1、2022-11-281概率论与数理统计概率论与数理统计 2u第四章第四章 正态分布正态分布 4.1 4.1 正态分布的概率密度和分布函数正态分布的概率密度和分布函数 4.2 4.2 正态分布的数字特征正态分布的数字特征 4.3 4.3 正态随机变量的线性函数的分布正态随机变量的线性函数的分布 4.4 4.4 二维正态分布二维正态分布 4.5 4.5 中心极限定理中心极限定理正态分布正态分布22()21()2xf xe221()2xxe正态分布，又称高斯分布正态分布，又称高斯分布一、邂逅，正态曲线的首次发现正态分布的前世今生正态分布的前世今生棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，拉普拉斯中心极限定理
2、，4.54.5节节二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立）三、正态分布的各种推导四、正态分布开疆扩土五、正态魅影正态分布性质，正态分布性质，4.34.3节节4.1 正态分布的概率密度与分布函数22()21(),2xf xex 6定义：设随机变量定义：设随机变量 的概率密度为的概率密度为X则称则称 服从服从正态分布正态分布，记作，记作 ，其中，其中 及及 是参数是参数X2(,)XN 0正态分布也称为高斯分布正态分布也称为高斯分布特别地，当特别地，当 时，得到正态分布时，得到正态分布 ，称为，称为标准正态分布标准正态分布，0,1其概率密度为其概率密度为(0,1)N221(),2xxex 4.1
3、 正态分布的概率密度与分布函数22()21(),2xf xex 72(,)XN 特点（性质）：特点（性质）：关于关于 对称对称如图以标准正态分布为例，分析如图以标准正态分布为例，分析 的取值对图像的影响的取值对图像的影响4.1 正态分布的概率密度与分布函数8,是对称轴，只是左右平移，改变其左右位置，不改变其形状是对称轴，只是左右平移，改变其左右位置，不改变其形状O改变其形状改变其形状（高矮胖瘦）（高矮胖瘦），不能改变其位置，不能改变其位置4.1 正态分布的概率密度与分布函数22()21(),2xf xex 92(,)XN(0,1)XN221(),2xxex 22()21()2txF xedt2
4、21()2txxedt4.1 正态分布的概率密度与分布函数102(,)XN(0,1)XN221()2txxedt()F x 分布函数分布函数分布函数分布函数22()212txedt的性质：第二章中分布函数所有性质()F x 的性质：11()xO()x0()x是曲线与是曲线与 轴之间，从轴之间，从 到到 点的面积点的面积x0 x0()x0 x标准正态分布的分布函数值表标准正态分布的分布函数值表见见281页附录表页附录表1。我们一起学查表我们一起学查表。【例例】已知已知 X N(0,1)，查表解决以下问题。，查表解决以下问题。求概率求概率(11)PX(22)0.9544PX(1)(1)2(1)10
5、.6826 ()1()xx 注注：13()F x x转换公式转换公式其它结论：141.()()xF xP Xx 121212122.()()()()P xXxP xXxP xXxP xXx3.()()P XaP Xa2(,)XN 2121()()xxF xF x 1()1aF a 4.1 正态分布的概率密度与分布函数211221()()()xxP xXxF xF x 标准化15定理：设定理：设，则，则 落在区间落在区间 内的概率内的概率X2(,)XN 12(,x x当然也有：当然也有：12121212()()()()P xXxP xXxP xXxP xXx21()xxf x dx4.1 正态分
6、布的概率密度与分布函数16证明：证明：例：设例：设，证明：对于任意的，证明：对于任意的 ，有，有()2()1P Xhh(0,1)XN0h 4.1 正态分布的概率密度与分布函数2.(3.03)(3.03)1(3.03)1 0.99950.0005P X 17解：解：1.(2.35)(2.35)0.9906P X 例：设例：设，求：，求：1.(2.35);P X(0,1)XN2.(3.03);P X 3.(1.54);P X 3.(1.54)2(1.54)12 0.9382 10.8764P X 4.1 正态分布的概率密度与分布函数2.4 11.6 1(1.62.4)22PX 18例：设例：设，求
