1、有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获1经经 济济 数数 学学 线线 性性 代代 数数第4讲 矩阵的概念及运算教师：边文莉有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获2一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入1.将某种产品从甲，已，丙三个产地运往四个销将某种产品从甲，已，丙三个产地运往四个销地地A,B,C,D；调运计划数见下表。调运计划数见下表。ABCD甲甲385436283623已已432513125782丙382414258353385436283623432513125782382414258353可表示为：可表示为：下一步下一步有生
2、命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获3 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij,2,1;,2,1 二、矩阵的定义二、矩阵的定义mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 矩阵矩阵.简称简称 矩阵矩阵.nm nm 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获4 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211记作记作第一行第m行简记为简记为 .ijnmijnmaaAA .mnA这个数称为 的元素ija称为第称为第i i行行j j列的元素列的元素.下一步下一步有生命
3、就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获5几种特殊矩阵几种特殊矩阵(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵.也可记作也可记作例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获6只有一列的矩阵只有一列的矩阵,21 naaaB称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).称为称为(或或）.n 00000021（3）形如形如
4、的方阵的方阵,O不全为不全为0O 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获7 （4）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如记作记作 .,21ndiagA 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获8(5)方阵方阵 100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.OO全为全为1 下一步下一步 同型矩阵与矩阵相等的概念
5、同型矩阵与矩阵相等的概念 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同同型矩阵型矩阵.有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获9、定义、定义 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111三、矩阵的加法三、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获10说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进
6、只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获112 2、矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 .,04BABAAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获121 1、定义、定义.112222111211 mn
7、mmnnaaaaaaaaaAA 四、数与矩阵相乘四、数与矩阵相乘规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数,AAA 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获13 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律的负矩阵：的负矩阵：（设（设 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）,nm BA、kAAkA1 A 记为记为A()ABAB 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获14例：设例：设75245197321 6B31 2015792468A求满足求满足2AXB的的X解：解：
8、12()XBA12X 31 2 0157 9246 8127 52 45 1973 21 671222322221111 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获15、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 ,2,1;,2,1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.ABC 五、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB 下一步下一步有生命就会有希望，
9、有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获16注意：注意：1，一般称，一般称 为为 左乘左乘 的积。的积。ABAB2，计算，计算 的要点是：的要点是：ABA的列数等于的列数等于 的行数的行数BAB的行数等于的行数等于 的行数的行数AAB的列数等于的列数等于 的列数的列数B例：例：3ijsAa4ijlBb6ijmCc试确定试确定 的值的值,s m l 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获17例：例：3457A24,53B,AB BA求解：解：3457AB24531402512453BA3457142001注意：注意：上例中虽然上例中虽然 与
10、与 都有意义，但它们不相等都有意义，但它们不相等，所以矩阵乘法不满足交换律。，所以矩阵乘法不满足交换律。ABBA 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获18例例 设设 1111A 1111B,0000 AB,2222 BA注意：注意：1，上例中虽然，上例中虽然 与与 都不为零，但它们的乘积都不为零，但它们的乘积 为零矩阵。为零矩阵。AB2，上例中，上例中 与与 都为二阶方阵，都为二阶方阵，,都有意都有意 义，所以同型矩阵总可以相乘。义，所以同型矩阵总可以相乘。ABAB BA 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会
11、有收获19例例 计算下列乘积：计算下列乘积：2 2123 解解 12 22 12 22 13 23.634242 2 2123 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获201001E例：例：abcAdef1001abcEAdefabcdef100010001abcAEdef100010001Eabcdef注意：注意：任何矩阵与单位阵的乘积都是该矩阵本身。任何矩阵与单位阵的乘积都是该矩阵本身。下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获21数量矩阵数量矩阵：00EE注意注意：它和任意方阵相乘可以交换顺序它和任意方阵相
12、乘可以交换顺序对角矩阵对角矩阵：1200注意注意：两个同阶对角阵相乘满足交换律两个同阶对角阵相乘满足交换律 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获2211 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb线性方程组表示为矩阵的形式线性方程组表示为矩阵的形式：1111nmmnaaAaa1nxXx1nbBb记：记：则：则：AXB 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获23、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABC
13、BA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）;4AEAAE 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m 下一步下一步有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获24 下一步下一步小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一个数表列的一个数表行行nm有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获25 下一步下一步(2)特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm
14、行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获26 下一步下一步矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算进行加法运算.（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同不同.有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获27 下一步下一步
