1、应用数理统计与随机过程第八章泊松过程第一章概率论基础8.1泊松过程的定义与实例8.2泊松过程的基本性质8.3非齐次泊松过程8.4复合泊松过程目录Contents8.1.1 计数过程定义定义8.1 8.1 随机随机过程过程N(t),t 0 是是计数过程计数过程，如果，如果 N(t)表表示到时刻示到时刻 t为止已发生的事件为止已发生的事件A的总数，且的总数，且N(t)满足条件满足条件:(1)N(t)0;(2)N(t)取整数取整数;(3)若若s t，则，则N(s)N(t);(4)当当s 0),事件事件A发生的次数发生的次数 N(t+s)N(t)8.1泊松过程的定义与实例8.1.2 泊松过程的两种定义
2、 ()()(),0,1,2,!nttP X tsX snenn 两点说明：两点说明：泊松泊松过程过程是平稳增量过程；是平稳增量过程；故故 表示过程的表示过程的 由由EX(t)=t,知知X(),Ett 强度或速率强度或速率.定义定义8.2 称计数称计数过程过程X(t),t 0 是是泊松过程泊松过程,如果如果X(t)满足满足 (1)X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程是独立增量过程;(3)在任一长度为在任一长度为 t 的区间中的区间中,事件事件A发生的次数服从发生的次数服从参数参数 t 0 的泊松分布的泊松分布,即对任意即对任意 s,t 0,有有8.1泊松过程的定义与实例 X()X()2()
3、,Pthto h X()X()1()Pththo h (参数参数 0);在在0,t内到某火车站售票处购买车票的旅客数内到某火车站售票处购买车票的旅客数X(t);泊松过程的实例泊松过程的实例 在在0,t内服务台接到咨询电话的次数内服务台接到咨询电话的次数 X(t);在在0,t内机器发生故障而停止工作的故障数内机器发生故障而停止工作的故障数X(t).定义定义8.3 称计数称计数过程过程X(t),t 0 是是泊松过程泊松过程,如果如果 X(t)满足满足 (1)X(0)=0；(2)X(t)是平稳、独立增量过程；是平稳、独立增量过程；(3)X(t)满足下列两式满足下列两式8.1泊松过程的定义与实例8.1
4、.3 泊松过程两种定义的等价性的证明 定义定义8.28.2定义定义8.38.3 在定义在定义8.2的条件下的条件下,定义定义8.3的条件的条件(1),(2)显然满足显然满足,故只需证明条件故只需证明条件(3)的等价性的等价性.当当h充分小的充分小的,有有 X()X()1X()X(0)1PthtPh1!hhe 1()hho h X()X()2X()X(0)2PthtPh 2X()X(0)nPhn ().ho h 2()!nhnhen ().o h 0()!nnhhn 8.1泊松过程的定义与实例 定义定义8.38.3定义定义8.28.2 ()(0)0P X thX ()(0)0,()()0P X
5、tXX thX t ()(0)0()()0P X tXP X thX t 0()()0P thP X th0()1().P tho h ()()()(0),nP tP X tnP X tXn 令令 则则(1)当当n=0时时 故有故有000()()()(),P thP to hP thh 当当h 0时有时有8.1泊松过程的定义与实例 ()()nP thP X thn0().tP te (2)对对n 1，建立递推公式建立递推公式 X()X(0)Pthn ()()()(0)PX thX tX tXn 0()()()(0)njPX thX tX tX|()()()()n X thX tj P X th
6、X tj00()(),P tP t 00(),()P tP t 或或0().tP tke 从而从而 0(0)001,PP X（）又由于又由于 于是有于是有8.1泊松过程的定义与实例 0()(0)|()()njPX tXnj X thX tj ()()P X thX tj1(1)()()().nnh P thPto h 0()(0)()()njPX tXnj P X thX tj 0()()nnjjjPt P h 0112()()()()()()nnnnjjjP t P hPt P hPt P h 011()()()()()nnP t P hPt P ho h 注注*：（*）22()()()nn
