1、2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授1第二章 完全信息静态博弈 所谓完全信息静态博弈即各博弈方同时决策，且所有博弈方对博弈中的各种情况下的得益都完全了解的博弈问题l纳什均衡l无限策略博弈的解和反应函数l混合策略l纳什均衡的存在性2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授2 2.1.1 上策均衡分析 1 上策：在一个博弈问题中，如果不管其他博弈方选择什么策略，能够给一博弈方带来最大得益的策略，称为这个博弈方的一个上策。2 上策均衡：所有博弈方的上策组成的策略组合，称为上策均衡。上策均衡分析是最基本的博弈分析方法 对于一个博弈问题，上策均衡不一定存在 2.1 基本分析思路和方法基
2、本分析思路和方法2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授3 2.1.2 严格下策反复消去法1 严格下策：在一个博弈问题中，如果不管其他博弈方选择什么策略，一博弈方的某个策略给他带来的得益比另一种策略带来的得益小，一种策略称为相对于后一种策略的一个严格下策。2 严格下策反复消去法：通过策略的两两比较，反复寻找各博弈方的严格下策，并把它们消去的方法。严格下策反复消去法的使用范围比上策均衡分析宽。对于一个博弈问题，严格下策不一定存在。2.1 基本分析思路和方法基本分析思路和方法2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授42.1.3、划线法1、方法：对于其他博弈方每一种策略或者策略组合，
3、找出自己的最佳、方法：对于其他博弈方每一种策略或者策略组合，找出自己的最佳策略，并在得益上划线。策略，并在得益上划线。2、应用、应用例例1、得益距阵：、得益距阵：博弈方 2 左左 中中 右右 上博弈方1 下只有策略组合（上，中）的双方策略对于对方策略的最佳策略1，01，30，40，20，12，02022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授52.1.4 箭头法 1、方法、方法 考察在每个策略组合处各个博弈方能否通过提高单独改变自己的策考察在每个策略组合处各个博弈方能否通过提高单独改变自己的策略略 而增加得益。如果能，用箭头指示得益增加的方向。而增加得益。如果能，用箭头指示得益增加的方向。例例
4、1、得益距阵：、得益距阵：博弈方 2 左左 中中 右右 上 博弈方1 下 只有策略组合（上，中）的得益数组处只有指向的箭头而没有指出的得益数组处只有指向的箭头而没有指出的 箭头，箭头，双方策略对于对方策略的最佳策略1，01，30，10，40，22，02022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授62.2、纳什均衡2.2.1纳什均衡的定义 1、博弈的表示：如果一个博弈G有n个博弈方，每个博弈方的全部可选策略的集合我们称为“策略空间”，分别用S1，Sn表示；sijSi 表示博弈方i的第j个策略，其中j可取有限个值或者有限个值；博弈方i的得益用表示ui，有限个博弈方的博弈G记为G=S1,Sn;u1
5、,un 2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授72.2、纳什均衡 2、纳什均衡的定义：对于博弈G=S1,Sn;u1,un，如果某个策略组合(s1*,sn*)中任意博弈方i的策略si*都是对其他博弈方策略组合(s1*,si-1*,si+1*,sn*)的最佳策略，即 ui(s1*,si-1*,si*,si+1*,sn*)ui(s1*,si-1*,sij,si+1*,sn*)对于任意sijSi 都成立，则称(s1*,sn*)为G的一个纳什均衡。3、纳什均衡的特征：在纳什均衡的策略组合中，各个博弈方都不愿意单独改变策略，具有稳定性。纳什均衡具有一致预测性和普遍存在性两个重要性质,体现了纳什均
6、衡2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授82.2.2 纳什均衡的一致预测性质纳什均衡的一致预测性质 1、一致预测性：如果所有的博弈方都预测特定的博弈结果会出现，那么所有博弈方都不会利用该预测方法或者预测能力，选择与预测结果不一致的策略。如果没有一致预测性质的博弈分析，将会出现预测和行为之间的矛盾，甚至自我否定。2、纳什均衡具有一致预测性。任何非纳什均衡都不是具有一致预测性。2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授92.2.3 纳什均衡的求解l上策均衡一定是纳什均衡纳什均衡,但是但是上策均衡不一定存在l划线法:例:囚徒困境博弈 囚徒2 不坦白 坦白 囚 不坦白 徒 1 坦白 l
