1、第五章第五章 边界元法、有限体积法和有限分析法边界元法、有限体积法和有限分析法基本思想基本思想：将控制微分方程转化为边界积分方程，：将控制微分方程转化为边界积分方程，再用有限元法来处理再用有限元法来处理边界积分方程边界积分方程。特点特点：1.1.区域内满足微分方程，边界上区域内满足微分方程，边界上近似满足近似满足边界条件。边界条件。2.2.维数维数减少一个，可以简化计算。减少一个，可以简化计算。3.3.精度精度一般高于有限元法。一般高于有限元法。4.4.系数矩阵不对称并为系数矩阵不对称并为满阵满阵，需要解析函数的，需要解析函数的基本解基本解，目前主要适用于线性问题。目前主要适用于线性问题。一、
2、一、边界元法边界元法（Boundary Element Method或或BEM）1.1.边界积分方程的建立边界积分方程的建立例例：Laplace方程方程qnuuuyuxuu022222其伽辽金方程为其伽辽金方程为（在（在内）内）（在（在1上）上）（在（在2上）上）当近似解不要求满足边界条件时，由当近似解不要求满足边界条件时，由格林公式格林公式可得可得:dsnuuuudsqnuudyuxu122222 qnuuuudyuxuudpuL2102222引入权函数引入权函数w=u代入上式代入上式而而dsnwuuwdsqnuwdu122udwdsnwuwdsnuwdu22代入上式得代入上式得-（a）称为
3、称为边界元出发方程边界元出发方程。dsnwudsnwuwdsnuwdsqudw12122若选若选权函数权函数w w满足满足而不要求满足边界条件时，则而不要求满足边界条件时，则02 w选择选择另一权函数另一权函数w w，使其对区域内任一点，使其对区域内任一点i i满足满足 bdsnwudsnwuwdsnuwdsq1212 0102iiDiracdeltacw函数（在（在i i点）点）（不在（不在i i点处）点处）则则由（由（c c）点的值在未知函数iuuuwdudwuiii22则（则（a）式变为）式变为iiuduwdu2wdsnuwdsqdsnwudsnwuui1212说明说明:内点的函数值内点
4、的函数值可用可用边界上边界上的的函数值函数值及其及其法向导数值法向导数值沿区域的边界积分来表示。沿区域的边界积分来表示。满足满足(c)式的解称为式的解称为基本解基本解。对于。对于各向同性介质各向同性介质三维二维rwrw1ln2141r-区域内任意点区域内任意点i到边界积分点的距离。到边界积分点的距离。将将i点移到边界上，则点移到边界上，则（d d）式称为）式称为边界积分方程边界积分方程。211iiiiciciiciu在光滑边界上，则若在区域内，则若，处边界几何形状的函数依赖于点处未知函数值。点 dwdsqwdsqdsnwudsnwuucii1212（d d）式也可写为为）式也可写为为3.3.数
5、值离散数值离散(1)(1)边界上剖分和插值边界上剖分和插值的逼近函数为及导数设待求函数个直线段称为单元。分成将nuqunj,.,2,1 ewdsnudsnwuuciia.常数单元常数单元（1节点节点）取单元中点为节点取单元中点为节点,则则constqconstu jijijjijijjijijjjijijyyxxqnuquujjjjb.线性单元线性单元（2节点节点）取单元两端点为节点取单元两端点为节点,则则 2211221121121121jjjjjjqqquuujjjjc.二次单元二次单元（3节点节点）取中点及两端点为节点取中点及两端点为节点,则则 332211332211321121112
6、1jjjjjjjjjqqqquuuujjjjj（2 2）数值化数值化边界积分方程（边界积分方程（e e）的离散形式）的离散形式 单元总数单元弧长nqwdsdsnwuucjnjnjiijj11若采用若采用常数单元常数单元：constqconstu引入记号引入记号jjjwdsGcdsnwdsnwHijiij njjnjjiijjwdsqdsnwuuc11ijij则则njjijnjjijqGuH11 qGuH将已知值将已知值或写成矩阵形式或写成矩阵形式qu,等代入，整理成代数方程组形式等代入，整理成代数方程组形式injjijbxU1式中式中解方程组后，则全部边界上解方程组后，则全部边界上u,q为已知