7、njjjjjPt P hP h 2()()(0)2)()jjP hP X hXo h 8.1泊松过程的定义与实例即有即有1()(1)()()(),nnnP thh P thPto h 1()()()()().nnnnP thP to hP tPthh 1()()(),nnnP tP tPt 1()()(),ttnnneP tP te Pt 1d()(),dttnne P te Ptt (3)用数学归纳法证明用数学归纳法证明()()!ntntP ten 10d()()dtte P te P tt 10,().tCP tte 当当h 0时有时有 当当n=1时时,tte e 1(0)(0)10,PP
8、 X由于由于所以所以8.1泊松过程的定义与实例假设假设n 1时时(n 1),结论成立结论成立,由递推公式由递推公式1d()()dttnne P te Ptt 11()().(1)!(1)!nntttte enn ()().ntntP ten ！()()()(0,1,2).nttP X tsX snenn ！()(),ntnte P tCn ！积分得积分得(0)(0)0,nPP Xn由于由于从而从而所以所以8.1泊松过程的定义与实例8.2.1 数字特征 设设 X(t),t 0 是参数为是参数为 的泊松过程的泊松过程,对任意对任意 t,s 0,+),若若 s t发生当且仅当在发生当且仅当在0,t内
9、没有事件发生内没有事件发生,(1)先考虑先考虑T1的分布的分布.故有故有 1()0P TtP X t ()(0)0.tP X tXe 111()11tTFtP TtP Tte 因此因此,T1服从均值为服从均值为1/的指数分布的指数分布.8.2泊松过程的基本性质(2)再考虑再考虑T2的分布的分布.tT2T1=sW2W10s+t s 221|P TtP Tt Ts ()()0|()(0)1P X stX sX sX ()()0P X stX s.te 222()11.tTFtP TtP Tte 因此因此,T2服从均值为服从均值为1/的指数分布的指数分布.=P在在(s,s+t内没有时间发生内没有时间
10、发生|1Ts 8.2泊松过程的基本性质(3)最后考虑一般的最后考虑一般的T n(n 1)的分布的分布.TnTn-1=sn-1T2=s2T1=s1tWn-2W2W10Wn-1Wn 1111|,nnnP Tt TsTs1111()()0nnP X sstX ss.te ()11.ntTnnFtP TtP Tte nP Tt 于是于是,有有即有即有T n 服从均值为服从均值为1/的指数分布的指数分布.8.2泊松过程的基本性质 等待时间等待时间W n 的分布的分布定理定理8.3 8.3 设设X(t),t 0是参数为是参数为 的泊松过程的泊松过程,等待时等待时间序列为间序列为W n,n 1,则则W n服
11、从参数为服从参数为 n与与 的的 分布分布,概率密度为概率密度为1(),0,()(1)!0,0.nntWtetftnt 说明：说明：参数为参数为 n与与 的的 分布又称爱尔兰分布分布又称爱尔兰分布,它是它是n个相互独立且同服从指数分布的随机变量之和的分布个相互独立且同服从指数分布的随机变量之和的分布.其特征函数为其特征函数为().nnWgtit 8.2泊松过程的基本性质证证1(1),nniiWTn Ti为时间间隔为时间间隔.TnT2T1tW2W10Wn-1Wn ()nWtX tn ()()nWnFtP WtP X tn ()j nP X tj ()j nPX tj ().!jtj ntej 8
12、.2泊松过程的基本性质d()d()()dd!nnjWtWj nFttftettj 1()()()!jjttj nj ntteejjj 1()()!(1)!jjttj nj ntteejj 1().(1)!ntten 1(),0,()(1)!0,0.nntWtetftnt 即有即有8.2泊松过程的基本性质8.2.3 到达时间的条件分布问题问题 假设在假设在0,t内事件内事件A已经发生已经发生1次次,确定这一事件确定这一事件到达时间到达时间W1的条件分布密度的条件分布密度tW10sW21(|()1).Wfs X t 11(|()1)(|()1).WFs X tP Ws X t思路：思路：先求分布函
