1、数理统计复习第六章第六章1 基本概念基本概念个体，总体，样本（简单随机样本），样本容量，个体，总体，样本（简单随机样本），样本容量，样本样本nXXX,21的联合分布，统计量的联合分布，统计量 2样本均值样本均值 niiXnX11性质：性质：nXDXDXEXE)()(),()(212)(11XXnSnii 样本方差样本方差)()(2XDSE 性质：性质：注意注意：必须学会用计算器计算样本均值：必须学会用计算器计算样本均值 2SX 和和考试时在没有得到监考教师允许时使用他人的计算器考试时在没有得到监考教师允许时使用他人的计算器可视为作弊，因此考试时务必带好计算器。可视为作弊，因此考试时务必带好计算
2、器。3.2分布、分布、t分布、分布、F分布的定义、及性质分布的定义、及性质 上上 分位点以及查表分位点以及查表4抽样分布定理抽样分布定理定理定理1 定理定理2、3、4（教材（教材P134）第七章第七章1矩估计法（用样本的矩作为总体的矩的估计）矩估计法（用样本的矩作为总体的矩的估计）（1）样本均值）样本均值 niiXnX11是总体均值是总体均值)(XE的矩估计的矩估计（2）21)(1XXnnii 是总体方差是总体方差)(XD的矩估计的矩估计注意注意：样本方差：样本方差 2S不是总体方差不是总体方差)(XD的矩估计的矩估计2极大似然估计法极大似然估计法极大似然估计法的步骤：极大似然估计法的步骤：（
3、1）写出似然函数）写出似然函数),()(1 niixfL或或),()(1 niixpL（2）似然函数取对数，化简）似然函数取对数，化简)(ln L（3）求导数）求导数 dLd)(ln（4）令）令 0)(ln dLd，解得参数，解得参数 的极大似然估计的极大似然估计 L 其其它它）（0101),(xxxf1 ，其中，其中为待估参数，为待估参数，),(21nxxx是取自总体是取自总体X 的样本值，的样本值，例例1.设总体设总体X的概率密度为的概率密度为的矩估计值和最大似然估计值的矩估计值和最大似然估计值.求参数求参数解：解：()()E Xxf x dx 10(1)xx dx 12 令令12x 得得
4、 的矩估计值：的矩估计值：211xx （1）矩估计）矩估计 niixfL1),()(niix11）（niinx1)(1）（两边取对数，得两边取对数，得 niixnL1ln)1ln()(ln（2）极大似然估计）极大似然估计得得 的极大似然估计值：的极大似然估计值：11lnniinx 对对 求导，并令其为求导，并令其为0 0，niixndLd1ln1)(ln0 11lnniinx 3估计的无偏性和有效性估计的无偏性和有效性（1）样本均值）样本均值 niiXnX11是总体均值是总体均值)(XE的无偏估计的无偏估计（2）样本方差）样本方差 2S21)(11XXnnii 是总体方差是总体方差)(XD的无
5、偏估计的无偏估计 注意：注意：21)(1XXnnii 不是总体方差不是总体方差)(XD的无偏估计，的无偏估计，样本标准差样本标准差 S21)(11XXnnii 不是总体标准差不是总体标准差)(XD的无偏估计的无偏估计（2）试判断）试判断g1和和g2哪一个更有效？哪一个更有效？例例2.已知总体的数学期望已知总体的数学期望 和方差和方差 都存在，都存在，X1，X2，X3是总体的样本是总体的样本.设设2（1）证明）证明g1和和g2都是都是 的无偏估计的无偏估计3212613121XXXg ，3211313131XXXg 解：解：)313131()(3211XXXEgE )(31(31(31321XE
6、XEXE ）(1)313131 )613121()(3212XXXEgE )(61(31(21321XEXEXE ）613121 所以，所以，g1 和和g2 2 都都是是 的无偏估计的无偏估计32)313131()(3211XXXDgD )(91(91(91321XDXDXD ）(2)222919191 )3(361)2(91)1(41XDXDXD )613121()(3212XXXDgD 2361291241 2187 因为因为)()(21gDgD 所以所以g1较较g2更有效更有效.4参数的区间估计参数的区间估计单个正态总体均值单个正态总体均值 的置信区间的置信区间（方差方差 2 已知，已知
7、，方差方差 2 未知）未知）单个正态总体方差单个正态总体方差 2 的置信区间（的置信区间（均值均值 未知）未知）两个正态总体均值之差两个正态总体均值之差 21 的置信区间的置信区间（方差方差 2221,已知，已知，方差方差 2221,未知但未知但 2221 ）上述上述5种置信区间的公式附在试卷上，重点训练如何选择种置信区间的公式附在试卷上，重点训练如何选择正确的公式正确的公式第八章第八章1假设检验的原理及其含义，两类错误假设检验的原理及其含义，两类错误2（1）方差）方差 2 未知时，单个正态总体均值未知时，单个正态总体均值 的假设检验的假设检验，00:H01:H 00:H01:H，00:H01