7、，为已知，再求出区域内任意点再求出区域内任意点u值为值为ijijijnnjjijnjjijijTnnnnjHGUqGuHbuuuqqqx1121211111,.,.,njijjnjijjiGqHuu11二、二、有限体积法有限体积法（Finite Volume Method或或FVM）1.1.基本思想基本思想：将计算区域划分为一系列不重复的将计算区域划分为一系列不重复的控制体积控制体积，使每个网格点周围有一个控制体积，将待解的微分使每个网格点周围有一个控制体积，将待解的微分方程方程对每一个控制体积积分对每一个控制体积积分，便得出一组，便得出一组离散方程离散方程。2.2.数值离散的一般步骤数值离散
8、的一般步骤例：一维热传导问题例：一维热传导问题K-热传导系数热传导系数T-温度温度S-单位体积内热量的产生率单位体积内热量的产生率P,E,W-节点节点e,w-控制体交界面控制体交界面（一般为中点）（一般为中点）aSdxdTKdxd0设设y,zy,z方向为单位厚度，则方向为单位厚度，则控制体体积控制体体积为为11x bSdxdxdTKdxdTKewwe0将（将（a a）式对该控制体积分）式对该控制体积分在节点间在节点间T T值的插值变化规律为：值的插值变化规律为：（1 1）阶梯形剖面阶梯形剖面节点上的节点上的T T值为该点周围控制体内的数值。值为该点周围控制体内的数值。但但dT/dxdT/dx在
9、在w,ew,e上无定义。上无定义。（2 2）分段线性剖面分段线性剖面令令 对于控制体的平均值SScxSxTTKxTTKwwPwePEe0 xSbaaaxKaxKaWEPwwWEeE,则则 dbTaTaTaWWEEPP或或dbTaTanbPP足标足标nb表示表示相邻节点相邻节点.标准形式或dd源项的处理：源项的处理：设设的常数部分常数部分PPcPPcTSSTSSS于是于是xSbxSaaacPWEP 标准形式标准形式不变不变。3.非恒定问题的处理非恒定问题的处理设设T为为阶梯形剖面阶梯形剖面,则则定压比热ppcxTKxtTc tttewewtttpdxdtxTKxdtdxtTc设设则则 tttwW
10、PwePEePPpdtxTTKxTTKTTxc0权系数1,010fdtTfTfdtTPPtttP式中式中00001111PWEPWWWEEEPPTafafaTffTaTffTaTa txcaxKaxKaafafaapPWWWeEEPWEP00三、有限分析法（三、有限分析法（Finite Analytic Method或或FAM）1.1.基本思想基本思想：划分划分子区域子区域，在子区域中求，在子区域中求局部解析解局部解析解。导出一个代数方程，将节点值联系起来，将所有导出一个代数方程，将节点值联系起来，将所有局部解析解汇集在一起求解。局部解析解汇集在一起求解。2.2.一般原理一般原理设微分方程设微
11、分方程 guL(1)网格划分网格划分由相邻四个网格构成一个单元。由相邻四个网格构成一个单元。E,W,S,N,C-东，南，西，北，中东，南，西，北，中（2）单元分析解单元分析解假设：边界条件近似为假设：边界条件近似为 2210yayaayfE 系数系数a a0 0,a,a1 1,a2由东边由东边NE,NC,SE节点的节点的f值确定。值确定。用用分离变量法分离变量法求线性微分方程的求线性微分方程的解析解解析解如内节点如内节点P gkhyxxfxfyfyffyxuNSWE,PPSESESWSWNCNCWCWCECECPgcucucucucucu.(3)(3)代数方程的建立代数方程的建立对单元中心节点
12、对单元中心节点P(i,j)P(i,j)有有jijijijijijijijijijijijiijgcucucucucucu,1,11,11,11,1,1,1,1,1.解方程组即可。解方程组即可。例例：LaplaceLaplace方程方程 yfuhxyfuhxxfukyxfukyuEWNS,02边界条件边界条件可以用二次多项式来表示，如可以用二次多项式来表示，如 2210yayaayfE系数可由三个边界系数可由三个边界节点定出，如节点定出，如SEECNESENEECuuukauukaua221212310单元内解单元内解拉普拉斯方程拉普拉斯方程傅立叶系数，特征值nnnnmnmmmmmmnnnnnn
