1、目录CONTENTS随机变量及其分布2.12.22.32.4常用的连续型随机变量常用的离散型随机变量随机变量函数的分布E E4 4：在土地里种下一粒种子。：在土地里种下一粒种子。E E1 1：记录一个路口在一段时间内经过的车辆数记录一个路口在一段时间内经过的车辆数1 1=0=0，1 1，2 2，3 3，E E2 2：扔一个骰子，出现的点数扔一个骰子，出现的点数2 2=1=1，2 2，3 3，4，5，664 4=发芽，不发芽发芽，不发芽 E E5 5：在工厂生产的零件中任取一件。：在工厂生产的零件中任取一件。5 5=正品，次品正品，次品 E E3 3：检验灯泡的寿命检验灯泡的寿命3 3=t|t0
2、=t|t0随机试验的结果随机试验的结果虽然不是数量，虽然不是数量，但是可以将它数但是可以将它数量化！量化！引例引例:E E4 4：在土地里种下一粒种子。：在土地里种下一粒种子。4 4=发芽，不发芽发芽，不发芽 E E5 5：在工厂生产的零件中任取一件。：在工厂生产的零件中任取一件。5 5=正品，次品正品，次品 随机试验的结果随机试验的结果虽然不是数量，虽然不是数量，但是可以将它数但是可以将它数量化！量化！0,()1,.XX 不不发发芽芽发发芽芽1,()1,.XX 次次品品正正品品由于试验的结果由于试验的结果是随机的，因而是随机的，因而X=X(X=X()的取值的取值也是随机的，所也是随机的，所以
3、将以将X=X(X=X()称称为随机变量！为随机变量！在样本空间上定义一个集合函数 (),XX04X 6X 2X 2X 今后，我们用今后，我们用随机变量的随机变量的取取值和取值范围值和取值范围来表示随机事来表示随机事件！件！例如：例如：将一枚硬币连抛三次，观察正反面向上的将一枚硬币连抛三次，观察正反面向上的情况。情况。0,TTT (,(,ba ()P aXb (,(,)Pba )(xXPxFxxX随机点随机点实数点实数点)(xXPxF分布函数0000lim()(0)()xxF xF xF x ),(arctan)(xxBAxF()lim()1xFF x ()lim(arctan)xFABx ()
4、lim(arctan)xFABx .1,21BA).(arctan121)(xxxF)1()1(11FFXP)4(1214121.21).(arctan121)(xxxF()()()P aXbF bF a),(arctan)(xxBAxF,0()0,0 xaebxF xx1,1ab 00lim()lim()xxxF xaeb 0ab()lim()xxFaeb 1b 2.12.1Discrete random variablenxxx,21),2,1(kxXPpkknxxx,21()()F xP XxDiscrete Distribution数列数列:);,2,1(kxXPpkk1x2xnxX1
5、p2pnpkp表格表格:概率分布图：概率分布图：PX1x4x3x2x0.511kkp ),2,1(0kpk11kkp()()F xP Xx ().iixxP Xx xxX随机点随机点实数点实数点NonnegativityNormalizationAdditivity注注 意意 Attention 对对离散随机变量的离散随机变量的分布函数分布函数 distribution function 应应注意注意：(1)F(x)是递增的是递增的阶梯函数阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为其间断点即为X的可能取值点的可能取值点;(4)其间断点的其间断点的跳跃高度跳跃高
6、度是对应的概率值是对应的概率值.Figure 1 The distribution function 4 2.5 2 X4ckp1.53c2c3c解：43231cccc112c所以有：4 2.5 2 X1 3kp1.51 41 61 4(1)P X (32)PX 11kkp4 2.5 2 X1 3kp1.51 41 61 4(1)P X (32)PX 解：4 2.5 2 1.5当 时，4x 在 内不含X的任何取值(,x()()0F xP Xx4 2.5 2 1.5当 时，42.5x 在 内含X的一个取值(,x1()()(4)3F xP XxP X ()()F xP Xxx 4 2.5 2 1.
