1、 圆锥曲线的共同特征圆锥曲线的共同特征 教学设计教学设计 焦作市第十一中学焦作市第十一中学 张世科张世科 1 圆锥曲线的共同特征教学设计圆锥曲线的共同特征教学设计 教材：北师大版高中数学选修教材：北师大版高中数学选修 2 2- -1 1 第三章第四节第二课时第三章第四节第二课时 授课教师：授课教师： 焦作市第十一中学焦作市第十一中学 张世科张世科 教学目标：教学目标： 1. 知识与技能 （1）了解圆锥曲线的共同特征并能够解决简单问题； （2）能够熟练运用直接法和定义法求曲线方程。 2. 过程与方法 通过问题设置，让学生经历观察、猜想、探索、归纳的过程，在自主思考、合作探究 中学习； 3. 情感
2、态度与价值观 通过亲身体验，增强学生主动探索的意识、自主思考的习惯与合作探究的团队精神。 教学重难点教学重难点： 重点：圆锥曲线的共同特征及简单运用； 难点：圆锥曲线的共同特征的探索研究。 教学策略教学策略 1教学理念 教师是课堂教学的组织者和引导者，突出学生的主体地位，鼓励学生积极参与教学活 动。在学生学习过程中，以体验为红线，思维为主攻，让学生在自主、合作、探究中学习 知识。 2策略设计 以“发现探究”为主导，在“诱思探究教学”模式下，设计了三个认知层次：一、 创设情境，引入新课；二、合作交流，探究新知；三、学以致用，巩固提高。探究过程分 为五个环节：探索发现、大胆猜想、深入探究、形成结论
3、、适度拓展。 认知层次层层深入，探究过程环环相扣。学生在动眼看、动耳听、动手做、动口说、 动脑思中愉悦的学习知识。 教学教学手段手段： 多媒体辅助教学、实物投影、几何画板演示。 2 教学过教学过程：程： 一、创设情境一、创设情境，引入新课，引入新课 【课件投影】 请同学们回忆以下知识： 1椭圆、双曲线、抛物线的定义； 2椭圆、双曲线、抛物线的离心率； 3求曲线方程的步骤（直接法） 。 设计意图：设计意图：让学生回忆前面所学知识，为本节课的学习做好知识准备。 投影平面截圆锥的视频。 （椭圆、 抛物线、 双曲线都可以用平面截去圆锥得到， 这是它们图形上的共同特征。 ） 思考：圆锥曲线的方程有什么共
4、同特征吗？是否还存在其它共同特征呢？ 设计意图：设计意图：让学生从图形、方程中感知圆锥曲线的统一性，激发学生的学习兴趣，引 出课题。 二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知 （一）探索发现 【课件投影】 赛一赛：各小组对应题号做题，每组只做一道题。组内统一后，组长将所求方程写在 黑板上。 问题：曲线上的点),(yxM到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e，求下 列条件下的曲线方程。 （1）),( 02F，8xl:， 2 1 e； （2）),( 02F， 2 9 xl :， 3 2 e； （3）),( 04F， 4 25 xl :， 5 4 e； （4）),( 02F，1xl :，
5、2e； （5）),( 02F， 2 1 xl :，2e； （6）),( 05F， 5 9 xl :， 3 5 e. 分组计算后得出结果：当常数e为 2 1 ， 3 2 ， 5 4 时，曲线都为椭圆；当常数e为2，2， 3 5 时，曲线都为双曲线。 设计意图：设计意图：从具体问题开始探究，遵循特殊到一般，具体到抽象的认知规律。观察常数e取 不同数值时曲线方程的区别，发现规律，同时强化了求曲线方程的方法。 3 （二）大胆猜想 【课件投影】 猜想：曲线为椭圆、双曲线时，常数e的取值范围分别是什么？ 学生的猜想结论：当常数10e时，曲线为椭圆；当常数1e时，曲线为双曲线。 （几何画板演示） 设计意图：
6、设计意图：通过几何画板演示，让学生观察曲线为椭圆、双曲线时，常数e的取值，印 证猜想结果，激发学生继续探究的兴趣。 （三）深入探究 问题：能否用前面所学知识验证猜想结论呢？定点、定直线、常数e有何意义？ （接下来， 我们结合前面学习的推导椭圆、 双曲线标准方程的部分步骤验证这一结论） 。 【课件投影】 推导椭圆标准方程的部分步骤：由椭圆的定义可得：)0(2 21 acaPFPF， 所以aycxycx2 2222 )()(， 移项得： 2222 2ycxaycx)()(， 平方整理得： 222 )(ycxacxa，同除得： 22 2 ycx c a x c a )( 变形为: a c x c a
