轴交点的一个坐标是轴交点的一个坐标是(1
38、,0),(1,0),则另一个交点的坐则另一个交点的坐标是标是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(5,0)(5,0)12知识点二知识点二 求二次函数求二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的表达式的表达式(P15(P15例例5 5拓拓展展)【典例典例2 2】如图如图,直线直线y=-x-2y=-x-2交交x x轴于点轴于点A,A,交交y y轴于点轴于点B,B,抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的顶点为的顶点为A,A,且经过点且经过点B.B.(1)(1)求该抛物线的表达式求该抛物线的表达式.(2)(2)若点若点C(m,-)C(m,-)在抛物线上在抛物线上,求求m
39、 m的值的值.92【规范解答规范解答】(1)(1)由直线由直线y=-x-2,y=-x-2,令令x=0,x=0,则则y=-2.y=-2.点点B B的坐标为的坐标为(0,-2).(0,-2).求直线与求直线与y y轴的交点轴的交点令令y=0,y=0,则则x=-2,x=-2,点点A A坐标为坐标为(-2,0).(-2,0).求直线与求直线与x x轴的交点轴的交点设抛物线表达式为设抛物线表达式为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k.+k.抛物线顶点为抛物线顶点为A,A,且经过点且经过点B,B,y=a(x+2)y=a(x+2)2 2.将点将点A A代入表达式代入表达式将将B B点坐标代入点坐标代入
40、,得得-2=4a,-2=4a,将点将点B B的坐标代入表达式的坐标代入表达式解得解得a=-.a=-.解一元一次方程解一元一次方程抛物线表达式为抛物线表达式为y=-(x+2)y=-(x+2)2 2,即即y=-xy=-x2 2-2x-2.-2x-2.得出结论得出结论121212(2)(2)点点C(m,-)C(m,-)在抛物线在抛物线y=-(x+2)y=-(x+2)2 2上上,已知已知-(m+2)-(m+2)2 2=-,=-,将点坐标代入表达式将点坐标代入表达式解得解得m m1 1=1,m=1,m2 2=-5.=-5.解一元二次方程解一元二次方程m=1m=1或或-5.-5.得出结论得出结论92121
41、292【学霸提醒学霸提醒】系数与抛物线系数与抛物线y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的关系的关系a a决定开口方向决定开口方向;|a|;|a|决定开口大小决定开口大小;h;h决定对称轴决定对称轴;k;k决定决定最大最大(小小)值的数值值的数值.【题组训练题组训练】1.(20191.(2019衢州中考衢州中考)二次函数二次函数y=(x-1)y=(x-1)2 2+3+3图象的图象的顶点坐标是顶点坐标是()A.(1,3)A.(1,3)B.(1,-3)B.(1,-3)C.(-1,3)C.(-1,3)D.(-1,-3)D.(-1,-3)A A2.2.下列二次函数中下列二次函数中,图象以直线图
42、象以直线x=2x=2为对称轴、为对称轴、且经过点且经过点(0,1)(0,1)的是的是世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.y=(x-2)A.y=(x-2)2 2+1+1B.y=(x+2)B.y=(x+2)2 2+1+1C.y=(x-2)C.y=(x-2)2 2-3-3D.y=(x+2)D.y=(x+2)2 2-3-3C C3.3.一抛物线和抛物线一抛物线和抛物线y=-2xy=-2x2 2的形状、开口方向的形状、开口方向完全相同完全相同,顶点坐标是顶点坐标是(-1,3),(-1,3),则该抛物线的表达式则该抛物线的表达式为为_._.y=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2+3+34.4.已知二次
43、函数图象的顶点是已知二次函数图象的顶点是M(1,-9),M(1,-9),且经过点且经过点(-1,-5).(-1,-5).世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)求这个二次函数的表达式求这个二次函数的表达式.(2)(2)画出它的图象画出它的图象,并求出它的图象与并求出它的图象与x x轴正半轴的交点轴正半轴的交点A A的坐标的坐标,与与y y轴的交点轴的交点B B的坐标的坐标.(3)(3)如果点如果点O O是原点是原点,求四边形求四边形AOBMAOBM的面积的面积.解解:(1)(1)顶点坐标为顶点坐标为(1,-9),(1,-9),可设二次函数的表达式为可设二次函数的表达式为y=a(x-1)y=a(