7、5当 时，2.52x 在 内含X的2个取值(,x()()(4)(2.5)F xP XxP XP X 4 2.5 2 1.5当 时，21.5x 在 内含X的3个取值(,x()()(4)(2.5)(2)F xP XxP XP XP X 1173412311134644 2.5 2 1.5当 时，1.5x 在 内含有X的全部取值(,x()()(4)(2.5)(2)(1.5)F xP XxP XP XP XP X 111113464综上所述：0,41,42.537()(),2.52123,21.541,1.5xxF xP Xxxxx 2.5 4 2 137121.5341因为 X的可能取值中没有1，所
8、以(1)P X()0P (32)PX ()().iixxP XxP Xx 4 2.5 2 X1 3kp1.51 41 61 4(1)P X (32)PX 解：(2.5)(2)(1.5)11124643P XP XP X 1、两点分布 或（0-1）分布定义1 设离散型随机变量X的分布列为01X1p kpp则称 X 服从（0-1）分布，记作 X（0-1）分布0,0()1,011,1xF xpxx （0-1）分布的分布函数11-p01F(x)x其中 0p1AA,),10()(ppAP显然，贝努利试验服从（0-1）分布若将一个贝努利试验 独立 重复 地做 n 次，则称之为 n 重贝努利试验。各次试验的
9、结果互不影响每次试验中P(A)=p例如：抛一枚硬币，观察正反面出现的次数。这是一个一重贝努利试验。若将一枚硬币连抛 n n 次，观察正反面出现的次数。令 A A 表示出现正面，那么这是一个 n n 重贝努利试验。袋中有 a a 个红球，b b 个白球，任取一球，观察其颜色，令 A A 表示“取到红球”，则若连续有放回的取 n n 次，那么这是一个 n n 重贝努利试验。()aP Aab 问题：n 重贝努利试验服从什么分布？注意：不放回抽样取 n 次，不是 n 重贝努利试验！假设在 n 重贝努利试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数那么 X 是一个离散型随机变量，其可能取值为 0,1,2，n求
10、：P(X=k)=?k=0,1,2,.,n假设在 n 重贝努利试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数那么 X 是一个离散型随机变量，其可能取值为 0,1,2，n求：P(X=k)=?k=0,1,2,.,n现在：取 n=3，k=2,即进行3次贝努利试验，事件A发生2次的概率。2X 1231231232()P XP A A AA A AA A A 123123123()()()P A A AP A A AP A A A 123123()()()()()()P A P A P AP A P A P A 123()()()P A P A P A 223 23(1)C pp 123123123A A AA
11、 A AA A A()iP Ap)10;,2,1,0()1(pnkppCkXPknkkn2、二项分布 binomial distribution).,(pnBX则称 X X 服从参数服从参数 n n，p p 的二项分布，记为的二项分布，记为1()(1),0,1kkP Xkppk()(01),P App例2.2.1 一批产品中，一等品率为20%，从这批产品中任取20件，则取出的产品中至少 2 件一等品的概率？解：设 X 表示20件产品中一等品的件数，则 X 的可能取值为 0,1,2，20A=抽检产品为一等品()0.2P A(20,0.2)XB(2)P X 1(1)P X1(0)(1)P XP X
12、0020111920201(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)CC20重贝努利试验(1)kkn knP XkC pp X 表示“n 次试验中事件A 发生的次数”例2.2.2 某种特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？9885.005.095.005.095.005.095.0)10()9()8()8(01010101910928108XPXPXPXP令 X 表示治愈的人数，则(10,0.95)XBX 表示“n 次试验中事件A 发生的次数”由此得：从而解得:p=2/3.例2.2.3 设 ，已知 ，求 (2,),(4,)XbpYbp(1)8 9P X(1)
13、P Y 解:由 ，知 P(X=0)=1/9.(1)8 9P X 所以 21 9(0)1P Xp(1)1(0)P YP Y 41180 81p 设离散型随机变量 X X 所有可能取的值为 0,1,2,0,1,2,，且其分布律为(0,1,2,)!keP Xkkk ().XP 泊松分布主要用于描述（i）稀有事件发生的概率;（ii）单位时间或单位面积上的计数过程2.4.4(0.5)12.X P例例一一铸铸件件的的砂砂眼眼（缺缺陷陷）数数，试试求求此此铸铸件件上上至至多多有有 个个砂砂眼眼（合合格格品品）的的概概率率和和至至少少有有 个个砂砂眼眼（不不合合格格品品）的的概概率率解：令 X 表示铸件的砂眼
