1、第二章第二章 数数 列列专题专题1 1 递推关系与通项公式递推关系与通项公式【要点预览】【要点预览】递推关系递推关系1 1：类等差型类等差型 an1anf(n)递推关系递推关系2 2：类等比型类等比型 anf(n)an1 递推关系递推关系3 3：一阶常数型一阶常数型 anpan1q(n2)(其中其中p，q为常数，为常数，pqpq00，p p1)1)递推关系递推关系4 4：一阶后指数函数型一阶后指数函数型 anpan1rqn(n2)(其中其中pqr0，p，q，r为常数为常数)型型递推关系递推关系5 5：一阶后一次函数型一阶后一次函数型 anpan1qnr(n2）(其中其中pq0，p，q为常数为常
2、数)递推关系递推关系7 7：二阶常数型二阶常数型 an1panqan1(pq0)递推关系递推关系6 6：一阶倒数型一阶倒数型 pan1qanran1an0(pqr0)【题型分类【题型分类 深度剖析】深度剖析】题型题型1 1：类等差型类等差型 an1anf(n)递递推关系推关系例例1 1：（1 1）已知数列）已知数列an中，中，a120，an1an2n1，nN*，则通项公式，则通项公式an_._.n22n21（2）已知）已知 an中，中，a11，an1an2n，则，则an _.2n1方法方法1 1：迭代法：迭代法anan-1f(n1)an-2f(n-2)f(n1)a1f(1)f(2)+f(n)，
3、方法方法2 2：累加法：累加法an=(anan-1)+(an-1an-2)+(a3a2)+(a2a1)+a1，解题指导：解题指导：类等差型类等差型 an1anf(n)递推关系递推关系=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1)+a1题型题型2 2：类等比型类等比型 anf(n)an1 递推关系递推关系例例2：（1）已知已知Sn为数列为数列an的前的前n项和，项和，a11，Snn2an，求数列，求数列an的通项公式的通项公式方法方法1 1：迭代法：迭代法anan-1f(n-1)an-2f(n-2)f(n-1)a1f(1)f(2)f(n)，方法方法2 2：累乘法：累乘法解题指导：解题指导：类等
4、比型类等比型 anan-1f(n1)递推关系递推关系111223211)1()2()2()1(affnfnfaaaaaaaaaannnnn【变式探究】【变式探究】答案答案：1.设设f(x)a1a2 xa3 x2anxn1，f(0)0.5，数，数列列an满足满足f(1)n2an(nN*)，则数列，则数列an的通项的通项an等等于于_)1(1nnan 题型题型3 3：递推关系形如递推关系形如 anpan1q(n2)型型 (其中其中p，q为常数，为常数，pqpq00，p p1)1)例例3：（1）数列）数列an中，中，a11，an1 an1，求，求an.（2）在数列）在数列an中，若中，若a11，an
5、12an3(n1)，则，则该数列的通项该数列的通项an_.解法指导：解法指导：一阶常数型递推关系一阶常数型递推关系anpan1q(n2)(p，q为常数，为常数，pqpq00，p p1)1)方法方法1 1：待定系数法：待定系数法递推式可化为递推式可化为an1Ap(anA)，方法方法2 2：阶差法：阶差法递推式阶差为递推式阶差为an1 anp(anan1)，题型题型4 4：递推关系形如递推关系形如 anpan1rqn(n2)型型 (其中其中pqr0，p，q，r为常数为常数)型型例例4：（1）数列）数列an满足满足an4an12n(n2，nN*)，且且a12，求，求an.（2）已知数列）已知数列an
6、满足满足a11，an12an2n，则则an_.解法小结：解法小结：一阶指数函数型递推关系一阶指数函数型递推关系方法方法1 1：同除法：同除法递推式可化为递推式可化为方法方法2 2：待定系数法：待定系数法递推式可化为递推式可化为an+xqnp(an1+xqn-1)，anpan1rqn(n2)(pqr0，p，q，r为常数为常数)rqaqpqannnn11或者或者11()nnnnnaaqrppp【变式探究】【变式探究】1.已知已知数列数列an满足满足an+12an32n，a12，求，求an.题型题型5 5：递推关系如递推关系如 anpan1qnr(n2）型型 (其中其中pq0，p，q为常数为常数)例
7、例5：已知数列已知数列an中，中，a10.5，点，点(n，2an1an)在在直线直线yx上，其中上，其中nN*，求数列，求数列an的通项的通项解法小结：解法小结：一阶一次函数型递推关系一阶一次函数型递推关系方法：待定系数法方法：待定系数法递推式可化为递推式可化为an+xn+ypan1+x(n-1)+yanpan1qn+r(n2)(pq0，p，q为常数为常数)1.在数列在数列an中，中，a12，an14an3n1，nN*，求数列求数列an的前的前n项和项和Sn.(1)由题设由题设an14an3n1，得得an1(n1)4(ann)，nN*.数列数列ann 是等比数列且首项为是等比数列且首项为1，且
8、公比为，且公比为4ann4n1，即，即an4n1+n【变式探究】【变式探究】解析：解析：题型题型6 6：递推关系如递推关系如 pan1qanran1an0(pqr0)型型例例7 7：数列数列an满足满足a1 11 1，n2时，时，an1an2an1an，求求通项公式通项公式an.解析解析：an1an2an1an，解法指导：解法指导：方法：倒数法方法：倒数法递推式可化为递推式可化为递推关系递推关系 pan1qanran1an0(pqr0)111()nnpraqaq 变式探究变式探究1.已知数列已知数列an满足满足a1=1，求，求an.11nnnnaaa a答案：答案：21nan2.设数列设数列a
9、n满足满足a12，an1 (nN*)，求，求an.3nnaa 答案：答案：122 31nna3.数列数列an中，中，a11，an1 求求an.答案：答案：21nan4.已知数列已知数列an满足满足a11，an1 ，求，求an.答案：答案：题型题型7：递推关系形如递推关系形如 an1panqan1(pq0)型型例例8：在数列在数列an中，中，a12，a23，an23an12an，求求an.解法指导：解法指导：二阶型递推关系二阶型递推关系方法：待定系数法方法：待定系数法递推式可化为递推式可化为an+1+x any(an+xan-1)an1panqan1 (pq0，p，q为常数为常数)变式探究变式探究1.已知已知 an中，中，a11，a22，3anan12an20(n3)，求数列，求数列an的通项公式的通项公式