8、:H（2）方差）方差 2221,未知但未知但 2221 时两个正态总体均值时两个正态总体均值 21,的假设检验的假设检验210:H211:H210:H211:H210:H211:H（3）均值）均值 21 ，未知未知 2221 ，时两个正态总体方差时两个正态总体方差 的假设检验的假设检验22210:H22211:H22210:H22211:H22210:H22211:H拒绝域附在试卷上，拒绝域附在试卷上，上述上述9种假设检验的原假设种假设检验的原假设 0H，备择假设，备择假设 1H及其相应的统计量，及其相应的统计量，重点训练如何选择正确的公式重点训练如何选择正确的公式注意：（注意：（1）根据题意
9、选择双边或单边检验）根据题意选择双边或单边检验（2）在单边检验中，应选择与事实一致的作为备择假设）在单边检验中，应选择与事实一致的作为备择假设 1H，然后再确定原假设，然后再确定原假设 0H，也就是说应该，也就是说应该选择与事实相反选择与事实相反0H的作为原假设的作为原假设解解:095.0088.0 x，095.0:0 H原假设原假设备择假设备择假设095.0:1 H由由2=0.022知，检验统计量为知，检验统计量为nXU/00 拒绝域：拒绝域：zUW 例例1.一台机床加工轴的椭圆度一台机床加工轴的椭圆度 X 服从正态分布服从正态分布N(0.095,0.022）（单位：）（单位：mm)。机床经
10、调整后随机取。机床经调整后随机取20根测量其椭圆度，算得根测量其椭圆度，算得 mm 。已知总。已知总体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均值体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均值有无显著降低？有无显著降低？088.0 x)05.0(645.105.0 zz20，0.05，5652.120/02.0095.0088.0 ，Wu 所以接受所以接受H0，在显著性水平在显著性水平0.05下，认为调整后机床加工轴下，认为调整后机床加工轴的椭圆度的均值无显著降低的椭圆度的均值无显著降低.zUW 645.1 Unxu/00 645.1 因为因为例例2.测得两批小学生的身高（单位：厘米）为：测得两批
11、小学生的身高（单位：厘米）为：第一批：第一批：140，138，143，142，144，137，141第二批：第二批：135，140，142，136，138，140.设这两个相互独立的总体都服从正态分布，且方差相同，设这两个相互独立的总体都服从正态分布，且方差相同，试判断这两批学生的平均身高是否相等（试判断这两批学生的平均身高是否相等（=0.10）。）。解解:，210:H 原假设原假设检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：备择假设备择假设，211:H 2)1()1(112122221121 nnSnSnnnYXT2212）（nntTW2111nn 7989.111205.0212 ）（）（tn
12、nt，7143.140 x，5714.621 s5.138 y1.722 s=0.10，71 n，62 n5563.06171 2)1()1(21222211 nnsnsn6099.2111.755714.66 7989.1|2|212 TnntTW）（2)1()1(112122221121 nnsnsnnnyxt5251.16099.25563.05.1387143.140 7989.1 Wt 所以接受所以接受H0，因为因为认为这两批学生的平均身高是相等的认为这两批学生的平均身高是相等的.例例3.某种导线，要求其电阻的标准差不得超过某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005欧姆，今在生产
13、的一批导线中取样本欧姆，今在生产的一批导线中取样本9根，根，测得测得s=0.007欧姆欧姆.设总体服从正态分布，参数均未设总体服从正态分布，参数均未知，问在显著性水平知，问在显著性水平=0.05下，能否认为这批导下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大？线的标准差显著地偏大？解解:，220005.0:H原假设原假设备择假设备择假设221005.0:H检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：222)1(Sn )1(22 nW222005.0007.0 s507.152 W9，0.05，507.15)8()1(205.02 n222)1(Sn 68.15005.0007.0822 W 2所以拒绝所以拒绝H0，因为因为即在显著性水平即在显著性水平=0.05下，认为这批导线的标准差显下，认为这批导线的标准差显著地偏大著地偏大.507.15