14、数，则(0.5)XP故所求事件的概率为：(1)(0)(1)P XP XP X010.50.50.50.50.910!1!ee(2)1(1)0.09P XP X5 0.99P XNXN 5050.99!kNkek 泊松分布可作为二项分布的一种近似计算。（二项分布的泊松逼近定理）设(,),XB n p当 n 很大，np很小时，有.(1)!kkkn kn pnBC ppek 其中np 解：设 X=击中目标的次数，则 X 的可能取值为0,1,2,400根据题意可知，(400,0.01)XB(2)P X 1(1)P X 则所求事件的概率为又因为400,0.01,4npnp 利用泊松逼近定理有：()(1)
15、!kkkn kneP XkC ppk 0444(0)0!eP Xe1444(1)41!eP Xe44(2)1(0)(1)14P XP XP Xee 400重贝努利试验 独立重复的进行一个试验（无数次），设事件A A在每次试验中发生的概率为 p p，0p10p1，用 X X 表示事件 A A 首次发生时已进行的试验次数，则X X的可能取值为 k=1,2k=1,2，,若A Ai i=在第i i次试验中事件A A发生，则有()P Xk()XG p或表示为：直到事件A发生为止，已经进行 的试验次数111()(1),1,2,kkkP AAAppk11()(1)0.90.1,1,2,kkP Xkppk(3
16、)(1)(2)(3)P XP XP XP X20.10.9 0.10.90.10.271例如：x 2.32.3Continuous random variableprobability density function of X2.12.1Continuous random variable()()()kkkxxxppF xP Xxp t dtp t 概概率率分分布布列列概概率率密密度度1.()0();f xx 2.()1;f x dx 3.()()()();xF xP Xxf t dtx 4.()()().Fxf xxf x 为为的的连连续续点点 由概率密度求分布函数由概率密度求分布函数 由
17、分布函数求概率密度由分布函数求概率密度“规范性规范性”，用于确定待定参数，用于确定待定参数 由于由于F(x)F(x)是变上限积分函数，则是变上限积分函数，则F(x)F(x)是实数集上的是实数集上的连续函数连续函数 非负性非负性 NonnegativityNormalizationAdditivity需要指出的是：需要指出的是：对于连续型对于连续型R.V.XR.V.X来说，来说，X X 取任一指定实数值取任一指定实数值 a a 的概率均为的概率均为0 0即：即：()0P Xa0()lim()aaxxP Xaf t dt 因此，对于连续型因此，对于连续型R.V.XR.V.X来说，来说，()()()
18、()P aXbP aXbP aXbP aXb这条性质对于离散型这条性质对于离散型R.V.XR.V.X来说不成立！来说不成立！注意区分：注意区分：f(x)f(x)是概率密度函数，用来求解概率是概率密度函数，用来求解概率 F(x)F(x)！P(A)=0 A=.0lim()0axaxf t dt 【例1】设随机变量X的概率密度为2,11()0,1Axxf xx求：A A的值 分布函数 F(x)(|3 3)PX 解：()1;f x dx1111()()()()f x dxf x dxf x dxf x dx-1111arctan|Ax11211()1Af x dxdxx()1442AA 2A 求：A
19、A的值 分布函数 F(x)(|3 3)PX【例1】设随机变量X的概率密度为22,1(1)()0,1xxf xx 解：333(|)()333PXPX3333233332()(1)f x dxdxx 33332arctan|x-113 33 322()663 【例1】设随机变量X的概率密度为2,11()0,1Axxf xx求：A A的值 分布函数 F(x)(|3 3)PX 解：()()(),xF xP Xxf t dt-11xxx()()0 xF xf t dt212()(1)xxF xf t dtdtt21arctan2 x1 x当 时，11 x当 时，【例1】设随机变量X的概率密度为2,11(
20、)0,1Axxf xx求：A A的值 分布函数 F(x)(|3 3)PX 解：-11xxx0,121()arctan,121,1xF xxxx 1212()()1(1)xF xf t dtdxx1 x当 时，,0,0,0,)1(1)(xxexxFx;21,21,1XPXPXP)1(1FXP 【解】（1）由分布函数求概率公式得：1)11(1e;211e)1()2(21FFXP0)21(1 2e;312e21121XPXP)21(1 F)211(121e.23121e （2）对分布函数求导数即得概率密度：,0,0,0,)1(1)(xxexxFx.0,0,0,)()(xxxexFxfx【例3】设连续
21、型随机变量 X 的分布函数为0,0()sin,021,2xF xAxxx 求：系数 A？根据F(x)的连续性，有2lim()()12xF xFA 连续型1.密度函数 X f(x)(不唯一)()()xF xf t dt2.4.P(X=a)=0离散型1.分布列:pn=P(X=xn)(唯一)2.F(x)=()iixxP Xx 3.F(a+0)=F(a);P(a a 和和 B=Y a 独立独立，解解:因为因为 X 与与 Y 同分布，故同分布，故 P(A)=P(B),P(A B)=P(A)+P(B)P(A)P(B)2238ax dx318a 从中解得从中解得34a 且且 P(A B)=3/4,求求常数常