13、BBAAkmhnkyyByBhxxAxAyxu21211211212,2sincoshsinhsincoshsinh,以中心节点代入以中心节点代入取取h=k=1h=k=12nn则边中点与角点则边中点与角点044685.011cossin20535.011cossin21313nnnnnnNWNESWSEnnnnnSCWCNCECCCCCCCCCNWNWNENESESESWSWSCSCNCNCWCWCECECPucucucucucucucucu若若边中点边中点0.250.25，角点，角点0.00.0，则为，则为5 5点格式。点格式。而本例为而本例为9 9点格式，更为精确。点格式，更为精确。其中其
14、中2.2.矩形单元矩形单元136325214333222111444121212jjjjjj 4321eu线性插值线性插值（4 4节点单元），设节点单元），设则则 41iiieuujjjjj11411141114111414321二次插值二次插值（9 9节点单元），略节点单元），略 43214321eeyx曲线四边形曲线四边形单元，可采用单元，可采用双线性变换双线性变换3.三维情形三维情形VViiiiij4,3,2,1(1)四面体四面体:4节点节点单元单元10节点节点单元单元4,4,4,1,3,23,2,1,3,2,110,9,8,7,6,544,3,2,112lkiilkiiiijj边中点角
15、点(1)正六面体正六面体:8节点节点单元单元20节点节点单元（略）单元（略）8,7,6,5,4,3,2,111181iiiiij例例（同前）：（同前）：步骤（步骤（3）0,6223222211iWRxxxRWxxRW0626220262210322321210223212dxxxxxxxxxxdxxxxxxxxx积分整理得积分整理得39955157270710120221(4)解出解出1694706.01875419.021(5)近似解近似解xxxu1694706.01875419.014.矩量法矩量法取权函数取权函数 则则nirWii,.,2,110,1DiDidDRrWR例例（同前）：（同
16、前）：步骤（步骤（3）取）取xWWi21,12,1积分整理得积分整理得(4)解出解出0622062210232121023212xdxxxxxxxdxxxxxxx3121201912111211611215910,64912221(5)近似解近似解xxxu110122164915.伽辽金法伽辽金法（Galerkin）取取基函数本身基函数本身作权函数，即取作权函数，即取则则基函数iiiWjjBAnidDRWRnDiij,.,2,10,例例（同前）：（同前）：步骤（步骤（3）取）取xxWxxW1122211jj构造二级近似解构造二级近似解xxxu2122111jj余量余量 23212622xxxx
17、xxpuLR代入伽辽金代入伽辽金加权积分式加权积分式积分积分 010110210dxxRxdxxRx2012011051320320310321(4)解出解出417,3697121(5)近似解近似解xxxu637113691此例题精确解为此例题精确解为xxu1sinsin由各种解比较结果可见，由各种解比较结果可见，伽辽金法伽辽金法精度最高。精度最高。因此，该方法获得广泛应用。因此，该方法获得广泛应用。3 切削叶轮外径以调节泵的性能切削叶轮外径以调节泵的性能 切削后的叶轮与切削前不再符合几何相似切削后的叶轮与切削前不再符合几何相似.叶轮切削前后的速度比叶轮切削前后的速度比 叶轮切削前后性能参数的
18、关系如下叶轮切削前后性能参数的关系如下（近似认为切削前后容积效率相等，叶片排挤系数相等，（近似认为切削前后容积效率相等，叶片排挤系数相等，水力效率相等，涡流系数相等）：水力效率相等，涡流系数相等）：1.1.低比转数的泵（低比转数的泵（ns150150）叶片出口宽度叶片出口宽度b2小，近似认为叶轮切削前后小，近似认为叶轮切削前后 22bb流量比流量比 扬程比扬程比 轴功率比轴功率比 上述三个关系式称为上述三个关系式称为第一切削定律第一切削定律。2.2.中、高比转数的泵（中、高比转数的泵（ns150150）近似认为切削前后叶轮出口面积不变近似认为切削前后叶轮出口面积不变 2222bDbD上述三个关