13、数先求分布函数 ,再求分布密度再求分布密度.1(|()1)WFs X t 显然显然,当当 时时,0s 1(|()1)0;WFs X t 当当 时时,st 1(|()1)1;WFs X t 当当 时时,有有0st11(|()1)(|()1)WFs X tP Ws X t8.2泊松过程的基本性质 1,()1()1P Ws X tP X t tW10sW2 ()(0)1,()()0()1P X sXX tX sP X t ()(0)1()()0()1P X sXP X tX sP X t ()st stseete .st 8.2泊松过程的基本性质从而从而W1的条件分布函数为的条件分布函数为1|()1
14、0,0(),01,W X tssFssttst 条件分布密度函数为条件分布密度函数为1|()11,0()0,W X tstfst 其其他他上述结果表明：上述结果表明：已知在已知在 内事件内事件A已经已经发生一次的发生一次的0,t条件下条件下,这一事件的到达时间这一事件的到达时间W1服从服从 上的均匀分布上的均匀分布.0,t8.2泊松过程的基本性质这个结果可以推广为如下定理：这个结果可以推广为如下定理：定理定理8.4 设设X(t),t 0是泊松过程是泊松过程,已知在已知在0,t内事件内事件A发生发生n次次,则这则这n次事件的到达时间次事件的到达时间 W1 W2 Wn的的条件概率密度为条件概率密度
15、为1212!,0,(,)0,nnnnttttf t ttt 其它其它.即与相应的即与相应的n个在个在0,t上均匀分布的独立随机变量的上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有着相同的分布顺序统计量有着相同的分布.8.2泊松过程的基本性质例例8.1 设设X1(t),t 0和和X2(t),t 0是两个相互独立的泊松是两个相互独立的泊松过程过程,它们在单位时间内平均出现的事件数分别为它们在单位时间内平均出现的事件数分别为 1和和 2.记记 为过程为过程 X1(t)的第的第k次事件到达时间次事件到达时间,记记 为过程为过程X2(t)的第的第1次事件到达时间，求次事件到达时间，求 即第一即第一个泊松过程第个
16、泊松过程第k次事件发生比第二个泊松过程第次事件发生比第二个泊松过程第1次事件次事件发生早的概率发生早的概率.(1)kW(2)1W(1)(2)1,kP WW(1)kW(2)1W8.2泊松过程的基本性质解解1(1)111(),0()(1)!0,0kkxWxexfxkx 2(2)12,0()0,0yWeyfyy 则则 (1)(2)1(,)d dkDP WWf x yx y 其中积分区域如图所示其中积分区域如图所示,xyy=xD(,)f x y为为 和和 的联合概的联合概(1)kW(2)1W率密度率密度,根据两个过程的独立性知根据两个过程的独立性知(1)(2)1(,)()().kWWf x yfx f
17、y(1)kW(2)1W设设 的取值为的取值为 x，的取值为的取值为 y.根据定理根据定理3.3,有有 8.2泊松过程的基本性质故有故有 (1)(2)1kP WW 1211120()d d(1)!kxyxxeey xk 12()110d(1)!kxkxexk 112.k 121120dd(1)!kxykxxeeyxk 8.2泊松过程的基本性质例例8.2 设设X(t),t 0是泊松过程是泊松过程,在在0,t内事件内事件A已经发已经发生生 n次，且次，且0st，对于对于0kn，求求PX(s)=k|X(t)=n.解解knt0 s (),()()|()()P X sk X tnP X sk X tnP
18、X tn (),()()()P X sk X tX snkP X tn ()()()()P X sk P X tX snkP X tn 8.2泊松过程的基本性质（二项分布）（二项分布）()()()!()!()!kn kst sntstseeknkten 1.nn kknssCtt 8.2泊松过程的基本性质例例8.3 设设X(t),t 0是泊松过程是泊松过程,设设在在0,t内事件内事件A已经已经发生发生n次次,求求第第k次次(kn)事件事件A发生的时间发生的时间Wk的条件概率的条件概率密度函数密度函数.tWk0sWns+h解解 先求条件概率先求条件概率|(),kP sWsh X tn再对再对s求