7、，求(1.62.4)PX(1,4)XN解：解：0.71.30.711.3 0.7580(1 0.9032)0.6612查表4.1 正态分布的概率密度与分布函数3.5 1.51.5 1.52.(1.53.5)22PX 19解：解：3.5 1.51.(3.5)(1)0.84132P X例：设例：设，求：，求：1.(3.5);P X(1.5,4)XN2.(1.53.5);PX3.(3);P X 100.84130.50.3413 4.1 正态分布的概率密度与分布函数20解：解：例：设例：设，求：，求：1.(3.5);P X(1.5,4)XN2.(1.53.5);PX3.(3);P X 3 1.53
8、1.53.(3)1(3)122P XP X 10.752.25 10.7512.25 1 0.7734 1 0.98780.2388 4.1 正态分布的概率密度与分布函数21解：解：例：设例：设，求：，求：落在区间落在区间,kk 2(,)XN X1,2,3k其中其中的概率，的概率，正态分布中，尽管正态分布中，尽管 的取值范围是的取值范围是 ，但是它落在区间，但是它落在区间内的概率几乎可认为是内的概率几乎可认为是100%X(,)3,3 称为正态分布的称为正态分布的“”规则规则34.2 正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差 数学期望：数学期望：()E X 方差：方差：2()D X【例例】正态分
9、布的标准化：正态分布的标准化：已知已知 X N(,2)，则有，则有(0,1)XYN()aXbP aXbPX N(,2)4.3 正态分布的线性性质正态分布的线性性质22(,)YabXN abb设随机变量设随机变量 ，则有，则有2(,)XN 其中其中a,b(b 0)为常数。为常数。【例例】已知已知 X N(1,4)，试确定，试确定Y=1-2X的分布，并写出的分布，并写出Y 的的密度函数。密度函数。12(1,16)YXN 2(1)321(),4 2yYfyeyR正态分布的可加性正态分布的可加性 设随机变量设随机变量 ，并且，并且X与与Y独立，则独立，则22(,)xyxyXYN22(,),(,)xxy
10、yXNYN 1.1.两个正态分布情形两个正态分布情形2.2.多个正态分布情形多个正态分布情形 设随机变量设随机变量 相互独立，且相互独立，且 ，则则其中其中 为常数。为常数。22111,nnniiiiiiiiic XNcc12,nXXX2(,)iiiXN 12,nc cc【例例】已知已知 X N(-3,1)，Y N(2,1)，并且，并且X与与Y独立，独立，试确定试确定Z=X-2Y+7的分布，求的分布，求E(Z),D(Z)，写出，写出Z 的密度函数。的密度函数。27(0,5)ZXYN2 101(),10zZfzezR()()2()70E ZE XE Y()()4()5D ZD XD Y4.4 二
11、维正态分布22(,)(,)xyxyX YNr26定义：定义：,0,0,(1)xyxyr r 其中其中 是参数是参数.二维随机变量二维随机变量 服从服从二维正态分布二维正态分布，记作，记作(,)X Y4.4 二维正态分布2722(,)(,)xxxyX YNr 定理定理1 1：设二维连续随机变量：设二维连续随机变量 22(,),(,)xxyyXNYN 则则 与与 的边缘分布都是正态分布，且无论参数的边缘分布都是正态分布，且无论参数 为何值，都有为何值，都有XY(1)r r 并且并且 分别是分别是 与与 的数学期望与方差，的数学期望与方差，22,yyyy 与与XY且且 是是 与与 的相关系数的相关系
12、数.rXY4.4 二维正态分布22(,)(,)xxxyX YNr 28定理定理2 2：设二维连续随机变量：设二维连续随机变量 则则 与与 相互独立的充要条件是相关系数相互独立的充要条件是相关系数 0r XY29客，考点客，考点 8.8.正态分布的性质及概率计算正态分布的性质及概率计算3015-163.covXY，一，与 相互独立，且服从相同的标准正态分布，则X与Y的协方差(X,Y)=_,P(X0)=_.15-162.-XNYNXYXY，二，（4,9），（2,1），与 相互独立，则2 服从_分布.314.5 中心极限定理32 概率论中关于论证概率论中关于论证 “大量独立随机变量的和的极限分布是正
13、态分布大量独立随机变量的和的极限分布是正态分布”的一系列定理统称为的一系列定理统称为中心极限定理中心极限定理4.5 中心极限定理()x 33定理定理1 1：【林德伯格林德伯格莱维中心极限定理莱维中心极限定理】设随机变量设随机变量 相互独立，服从相同的分布，且相互独立，服从相同的分布，且12,nXXX2121lim2ntixinXnPxedtn则对于任何实数则对于任何实数 ，有，有x2(),()0,1,2,iiE XD Xin此定理通常称为此定理通常称为“独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理”34解：设随机变量解：设随机变量 表示第表示第 页的印刷错误的个数，则页的印刷错误的个数，则