44、x-1)2 2-9,-9,把点把点(-1,-5)(-1,-5)代入可求得代入可求得a=1,a=1,二次函数的表达式为二次函数的表达式为y=(x-1)y=(x-1)2 2-9.-9.(2)(2)令令y=0y=0可得可得(x-1)(x-1)2 2-9=0,-9=0,解得解得x=4x=4或或x=-2,x=-2,AA点坐标为点坐标为(4,0),(4,0),令令x=0 x=0可得可得y=-8,y=-8,BB点坐标为点坐标为(0,-8),(0,-8),函数图象如图函数图象如图:(3)(3)如图如图,过点过点M M作作MCxMCx轴于点轴于点C,C,则则OC=1,AC=3,OC=1,AC=3,且且BO=8,
45、MC=9,BO=8,MC=9,SS四边形四边形AOBMAOBM=S=S梯形梯形COBMCOBM+S+SACMACM=(OB+MC)=(OB+MC)OC+ACOC+ACMCMC=(8+9)(8+9)1+1+3 39=22.9=22.12121212【火眼金睛火眼金睛】抛物线抛物线y=6(x+1)y=6(x+1)2 2-1-1的顶点在直线的顶点在直线y=x-by=x-b上上,求直线的表求直线的表达式达式.正解正解:由题意得抛物线顶点坐标为由题意得抛物线顶点坐标为(-1,-1),(-1,-1),把把(-1,-1)(-1,-1)代入代入y=x-b,y=x-b,得得b=0.b=0.直线表达式为直线表达式
46、为y=x.y=x.【一题多变一题多变】在直角坐标平面内在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为二次函数图象的顶点为A(1,-4),A(1,-4),且且过点过点B(3,0).B(3,0).求该二次函数的表达式求该二次函数的表达式.解解:二次函数图象的顶点为二次函数图象的顶点为A(1,-4),A(1,-4),设二次函数表达式为设二次函数表达式为y=a(x-1)y=a(x-1)2 2-4.-4.把点把点B(3,0)B(3,0)代入二次函数表达式代入二次函数表达式,得得0=4a-4,0=4a-4,解得解得a=1.a=1.二次函数表达式为二次函数表达式为y=(x-1)y=(x-1)2 2-4,-4,即即y
47、=xy=x2 2-2x-3.-2x-3.【母题变式母题变式】【变式一变式一】已知二次函数的最小值为已知二次函数的最小值为-1,-1,当当x3x3时时,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大,当当x 3x 3x3时时,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大,当当x 3x 0a0时时,顶点是抛物线的最顶点是抛物线的最_点点,当当a0a0a0时时,抛物线的开口向抛物线的开口向_,_,当当a0a0,a0,当当x-x-时时,y,y随随x x的增大而的增大而_,_,当当x-x-时时,y,y随随x x的增大而的增大而_._.a0,a-x-时时,y,y随随x x的增大而的增大而_,_,当当x-x-时时,y
48、,y随随x x的增大而的增大而_._.b2ab2ab2ab2a增大增大减小减小减小减小增大增大(4)(4)最值最值:当当x=_x=_时时,函数达到最大值函数达到最大值(a0)(a0)_.(a0)_.b2a24acb4a【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧!1.1.二次函数二次函数y=xy=x2 2-2x+4-2x+4化为化为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的形式的形式,下列正确的是下列正确的是()A.y=(x+1)A.y=(x+1)2 2+2+2B.y=(x-1)B.y=(x-1)2 2+3+3C.y=(x-2)C.y=(x-2)2 2+2+2
49、D.y=(x-2)D.y=(x-2)2 2+4+4B B2.2.在二次函数在二次函数y=-xy=-x2 2+2x+1+2x+1的图象中的图象中,若若y y随随x x的增大而的增大而增大增大,则则x x的取值范围是的取值范围是()A.x1A.x1B.x1C.x-1C.x-1D.x-13.3.抛物线抛物线y=xy=x2 2-4x+3-4x+3的顶点坐标是的顶点坐标是_._.A A(2,-1)(2,-1)知识点一知识点一 二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象与性质的图象与性质(P19(P19第第9 9题拓展题拓展)【典例典例1 1】二次函数二次函数y=axy=ax2 2+
50、bx+c(a0)+bx+c(a0)的大致图象的大致图象如图所示如图所示,关于该二次函数关于该二次函数,下列说法不正确的下列说法不正确的是是()B BA.A.该函数有最小值该函数有最小值B.yB.y随随x x的增大而减少的增大而减少C.C.对称轴是直线对称轴是直线x=x=D.D.当当-1x2-1x2时时,y0,y0a0时时,x=-,x=-时时,y,y最小最小=.=.2.2.当当a0a0时时,x=-,x=-时时,y,y最大最大=.=.b2a24acb4ab2a24acb4a【题组训练题组训练】1.1.关于二次函数关于二次函数y=2xy=2x2 2+4x-1,+4x-1,下列说法正确的是下列说法正确