19、导求导.当当h充分小时充分小时,有有(),X shk注意到注意到因此因此,有有|()kP sWsh X tn,()()kP sWsh X tnP X tn ,()()()kP sWsh X tX shnkP X tn 8.2泊松过程的基本性质()().()kP sWsh P X tX shnkP X tn 因此因此,有有|()()()(|)()kkW X tP sWsh P X tX shnkfs nhP X tn ()()()()kWP X tX snkfsP X tn 1!1.(1)!()!n kkknssknktt ()1()()()!()(1)!n kt sksnttsesnketke
20、n （BataBata分布）分布）8.2泊松过程的基本性质例例8.4 仪器受到振动而引起损伤仪器受到振动而引起损伤.泊松过程发生泊松过程发生.第第k次振动引起的损伤为次振动引起的损伤为,kD若振动按强度为若振动按强度为 的的 是是12,D D 独立的随机变量序列独立的随机变量序列,且和且和0,t时间段内受到的振动次时间段内受到的振动次独立独立.()N t即如果振动初始损伤为即如果振动初始损伤为 ,则经过时间则经过时间t后减后减D又假设仪器受到振动而引起的损伤随时间按又假设仪器受到振动而引起的损伤随时间按指数减小指数减小,小为小为 (0).tDe ()()1(),kN ttkkD tD e 假设
21、损伤时可叠加的假设损伤时可叠加的,即在时刻即在时刻t损伤可表示为损伤可表示为其中其中 为仪器受到第为仪器受到第k次振动的时刻次振动的时刻,求求().E D tk 解解()()1()kN ttkkE D tED e ()()1|(),kN ttkkE ED eN t 8.2泊松过程的基本性质由于由于()()1|()=kN ttkkED eN tn ()1|()=kntkkED eN tn 11()|()=kntkE D eEeN tn ()11()ntU kkE D eEe ()1()tU kE D enE e 101()dttxE D enext 1()(1)ttnE D eet 于是于是()
22、()1|()kN ttkkED eN t 1()(1),tnE Det 1()()(1),tN tE Det 所以所以1()()(1).tE D tE De 8.2泊松过程的基本性质定义定义8.48.4 称计数过程称计数过程X(t),t 0为具有跳跃强度函数为具有跳跃强度函数(t)的的非齐次泊松过程非齐次泊松过程，如果满足，如果满足(2)X(t)是独立增量过程是独立增量过程;X()X()1()(),Pthtt ho h X()X()2().Pthto h(3)(1)X(0)=0;可以证明可以证明:0()()d.tXmtss 非齐次泊松过程的均值函数非齐次泊松过程的均值函数8.3非其次泊松过程定
23、定理理 8.5设设X(t),t 0为具有均值函数为具有均值函数0()()d.tXmtss 的非齐次泊松过程，则有的非齐次泊松过程，则有 ()()P X tsX tn ()()exp()(),!nXXXXmtsmtmtsmtn或或 ()()exp(),!nXXmtP X tnmtn(0).n (证明方法与齐次泊松过程类似见教材证明方法与齐次泊松过程类似见教材P232-233)P232-233)8.3非其次泊松过程例例 8.5 设设X(t),t 0是具有跳跃强度是具有跳跃强度1()(1cos)2tt的非齐次泊松过程的非齐次泊松过程(0),求求EX(t)和和DX(t).解解()()()XEX tDX