22、数 a.且由且由A、B 独立，得：独立，得：=2P(A)P(A)2=3/4从中解得从中解得:P(A)=1/2,由此得由此得 0a a)例例4例4 某种型号电子元件的寿命 X(小时)具有以下的概率密度函数现有一批元件(设各元件工作相互独立)，问：任取一只，其寿命大于1500小时的概率是多少？任取4只，4只寿命都大于1500小时的概率是多少？任取4只，4只中至少有一只寿命大于1500小时的概率？若已知一只元件的寿命大于1500小时，则该元件的寿命大 于2000小时的概率是多少？21000,1000()0,xf xx 其其它它解：（1）(1500)P X 1500()p x dx 215001000
23、23dxx （2）由于各元件工作独立，故所求事件的概率为：4(1500)P X 4216381（3）所求事件的概率为：41500=P只只中中至至少少一一只只寿寿命命大大于于 41(1500)P X4150021000100080=181dxx 任取一只，其寿命大于1500小时的概率是多少？任取4只，4只寿命都大于1500小时的概率是多少？任取4只，4只中至少有一只寿命大于1500小时的概率？各元件工作相互独立 令 则所求事件的概率为：1500AX 2000BX(|)?P B A 已知：2(),3P A 且有：22000()(2000)100012P BP Xdxx 又因为：BA 所以()()3
24、(|)()()4P ABP BP B AP AP A(4)若已知一只元件的寿命大于1500小时，则该元件的寿命大 于2000小时的概率是多少？).,(baUX0,(),1,.xaxaF xaxbbaxb xo)(xf a bxo)(xF a b 11,()0,axbp xba 其其它它均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变量变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间.),(性是相同的性是相同的内的可能内的可能中任意等长度的子区间中任意等长度的子区间落在区间落在区间baxo)(xf a bab 1 lablp l例2.4.1 设某电子元件的寿命X（单位：小时）服从(300,5
25、00)上的均匀分布，问：元件寿命大于450小时的概率？解：由题意可知：(300,500)XU所以概率密度函数为50045010.25200dx 所求事件的概率为1,300500,()2000,xp x 其其它它 例2.4.2 假设 X U(2,5).现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：记 A=X 3,则 P(A)=P(X 3)设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)230233321213333CC =20/27已知(2,5)XU531233dx 例2.4.3 某公司经销某种原料
26、，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从（300,500)上的均匀分布，每售出一吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，则公司损失0.5（千元）问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？1,300500()2000,xp x 其其它它解：由已知 ，可得(300,500)XU设公司应组织 a 吨货源，收益 Y 千元。1.5,()1.50.5(),aXaYg XXaXXa 故平均收益为()()()E Yg x p x dx 5003001(20.5)1.5200aaxa dxadx 221900300200aa450a 当当吨吨时时，平平均均收收益益最最大大。,0,()0
27、,xexfx 其其它它 ().XExpOx)(xf注：注：指数分布常用来描述对某指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间一事件发生的等待时间.例如例如，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.10()()00 xxexF xf t dtx 易求得易求得X的分布函数的分布函数0()000 xexf xx 为为常常数数 0 xx0()xtedt 0|txe 凑微分例2.4.3 设打一次电话所用时间（分钟）服从参数为0.2的指数分布。如果有人刚好在你面前走进公用电话亭并
28、开始打电话（假定只有一部电话），试求你等待：超过 5 5 分钟的概率；5 5分钟到1010分钟之间的概率？解：设 X 表示打电话所用的时间则 exp(0.2)X其概率密度函数为0.20.2,0()0,0 xexf xx 根据题意可有：(5)P X 100.20.2101255(510)0.2xxPXedxeee 即：等候的时间0.250.2xedx 0.215xee 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.(1)正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 22()21()(),2xf xe