7、箭头法 例：夫妻之争博弈 丈夫2 时装 足球 妻时装 子 足球 1 1，1 1 8 8，0 0 0 0，8 8 5 5，5 5，1 1 ，0 0 0 0，2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授102.2.4严格下策反复消去法与纳什均衡严格下策反复消去法与纳什均衡l严格下策：对于某一策略 ，若 则称 为 的严格下策。l命题2.1 在n个博弈方的博弈 中，如果严格下策反复消去法排除了 以外的所有策略组合，则 一定是G的唯一的纳什均衡。l命题2.2 在n个博弈方的博弈 中，如果 是G的一个纳什均衡，则严格下策反复消去法一定不会将它消去。11,.,;,.,nnGSS uu*1(,.,)nss
8、*1(,.,)nss11,.,;,.,nnGSS uu*1(,.,)nss1(,.,.,)insss*11(,.,.,)(,.,.,)iiniinu sssu sss)s,s,s(ni1)s,s,s(n*i12022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授11纳什均衡点是一种局部均衡点，可以有很多个，也可以不存在。来源于策略组合的策略可能有n！个（离散），也可能无穷多个（连续），那么求解将会十分烦琐。得益 对于任一策略（s1,sn），其总得益为各博弈方得益之和 那么对于具有多个纳什均衡点的博弈，则对应的应有最优纳什均衡的概念，而对应于最优纳什均衡的点为全局最优点。此处最优的含义为稳定性而不是得
9、益之和最大。如何均衡稳定与收益？11(,.,)(,.,)ninu ssu ss2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授122.3 无限策略的解和反应函数l古诺的寡头模型l反应函数l伯特兰德的寡头模型l公共资源问题2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授132.3.1古诺的寡头模型模型：模型：设一市场有1、2两个厂商生产同样的产品。如果厂商1的产量为q1,厂商2的产量为q2，则市场总产量为Q=q1+q2。设市场出清价格是P=P(Q)=8-Q，生产无固定成本，单位变动成本为2，讨论其纳什均衡。分析：1、个体收益最大化博弈方1 1利润：博弈方2 2利润：2111 1112111 21
10、()8()26uqP QCqqqqqqqqq2222 2212221 22()8()26uqPQCqqqqqqqqq2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授142.3.1古诺的寡头模型 在本博弈中，的纳什均衡的充分必要条件是 和 的最大值问题：第一个对q1求导，并将q1*代入，6-q2*-2q1*=0 第二个对q2求导，并将q2*代入，6-q1*-2q2*=0 解得 唯一解 2、社会收益最大化：假设总产量为Q Q，总收益为U UQPQP（Q Q）CQCQ Q Q（8-Q8-Q）2Q2Q6Q6QQ Q2 2 其最大值为Q Q*=3,U=9=3,U=9 该结果与纳什均衡有较大的差异，这就是
11、纳什均衡是源于各厂商追求自身利益最大化的结果。*12(,)qq*1q*2q12*21121*22122max(6)max(6)qqqq qqqq qq*122,u=8qq2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授152.3.2 反应函数 反应函数反应函数每个博弈方针对其他博弈方所有策略的最佳反应构成的函数。而各个博弈方反应函数的交点交点（如果有的话）就是纳什均衡。2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授162.3.2 反应函数古诺模型l在古诺模型中厂商1和厂商2的反应函数分别为1122221111()(6),()(6)22qR qqqR qqq2q1（0,6）（0，3）R1（q2
12、）R2（q1）（2，2）60（3,0）（6,0）从左图可以看出，当一方的选择为0时，另一方的最佳反应为3，这正是我们前面所说过的实现总体最大利益的产量，因为一家产量为零，意味着另一家垄断市场。当一方的产量达到6时，另一方则被迫选择0，因为实际上坚持生产已无利可图。2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授172.3.3 伯特兰德的寡头模型 l模型：两个厂商生产的是同类产品，但是在品牌、质量和包装上有不同。产品具有替代性，但是不完全替代。在该模型中厂商选择价格而不是产量厂商1的价格与需求函数：P1，厂商2的价格与需求函数：P2，其中，d1，d20为两厂商产品的替代系数。假设两厂商无固定成本