7、 ycx 2 22 )（ . 思考交流：上式的几何意义是什么？ 先自主思考，总结归纳，然后将结果在组内交流，统一结论后，推举代表回答。 学生会回答： 椭圆上点),(yxP到焦点),( 0c的距离与到直线 c a x 2 的距离之比为离心率， 因为ca ，所以离心率10e。 在标准方程下，结果与猜想结论相印证。分子 是点),(yxP到焦点),( 0c的距离，分母是点),(yxP到 直线 c a x 2 的距离。因为ac 0，所以常数10 e， c a x 2 c a x 2 . )0 ,(cFo y x . )0 ,(cFo y x ),(yxP . ),(yxP . 4 直线 c a x 2
8、与焦点F在y轴同侧，且直线在椭圆的外侧。 【课件投影】 推导双曲线标准方程的部分步骤：由双曲线的定义可得：)(caaPFPF02 21 ， 所以aycxycx2 2222 )()(，移项得： 2222 2ycxaycx)()(， 平方整理得： 222 ycxacxa)( ，同除得： 22 2 ycx c a x c a )(， 变形为: a c x c a ycx 2 22 )（ . 思考交流：上式的几何意义是什么？ 先自主思考，然后同桌交流结果，举手回答。 学生回答： 双曲线上点),(yxP到焦点),( 0c的距离与到直线 c a x 2 的距离之比为离心率， 因为ca 0，所以离心率1e。
9、 在标准方程下，结果与猜想结论也相印证，点在左支和右支都满足。分子为双曲线上任意 一点P与焦点F间的距离，分母为点P到直线 c a x 2 的距离。因为ca 0，所以常数1e，直线 c a x 2 与焦点F在y轴同侧，且直线在双曲线右支与y轴之间。 结合椭圆、双曲线结论与抛物线定义， 思考交流：圆锥曲线有何共同特征？ 先自主思考，总结归纳，然后同桌交流结果，举手回答。 学生会回答：圆锥曲线上的点到焦点的距离与到一条直线的距离之比都是离心率e. 当10e时，是椭圆；当1e时，是双曲线，当1e时，是抛物线。 设计意图：在教师的引导下，让学生在自主思考、合作交流中探究知识，对知识进行 “再创造” ，
10、得出圆锥曲线的共同特征，突破本节课难点。 ),(yxP . ),(yxP),(yxP . ),(yxP . ),(yxP . c a x 2 )0 ,(cF . x O y c a x 2 )0 ,(cF . x O y 5 （四）得出结论 【课件投影】 圆锥曲线上的点到定点的距离与到定直线（直线不过定点）的距离之比等于常数e. 当10e时，它是椭圆；当1e时，它是双曲线；当1e时，它是抛物线 注意：1.分子分母顺序不能颠倒； 2.直线不过定点； 3.定点为焦点，定直线为与焦点相应的准线，常数e为离心率。 播放几何画板演示视频。 设计意图：设计意图：投影共同特征，规范学生的数学语言，注意关键点
11、。通过几何画板演示， 结合对称性，找到与左焦点相应的左准线。指出椭圆上点到右焦点的距离与到右准线的距 离之比，和点到左焦点的距离与到左准线的距离之比都为离心率。双曲线也是如此。加深 对相应准线的理解，感悟数学的对称美。 （五）适度拓展 （我们可以发现，圆锥曲线也可以如下来定义） 【课件投影】 平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l(l不过定点F)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。 当10e时，它是椭圆；当1e时，它是双曲线；当1e时，它是抛物线 定点F是焦点，定直线l是与焦点相应的准线，常数e是离心率。 我们把它称为圆锥曲线的统一定义，曲线为椭圆、双曲线时，也称为椭圆、双曲线的 第二定义，