29、x ).,(2NX,(0),(2)正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当;0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x 222)(21)(xexf;,)(,)6(轴轴作作平平移移变变换换着着只只是是沿沿图图形形的的形形状状不不变变的的大大小小时时改改变变当当固固定定xxf;)5(轴轴为为渐渐近近线线曲曲线线以以 x.,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变
30、当固定当固定xf(3)正态分布的分布函数及其图像正态分布的分布函数及其图像22()21()()ed2txF xP Xxt 连续型随机变量的分布函数的图像是一条连续没有间断的曲线！标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 4.标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为221()()ed,.2txxP Xxtx 定义5在正态分布 中，如果 ，则称该正态分布为标准正态分布，记作2(,)N 0,1 (0,1)XN222)(21)(xexf标准正态分布的图形概率密度函数概率分布函数0 2、标准正态分布的概率计算、标准正态分布的概率计算若 ，则有(0,1)XN)(xXPx xXP 1
31、xXP 11()P Xxx )()(,)(.1xxyx 轴轴对对称称曲曲线线关关于于是是偶偶函函数数)(1)(.3xx 4.|2()1P Xcc|P XcPcXc ()()cc 2()1c 5.|2(1()PXcc|1|PXcPXc )(1)(.3xx ()(1()cc 2(1()c 1|PXc 1(2()1)c 例例1求以下概率求以下概率已知已知),1,0(NX68.0)1(XP74.1)2(XP24.1)3(XP)68.0(=0.7517)74.1(1 =1-0.9591=0.0409)24.1(24.1 XP=0.89251)96.1(2 96.1|)4(XP74.168.0)5(XP8
32、4.1|)6(XP=2*0.975-1=0.95)68.0()74.1()68.0(1()74.1(=0.9591-1+0.7517=0.7108)84.1(1(2 =2*(1-0.9671)=0.06581)(2|.4 xxXP 5.|2(1()PXxx 一般正态分布的标准化过程一般正态分布的标准化过程对于一般的正态分布 只要通过一个线性变换就能将其转化为标准正态分布！).,(2NXdtdu ()F xtx xu ()x2212xuedu设2(,)XN 22()21()()ed2txF xP Xxt 则有tu 令221()ed2txxt 因此：则它的分布函数可以写成：若2(,),XN ()(
33、)()()XxxF xP XxP 对于任意区间 则有(,a b()()()aXbF xP aXbP()()ba 【例2】若 ，求(3,4)XN(25)PX23353(25)()222XPXP(1)(0.5)(1)1(0.5)0.5328 3.()1()xx 1(560);2(500200);3()0.1,.P XP XP Xxx（）（）（）求求2(500,60)XN已知解：1(560)P X（）1(560)P X500560500 1()6060XP 605005601 11 8413.01 1587.0(500,3600),XN【例3】设求：2(500200)P X 解（）：0008.099
34、96.0121(500200)P X2005002001()606060XP 60200602001131021310121(560);2(500200);3()0.1,.P XP XP Xxx（）（）（）求求(500,3600),XN【例3】设求：正态分布一定要转化为标准正态分布才能进行计算！282.160500 x为单调不减函数，故需因3()0.1,P Xx求解（）要：1()0.1P Xx即即要要求求，1.0605001 x即需282.19.060500 x92.576x。时，才能使即当1.092.576xXPx线性插值法),2,1,0(kxXPpkk;,21kyyy),(jiyyji);
35、,2,1()()(kxXPxgXgPyYPkkk),()()(mjikxgxgxgymjikxXPxXPxXPyYPX-1012pk0.20.30.10.4pk0.20.30.10.4X-1012X-1-2-101pk0.20.30.10.4X2-1-103pk0.30.30.4110102XPXPXPYP.3.01.02.0)()(yXgPyYPyFY)(xfX)(yfYdxxfIXPyIXy)()(yfY),)(xxfX)(yFY)(2yXPyYPyFY,0,0),(yyXyPyP,0,)(,0,0ydxxfyyyX)()(yFyfYY0,0,11()()(),0,22XXyfyfyyyy 0,0,1()(),0.2XXyfyfyyy ,21)(22xex.0,0,0,21)(221yyeyyfyY)(xxfX,0,|,)(|)()(其它yyhyhfyfXY)0)(0)(xgxg).(),(max),(),(mingggg