13、，边际成本分别为c1和c2。22122222 1(,)qq P Pab Pd P111211 112(,)qq P Pab Pd P2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授182.3.3 伯特兰德的寡头模型 收益：纳什均衡：如果a1=a2=28,b1=b2=1,d1=d2=0.5,c1=c2=2,那么 P1*=P2*=20,u1*=u2*=324。与古诺模型一样，其纳什均衡不是协商、合作得到的最佳结果，11121 11 11111 11 2221222222222 22 1(,)()()(,)()()uu P PPqcqPcabPd Puu P PPqc qPcab Pd P*1212
14、2 211 11 2121 212*21211 122 21 2121 2122()()442()()44dbPab cabcbbd dbbd ddbPabcab cbbd dbbd d2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授192.3.4公共资源问题l公共资源（1）没有哪个个人、企业或其他经济组织拥有；（2）大家都可以自由利用，具有这样两个特征的自然资源或人类生产的供大众免费使用的设施或财货。比如：地下水、公共道路（没有限制）等。l例 设某村庄有n个农户，一公共草地，可养羊数为qi(i=1,n)为n个农户各自的策略空间，当各户养羊数为q1,qn时，总数为Q q1 qn，每只羊的产出为
15、羊的总数Q的减函数VV(Q)=V(q1 qn)，假设每只羊的成本为c，则农户i养qi只羊的得益为：ui=qiV(Q)-qic2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授202.3.4公共资源问题实例 设n3，V100Q100（q1q2q3），c4 三农户的得益函数和反应函数：u1q1100(q1q2q3)4q1，q1R1(q2,q3)=48-0.5q2-0.5q3 u2q2100(q1q2q3)4q2，q2R1(q1,q3)=48-0.5q1-0.5q3 u3q3100(q1q2q3)4q3，q3R1(q1,q2)=48-0.5q1-0.5q2 纳什均衡：q1*=q2*=q3*=24,u1
16、*=u2*=u3*=576 最大总体收益：u*=2304 Q*=48 由此说明，纳什均衡的解常常是低效率的，而在现实生活中却经常出现。如果采取最佳策略（集体理性），那么个体的贪婪性将会来破坏这一平衡。2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授212.4 混合策略l概念l应用2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授222.4 混合策略l在前面的例子，如猜硬币，齐威王田忌赛马，夫妻之争等博弈问题不存在纳什均衡策略组合，然而这类问题十分常见。l 例1 小偷与守卫的博弈 守卫 睡 不睡 小 偷 偷 不偷l例2 猜硬币 1.若被对手事先知道出现哪一面，肯定输 2.若正面出现的概率为p，负面
17、为1-p，且p0.5，则猜正面的话赢的几率就比较大。B,DB,D-P,0-P,00,S0,S0,00,02022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授232.4 混合策略l特点：1.自己的选择不能让对手预先知道2.若重复多次，则不让对手发现其中的规律。除非有意输（一种行贿的手段），注意行贿只是一个手段，有意无意间让对手了解自己的策略或规律。2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授242.4.1 概念的提出l定义：定义：在博弈G=s1,sn;u1,un中，博弈方i的策略空间为Si=si1,sik，则博弈方i以概率分布pi=(pi1,pik)随机选择其k个可选策略称为一个“混合策略”，其
18、中0pij1对j=1,k都成立且pi1+pik=1。l相对于这种以一定概率分布在一些策略中随机选择的混合策略，确定性的具体的策略我们称为“纯策略”l混合策略的原则：自己的策略选择不能被另一方预知或猜到。即在决策时利用随机性。选择每种策略的概率一定要恰好使对方无机可乘，即让对方无法通过有针对性的倾向某一策略而占上风。2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授252.4.2 应用例1：博弈方1 1选A A、B B的概率：p pA A，p pB B；博弈方2 2选C C、D D的概率：p pC C，p pD D。原则应用：博弈方1选A和B的概率p pA和p pB B一定要使博弈方2 2选C C