12、前面学习的定义为第一定义。 椭圆的焦点在x轴时，准线方程为 c a x 2 ，右准线为 c a x 2 . 双曲线的焦点在x轴时，左准线为 c a x 2 ，右准线为 c a x 2 . 接下来让学生类比得出：椭圆、双曲线的焦点在y轴时的准线方程。 设计意图：设计意图：适度拓展，让学生了解圆锥曲线的统一定义，类比得出焦点在y轴时的准线 方程，鼓励学生课外继续探索验证，培养学生的探索精神。 6 三、学以致用，巩固提高三、学以致用，巩固提高 （一）例题讲解 【课件投影】 例 1：曲线上的点),(yxM到定点),( 02F的距离和它到定直线8xl :的距离的比是 2 1 ， 求曲线方程。 解法 1：
13、直接法。 解：由题知： 2 1 8 )2( 22 x yx ，即 222 )8( 4 1 )2(xyx，化简得1 1216 22 yx . 所以曲线方程为1 1216 22 yx . 解法 2：定义法。 解：依据题意，由圆锥曲线的统一定义知：曲线方程为焦点在x轴的椭圆的标准方程。 右焦点：)0 , 2(F，右准线：8x，离心率： 2 1 e。 所以 222 2 8 2 cba c a c ，可得16 2 a，12 2 b，所以曲线方程为1 1216 22 yx . 例 2：双曲线 1 3664 22 yx 上一点 P 到左焦点的距离是 4，求点 P 到右准线的距离. 解法 1：(左焦点右焦点右
14、准线) 解：由题知：8a，6b，所以10 22 bac.双曲线右支上点到左焦点),(010 1 F 的最短距离为418108ca，所以点 P 在双曲线左支. 由双曲线的第一定义知：162 12 aPFPF| 又4 1 | PF得20 2 | PF 设d是点 P 到左准线的距离，由双曲线的第二定义得：e d PF | 2 得16d 解法 2： （左焦点左准线右准线） 解：由题知：8a，6b，所以10 22 bac.双曲线右支上点到左焦点),(010 1 F 的最短距离为416108ca，所以点 P 在双曲线左支. 7 设d是点 P 到左准线的距离， 由双曲线的第二定义得：e d PF 1 1|
15、| 得 5 16 1 d， 又双曲线的两准线间的距离是 5 642 2 c a ，则点 P 到右准线的距离是：16 5 64 5 16 . （学生先自主思考，求出方程后在组内交流，推举代表到讲台前利用实物投影仪展示 并分析解题过程，其他小组可做补充。 ） 设计意图：设计意图： （通过例题，强化知识在解题中的应用，突出本节课重点。通过学生展示， 锻炼学生的表达能力，培养学生的综合素质。 ） （二）练习巩固 【课件投影】 1.方程 22 (2)28xyx表示的曲线是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.抛物线 2.中心在原点，准线方程为4x，离心率为 2 1 的椭圆方程是_. 3.椭圆1 1
16、625 22 yx 上一点P到一个焦点)0 , 3(F的距离等于 3，则点P到直线10x 的距 离为_. 设计意图：设计意图：当堂检测，反馈学习效果。 （三）回顾反思 【课件投影】 本节课，你学习了哪些知识？掌握了哪些技能？运用到了哪些数学思想方法？我们是 如何探究知识的？ 1.圆锥曲线上的点到定点的距离与到定直线（直线不过定点）的距离之比等于常数e. 当10e时，它是椭圆；当1e时，它是双曲线；当1e时，它是抛物线 2.求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法. 3.数学思想方法：数形结合、类比等. 设计意图：设计意图：强化所学知识，优化知识结构。 （四）作业反馈 【课件投影】 8 必做题： 1
17、曲线上的点),(yxM到定点)0 , 5(F的距离和它到定直线 5 16 :xl的距离的比是 4 5 ，求 曲线方程。 2已知椭圆1 1625 22 yx 上一点P到右准线的距离为 10，求点P到左准线的距离。 选做题： 1. 曲线上的点),(yxM到定点)0 , 2(F的距离和它到定直线8:xl的距离的比是 2，求 曲线方程。 2.已知点)3, 2(A，设点F为椭圆1 1216 22 yx 的右焦点，点M为椭圆上动点，求 MFMA2的最小值，并求此时点M的坐标。 设计意图：设计意图：分层设置课后作业，让不同程度的学生都能得到提高和发展。 结束语： （德育教育） 圆锥曲线的统一性展现了数学的统一美，数学的发展是追求美的过程。希望我们每一 个人都努力追求美、创造美，描绘出更美好的人生轨迹！