14、4001(088)iiPX(0.2)iXPi例：一册例：一册400400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布(0.2)P各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误的个数不各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误的个数不多于多于8888个的概率个的概率.iX则则12400,XXX因为因为 是相互独立是相互独立 ，所以由，所以由“林德伯格林德伯格莱维莱维”中心极限定理中心极限定理()0.2,()0.2,1,2,400iiE XD Xi1400 0.20400 0.288400 0.2400 0.2400 0.2400 0.2
15、niiXP转化为标准正态分布标准化35解：解：4001(088)iiPX例：一册例：一册400400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布(0.2)P各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误不多于各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误不多于8888个的概率个的概率1400 0.20400 0.288400 0.2400 0.2400 0.2400 0.2niiXP转化为标准正态分布标准化1400 0.288880400 0.280niiXP(0.89)(8.94)0.81334.5 中心极限定理()x 36221lim
16、(1)2txnnYnpPxedtnpp设在独立试验序列中，事件设在独立试验序列中，事件 的概率的概率 ，随机变量，随机变量定理定理2 2：【棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理】nY表示事件表示事件 在在 次试验中发生的次数，则对于任何实数次试验中发生的次数，则对于任何实数 ，有，有A()P ApAnx37(810010000)nPY例：某电站供应例：某电站供应1000010000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.80.8各用户用电多少是相互独立的，求：各用户用电多少是相互独立的，求：(1)(1)同一时刻有同一时刻有81008100
17、户以上用电的概率；户以上用电的概率；所以由所以由“棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理”，于是，于是解：解：(1)(1)设随机变量设随机变量 表示表示1000010000户中在同一时刻用电的户数，则户中在同一时刻用电的户数，则nY(10000,0.8)nYB8000,(1)40npnpp2.550(1)nYnpPnpp转化为标准正态分布标准化(2)(2)若每户用电功率为若每户用电功率为100W100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.9750.975的概率供应居民用电的概率供应居民用电(50)(2.5)1 0.99380.006238(
18、100)100nnQPYQP Y例：某电站供应例：某电站供应1000010000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.80.8各用户用电多少是相互独立的，求：各用户用电多少是相互独立的，求：(1)(1)同一时刻有同一时刻有81008100户以上用电的概率；户以上用电的概率；/10080040(1)nYnpQPnpp(2)(2)若每户用电功率为若每户用电功率为100W100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.9750.975的概率供应居民用电的概率供应居民用电/10080000.97540Q解：解：(2)(2)若每户用电功率为若每户用电功率为100W100W，则，则 户用电功率为户用电功率为100 W100 WnY设电站供电功率为设电站供电功率为 W，则，则nYQ(1.96)0.975反查表反查表/10080001.9640Q807840Q 39