19、的期望得益和选D D的期望得益相等。即 p pA A 3 3 p pB B1 1 p pA A 2 2 p pB B5 5又由p pA A p pB B1 1，可得 p pA A0.80.8，p pB B0.20.2，此即博弈方1 1应选的混合策略。同理可得博弈方2 2的混合策略为 p pC C0.8,p0.8,pD D0.20.2。纳什均衡：1 1（0.80.8，0.20.2），），2 2（0.80.8，0.20.2）期望得益：u1e pA.pC.u1（A，C）pA.pD.u1（A，D）pB.pC.u1（B，C）pB.pD.u1（B，D）2.6 u2e2.6 单独一次博弈的结果可能是四种状态
20、的如何一种，然而多次独立重复博弈得到如上的结果是可能的。2，35，23，11，5 2 2 C D C D A A 1 1 B B2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授262.4.2 应用l混合策略的方法不仅可以解决不存在纯策略纳什均衡的博弈问题，同样可应用于存在多个纯策略纳什均衡的博弈问题。l例2 夫妻之争 该博弈与上一个博弈的不同之处在 于每一方所希望对方知道自己的策略选 择以达到有利于自己的结果。现实中，这类问题多通过协商解决以免两败俱伤。在此我们假设夫妻双方不可协商，互不通消息。令p pw w（时），p pw w（足）分别表示妻子选择时装表演和足球的概率；p ph h（时），p
21、 ph h（足）为丈夫选择时装表演和足球的概率。同样的分析方法可得p pw w（时）=0.75,p=0.75,pw w（足）=0.25;p=0.25;ph h（时）=1/3=1/3,ph（足）=2/3=2/3.双方的期望得益分别为u uw we e0.670.67，u uh he e0.750.75。丈 夫 时装 足球妻 时装子 足球2，10，00，01，32022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授272.5 纳什均衡的存在性l允许采取混合策略的情况下，是否每个博弈都有纳什均衡？l纳什定理 在一个有n个博弈方的博弈Gs1，sn；u1，un中，如果n是有限的，且si都是有限集（对i1，n）
22、，则该博弈至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授282.6 纳什均衡的选择和分析方法扩展l多重纳什均衡博弈的分析多重纳什均衡博弈的分析 帕累托上策均衡帕累托上策均衡 风险上策均衡风险上策均衡 聚点均衡聚点均衡 相关均衡相关均衡l共谋和防共谋均衡共谋和防共谋均衡 多人博弈中的共谋问题多人博弈中的共谋问题 防共谋均衡防共谋均衡2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授292.6.1多重纳什均衡博弈的分析多重纳什均衡博弈的分析 一个博弈中存在的纳什均衡不止一个，就是一个多重纳什均一个博弈中存在的纳什均衡不止一个，就是一个多重纳什均衡的博弈问题
23、衡的博弈问题l帕累托上策均衡 n概念概念 根据帕累托效率意义上的优劣关系根据帕累托效率意义上的优劣关系 选择出来的纳什均衡，就是帕累托选择出来的纳什均衡，就是帕累托 上策均衡。上策均衡。n案例：案例：“战争与和平战争与和平”博弈问题博弈问题（1 1）帕累托上策均衡：）帕累托上策均衡：（和平，和平）（和平，和平）（2 2）实际发生战争的原因：包括决策者考虑短期利益、个人或）实际发生战争的原因：包括决策者考虑短期利益、个人或 小集团利益更多，决策者确实缺乏理智和理性，或者局部地小集团利益更多，决策者确实缺乏理智和理性，或者局部地 区或特定时期战争的利益比上述博弈中所假设的要大。区或特定时期战争的利
24、益比上述博弈中所假设的要大。国家国家2 2 战争战争 和平和平 国国 战争战争 家家 1 和平和平5，58，1010，810，102022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授302.6.1多重纳什均衡博弈的分析多重纳什均衡博弈的分析u概念概念 如果所有博弈方在预计其他博弈方采用两种纳什均衡的策略概如果所有博弈方在预计其他博弈方采用两种纳什均衡的策略概率相同时，都偏爱其中某一纳什均衡，则该纳什均衡就是风险率相同时，都偏爱其中某一纳什均衡，则该纳什均衡就是风险上策均衡。上策均衡。l风险上策均衡u案例：猎鹿博弈案例：猎鹿博弈 （1 1）（兔子，兔子）是这个猎鹿博弈）（兔子，兔子）是这个猎鹿博弈的
25、一个风险上策均衡，精明的博弈方的一个风险上策均衡，精明的博弈方往往会选择抓兔子而不是抓鹿。往往会选择抓兔子而不是抓鹿。（2 2）博弈方对风险上策的选择倾向，）博弈方对风险上策的选择倾向，有一种自我强化的机制。有一种自我强化的机制。博弈方2 鹿 兔子 鹿 兔子5，50，33，03，3博弈方 22022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授312.6.1多重纳什均衡博弈的分析多重纳什均衡博弈的分析l聚点均衡 并不是所有无帕累托优劣关系的并不是所有无帕累托优劣关系的多重纳什均衡博弈中，人们的选多重纳什均衡博弈中，人们的选择都没有规律性。有时人们也会利用博弈规则以外的特定信息来择都没有规律性。有时人