19、系式称为上述三个关系式称为第二切削定律第二切削定律。切削叶轮调节工况分析切削叶轮调节工况分析 根据第一切削定律，可以推导得出其切削曲线是一条过原点的直线；根据第一切削定律，可以推导得出其切削曲线是一条过原点的直线；根据第二切削定律，可以推导得出其切削曲线是一条过原点的根据第二切削定律，可以推导得出其切削曲线是一条过原点的二次抛物线。二次抛物线。B点和点和C点是满足第一切削定律的工况点，点是满足第一切削定律的工况点，B点和点和D点是满足第二切削定律的工况点。点是满足第二切削定律的工况点。切削叶轮的调节方法，其切削叶轮的调节方法，其切削量不能太大切削量不能太大，否则效率明显下降。泵的最大切削量与比
20、转数有关。否则效率明显下降。泵的最大切削量与比转数有关。泵的比转数泵的比转数 60，允许最大切削率允许最大切削率为为20泵的比转数泵的比转数12120，允许最大切削率为允许最大切削率为1515泵的比转数泵的比转数20200，允许最大切削率为允许最大切削率为1111泵的比转数泵的比转数30300，允许最大切削率为允许最大切削率为9 9泵的比转数泵的比转数35350，允许最大切削率为允许最大切削率为7 7泵的比转数泵的比转数35350以上，以上，允许最大切削率为允许最大切削率为0 0所谓切削率，即所谓切削率，即切削叶轮的调节方法，不增加额外的能量损失，设备效率下降少，切削叶轮的调节方法，不增加额外
21、的能量损失，设备效率下降少，是一种是一种节能的调节方法节能的调节方法，但需要停机换轮，因此常用于，但需要停机换轮，因此常用于水泵的季节性调节。水泵的季节性调节。4.改变并联泵台数的调节方法改变并联泵台数的调节方法 在大型排灌站或冷、热水系统中，可用改变并联泵运行台数在大型排灌站或冷、热水系统中，可用改变并联泵运行台数的方法进行流量调节，这是一种很简单、经济的调节方式。的方法进行流量调节，这是一种很简单、经济的调节方式。因为泵并联台数不同，其特性曲线各异。因为泵并联台数不同，其特性曲线各异。【例【例13-113-1】已知某水泵性能已知某水泵性能HQ曲线、曲线、Q曲线如下图，曲线如下图，转速转速n
22、=2900 r/min=2900 r/min。管路阻抗。管路阻抗SH=76000 s=76000 s2 2/m/m5 5，静压头，静压头Hst=19m=19m。试求：试求：（1 1）水泵的流量）水泵的流量Q、扬程、扬程H、效率及轴功率、效率及轴功率N。（2 2）用阀门调节的方法使流量减少）用阀门调节的方法使流量减少2525，求此时水泵的，求此时水泵的流量、扬程、轴功率以及阀门消耗的功率？流量、扬程、轴功率以及阀门消耗的功率？（3 3）用变速调节的方法使流量减少）用变速调节的方法使流量减少2525，求调节后的转速？，求调节后的转速？【解】【解】（1）由已知，管路特性方程为）由已知，管路特性方程为
23、 根据表中数据，描绘出管路特性曲线根据表中数据，描绘出管路特性曲线如图，如图，与水泵与水泵HQ曲线交于点曲线交于点A。查图查图QA=8.5=8.51010-3-3 m m3 3/s/s HA=24.5 m=24.5 m，A=65（2 2）阀门调节使流量减少）阀门调节使流量减少2525，新的工作点为，新的工作点为B 在水泵的在水泵的特性特性曲线上查得曲线上查得 HB=28.8 m=28.8 m，B=65过过B点作垂线与管路特性曲线交于点点作垂线与管路特性曲线交于点C 采用阀门调节，增加的水头损失采用阀门调节，增加的水头损失 阀门消耗的功率阀门消耗的功率（3 3）变速调节使流量减少）变速调节使流量减少2525，新的工作点为，新的工作点为C与点与点C相似的工况点应为过点相似的工况点应为过点C且经过原点的二次抛物线和且经过原点的二次抛物线和泵的泵的HQ曲线的交点曲线的交点D。因为因为 QC=6.3810-3 m3/s HC=22.09 m ，则可得到过点则可得到过点C且经过原点的二次抛物线方程且经过原点的二次抛物线方程 在图中描绘出该方程曲线与在图中描绘出该方程曲线与泵的泵的HQ曲线交于点曲线交于点D，查得查得QD=7.27.21010-3-3 m m3 3/s /s 则根据相似律，新的转速则根据相似律，新的转速 第四节 泵与风机的选择、安装和运行