24、 tmt001()d(1cos)d2ttssss11sin.2tt 8.3非其次泊松过程 某某路公共汽车从早晨路公共汽车从早晨5时到晚上时到晚上9时有车时有车发出发出,乘乘客客流量流量如下如下:5时按平均乘客为时按平均乘客为200人人/小时小时计算计算;5时至时至8时乘客平均到达率线性时乘客平均到达率线性增加增加,8时到达率为时到达率为1400人人/小小时时;8时至时至18时保持平均到达率时保持平均到达率不变不变;18时到时到21时到达时到达率线性率线性下降下降,到到21时为时为200人人/小时小时,假定假定乘客数在不重乘客数在不重叠的区间内是相互叠的区间内是相互独立的独立的,求求12时至时至
25、14时有时有2000人乘车人乘车的的概率概率,并并求这两个小时内来站乘车人数的求这两个小时内来站乘车人数的数学期望数学期望.例例 8.6 解解设设t=0为早晨为早晨5时时,t=16为晚上为晚上9时时,则则200400,03,()1400,313,1400400(13),1316.tttttt 8.3非其次泊松过程12时至时至14时为时为t 7,9,在在0,t内到达的乘车人数内到达的乘车人数人数人数X(t)服从参数为服从参数为(t)的的非齐次泊松过程非齐次泊松过程.12时至时至14时乘车人数的数学期望为时乘车人数的数学期望为(9)(7)(9)(7)XXE XXmm97()dss 12时至时至14
26、时有时有2000人来站乘车的概率为人来站乘车的概率为(9)(7)2000P XX20002800(2800).2000!e 971400ds 2800.8.3非其次泊松过程 设设N(t),t 0是强度为是强度为 的泊松过程的泊松过程,Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与是一列独立同分布随机变量，且与N(t),t 0独立独立,令令定义定义8.58.5()1(),0,N tkkX tYt 则称则称X(t)，t 0 为为复合泊松过程复合泊松过程.例例 8.6 若若Yk是第是第k个顾客的花费，则个顾客的花费，则设设 N(t)是时间段在是时间段在 0,t 内来到某商店的顾客数，内来到某商店的
27、顾客数，N(t),t 0 是泊松过程是泊松过程.是一个复合泊松过程是一个复合泊松过程.Yk,k=1,2,是独立同分布的随机变量序列，且与是独立同分布的随机变量序列，且与N(t)独立独立.()1()N tkkX tY 则则商店商店0,t内的营业额内的营业额8.4复合泊松过程定理定理8.6 设设 是复合泊松过程是复合泊松过程,则则()1(),0N tkkX tY t (1)X(t),t 0是独立增量过程；是独立增量过程；(2)X(t)的特征函数的特征函数 ()()exp()1,X tYgut gu 是事件的到达率是事件的到达率,gY(u)是随机变量是随机变量Y1的特征函数；的特征函数；(3)若若
28、,则则21()E Y 211(),().E X ttE YD X ttE Y证证(1)令令0 t0t1tm，则则1()1()1()(),1,2,kkN tkkii N tX tX tY km 不难验证不难验证X(t)具有独立增量性具有独立增量性.8.4复合泊松过程(2)求求X(t)的特征函数的特征函数.()()()iuX tX tguE e ()0()()iuX tnE eN tn P N tn ()10()()!N tkkniuYtntE eN tn en ()()iuX tE E eN t 10()!nkkniuYtntE een 0()()!nntYntguen 0()!ntYntgue
29、n exp()1.Yt gu 8.4复合泊松过程(3)证证211(),().E X ttE YD X ttE Y ()()exp()1,X tYgut gu 由由(2)知知由特征函数的性质可得由特征函数的性质可得()0()()X tuguEX ti 0()exp()1YYutgut gui (0)exp(0)1YYgtt gi 1().E X ttE Y 注意到注意到 可得可得(0)1,Yg 8.4复合泊松过程又因为又因为()220()()X tuguEX ti 220()exp()1YYutgut gui 222(0)(0)()YYggttii 2()exp()1YYtgut gui 2211,tE YtE Y故有故有22()()()D X tEX tEX t222111tE YtE YtE Y21.tE Y 8.4复合泊松过程第八章泊松过程刻苦钻研，学有所成！