26、们也会利用博弈规则以外的特定信息来做选择，如博弈方共同的文化背景下的习惯、规范等做选择，如博弈方共同的文化背景下的习惯、规范等聚点聚点聚点均衡聚点均衡 是指在多重纳什均衡的博弈中，双方同时选择一个聚点构成的是指在多重纳什均衡的博弈中，双方同时选择一个聚点构成的纳什均衡纳什均衡。当然聚点均衡首先是纳什均衡，是多重纳什均衡中当然聚点均衡首先是纳什均衡，是多重纳什均衡中比较容易被选择的纳什均衡。比较容易被选择的纳什均衡。经典例子经典例子 城市博弈、夫妻之争博弈城市博弈、夫妻之争博弈2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授322.6.1多重纳什均衡博弈的分析多重纳什均衡博弈的分析l相关均衡相关
27、均衡p概念概念 相关均衡是这样的一种均衡选择机制：博弈方主动寻相关均衡是这样的一种均衡选择机制：博弈方主动寻求方法，设计某种形式的均衡选择机制，以解决多重求方法，设计某种形式的均衡选择机制，以解决多重纳什均衡选择问题。纳什均衡选择问题。如如:在夫妻之争博弈中在夫妻之争博弈中,设计选择机制设计选择机制:如果天气好一起去看足球如果天气好一起去看足球,否否则要求去看时装表演则要求去看时装表演.p存在问题存在问题 在比较复杂的、设定得不是很清楚的现实博弈问题这在比较复杂的、设定得不是很清楚的现实博弈问题这个中，博弈方是否有能力设计出一种有足够的理解和个中，博弈方是否有能力设计出一种有足够的理解和和相互
28、信任的均衡机制，是有一定疑问的。和相互信任的均衡机制，是有一定疑问的。应用应用:如社会经济制度创新方面如社会经济制度创新方面.2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授332.6.2共谋和防共谋均衡l多人博弈中的共谋问题多人博弈中的共谋问题n共谋问题共谋问题 在有多个博弈方的多人博弈中，如果部分博弈方通过某种形式在有多个博弈方的多人博弈中，如果部分博弈方通过某种形式的默契或串通形式形成小团体，可能得到比不串通时更大的收益，的默契或串通形式形成小团体，可能得到比不串通时更大的收益，那么这些博弈方就有很强的相互串通，联合行动的动机。这时候那么这些博弈方就有很强的相互串通，联合行动的动机。这时
29、候通常的纳什均衡分析在这样的博弈问题中稳定性会遇到问题，具通常的纳什均衡分析在这样的博弈问题中稳定性会遇到问题，具有稳定性的策略组合也不是一般意义上的纳什均衡。有稳定性的策略组合也不是一般意义上的纳什均衡。n共谋问题带来的分析方法问题共谋问题带来的分析方法问题 以往的纳什均衡分析、帕累托上策均衡和风险上策均衡等方法都以往的纳什均衡分析、帕累托上策均衡和风险上策均衡等方法都不能解决共谋问题。不能解决共谋问题。2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授34 博弈方2 L RL R U U D D 博弈方2 L RL R U U D D2.6.2共谋和防共谋均衡0 0，0 0，10105 5，
30、5 5，0 05 5，5 5，0 01 1，1 1，5 5博弈方 1博弈方 1-2-2，-2-2，0 05 5，5 5，0 05 5，5 5，0 01 1，1 1，5 5博弈方博弈方3-A3-A博弈方博弈方3-B3-Bl多人博弈中的共谋问题多人博弈中的共谋问题l纯策略纳什均衡纯策略纳什均衡(U,L,A)(U,L,A)和和(D,R,B),(D,R,B),前者在帕累托效率和风险上前者在帕累托效率和风险上策意义上都优于后者策意义上都优于后者,但是如果博弈方但是如果博弈方1 1和和2 2串通或者共谋串通或者共谋,结果就结果就不一样不一样.2022-11-29经济博弈论讲义 张卫国 教授352.6.2共
31、谋和防共谋均衡l防共谋均衡防共谋均衡u定义：定义：满足下列要求的均衡策略组合称为满足下列要求的均衡策略组合称为“防共谋均衡防共谋均衡”。（1 1）没有任何单个博弈方的）没有任何单个博弈方的“串通串通”会改变博弈的结果。会改变博弈的结果。（2 2）给定选择偏离的博弈方有再次偏离的自由时，没有任何两）给定选择偏离的博弈方有再次偏离的自由时，没有任何两 个博弈方的串通会改变博弈的结果。个博弈方的串通会改变博弈的结果。（3 3）依次类推，直到所有博弈方都参加的串通也不会改变博弈）依次类推，直到所有博弈方都参加的串通也不会改变博弈 的结果。的结果。u目标：目标：排除共谋问题给博弈结果带来的不稳定性和问题。排除共谋问题给博弈结果带来的不稳定性和问题。u防共谋均衡是非合作博弈的均衡概念，而不是合作博防共谋均衡是非合作博弈的均衡概念，而不是合作博弈的概念。弈的概念。
