1、高二数学备课组高二数学备课组4.1简单计数问题简单计数问题教学目的、要求：教学目的、要求：1、计数问题的处理：、计数问题的处理：分类加法和分步乘法原理；分类加法和分步乘法原理；2、附带条件计数问题或类似排列或组合问题的处理方法、附带条件计数问题或类似排列或组合问题的处理方法:直接法和间接法直接法和间接法3、特殊类型及方法、特殊类型及方法 (1)特殊元素或特殊位置的特殊元素或特殊位置的优先安排法（两优法）优先安排法（两优法）；(2)相邻问题的相邻问题的捆绑法捆绑法；(3)不相邻问题的不相邻问题的插空法插空法；(4)定序问题的定序问题的相除法相除法(缩倍法缩倍法)；(5)多排问题的多排问题的单排法
2、单排法；(6)重排问题的重排问题的求幂法求幂法；(7)环排问题的环排问题的线排法；线排法；(8)分组分配问题的分组分配问题的先选后排法；先选后排法；(9)元素相同问题的元素相同问题的隔板法。隔板法。重点及难点：重点及难点：掌握附带限制条件的计数问题或类似排列或组合问题的掌握附带限制条件的计数问题或类似排列或组合问题的处理方法。处理方法。导导排列与排列数排列与排列数组合与组合数组合与组合数定定义义1.排列：从排列：从n个不同元个不同元素中取出素中取出m(mn)个个元素，元素，叫做从叫做从n个不同元素个不同元素中取出中取出m个元素的一个元素的一个排列个排列.1.组合：从组合：从n个不同元素个不同元
3、素中取出中取出m(mn)个元个元素素 ，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个个元素的一个组合元素的一个组合.2.排列数：从排列数：从n个不同个不同元素中取出元素中取出m(mn)个元素的个元素的 叫做从叫做从n个不同元素个不同元素中取出中取出m个元素的排个元素的排列数列数.2.组合数：从组合数：从n个不同元个不同元素中取出素中取出m(mn)个元个元素的素的 ，叫做从叫做从n个不同元素中个不同元素中取出取出m个元素的组合数个元素的组合数.所有不同排列的个数所有不同排列的个数按按按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列合成一组合成一组所有不同组合的个数所有不同组合的个数复习回顾导
4、导公公式式排列数公式排列数公式Anm 组合数公式组合数公式性性质质(1)Ann ；(1)An0 ；(2)0！(2)Cnm(3)CnmCnm1Cn1m备备注注n，mN*且且mn n(n1)(n2)(nm1)n！11Cnnm复习回顾1、(1)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放一个球，共有多少种放法？(2)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放一个球，共有多少种放法？2、在100个零件中有80个正品，20个次品，从中任意选2个进行检测，其中至少有一个次品的选法有多少种？3、某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应
5、结果。现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用。问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？思思解（解（1 1）由于球都相同，盒子不同，每盒至）由于球都相同，盒子不同，每盒至多放一个球，所以，只要选出多放一个球，所以，只要选出5 5个不同的盒子，个不同的盒子，就可以解决问题就可以解决问题.这是一个组合问题这是一个组合问题.因此，因此，5 5个相同的球，放入个相同的球，放入8 8个不同的盒子，个不同的盒子，每盒至多放一个球，共有每盒至多放一个球，共有 种放法种放法.5856C（2 2）由于每盒至多放一个球，所以，第）由于每盒至多放一个球，所以，第1 1个球有个球有8 8种放法，
6、第种放法，第2 2个球有个球有7 7种放法，种放法，第第5 5个球有个球有4 4种放法种放法.所以，共有所以，共有 =8=87 76 65 54=67204=6720种放法种放法.58A1、(1)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放一个球，共有多少种放法？(2)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放一个球，共有多少种放法？球放盒模型球放盒模型解解 分类计数分类计数.第一类：只有一个次品，另一个是正品，第一类：只有一个次品，另一个是正品，有有C C80801 1C C20201 1=80=802020种选法种选法.第二类：两个都是次品，有第二类：两个都是次品，有C C80800
7、 0C C20202 2=1=1（202019192 2）种选法）种选法.根据加法原理，其中至少有一个次品的选法共有根据加法原理，其中至少有一个次品的选法共有808020+120+1（202019192 2）=1 790.=1 790.种选法种选法.2、在100个零件中有80个正品，20个次品，从中任意选2个进行检测，其中至少有一个次品的选法有多少种？样品抽样问题样品抽样问题3 3、某项化学实验，要把某项化学实验，要把2 2种甲类物质和种甲类物质和3 3种乙类物质种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应结果。现有符合条
8、件的入某种液体中，观察反应结果。现有符合条件的3 3种甲类物质和种甲类物质和5 5种乙类物质可供使用。种乙类物质可供使用。问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？的实验结果？解解 第一步：放入甲类物质，共有第一步：放入甲类物质，共有A A3 32 2种方案种方案.第二步：放入乙类物质，共有第二步：放入乙类物质，共有A A5 53 3种方案种方案.根据乘法原理，根据乘法原理，共有共有A A3 32 2 A A5 53 3=3=32 25 54 43=3603=360种方案种方案.因此，共要进行因此，共要进行360360次试验，才能得到所有次
9、试验，才能得到所有的实验结果的实验结果.探究一：探究一：有有3 3名男生、名男生、4 4名女生，在下列不同条件名女生，在下列不同条件 下，求不同的排列方法总数下，求不同的排列方法总数(1)(1)选其中选其中5 5人排成一排；人排成一排；(2)(2)排成前后两排，前排排成前后两排，前排3 3人，后排人，后排4 4人；人；(3)(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)(4)全体排成一排，女生必须站在一起；全体排成一排，女生必须站在一起；(5)(5)全体排成一排，男生互不相邻；全体排成一排，男生互不相邻；(6)(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有全体排
10、成一排，甲、乙两人中间恰好有3 3人人议议解解(1)(1)从从7 7个人中选个人中选5 5个人来排列，有个人来排列，有A A7 75 57 76 65 54 43 32 5202 520种种(3)(3)(两优法两优法)方法一：甲为特殊元素先排甲，有方法一：甲为特殊元素先排甲，有5 5种方法；其种方法；其余余6 6人有人有A A6 66 6种方法，故共有种方法，故共有5 5A A6 66 63 6003 600种种方法二：排头与排尾为特殊位置排头与排尾从非方法二：排头与排尾为特殊位置排头与排尾从非甲的甲的6 6个人中选个人中选2 2个排列，有个排列，有A A6 62 2种方法，中间种方法，中间5
11、 5个位个位置由余下置由余下4 4人和甲进行全排列有人和甲进行全排列有A A5 55 5种方法，共有种方法，共有A A6 62 2A A5 55 53 6003 600种种(2)(2)分两步完成，先选分两步完成，先选3 3人排在前排，有人排在前排，有A A7 73 3种方种方法，余下法，余下4 4人排在后排，有人排在后排，有A A4 44 4种方法，种方法，故共有故共有A A7 73 3AA4 44 45 0405 040种种展展 (4)(4)(捆绑法捆绑法)将女生看成一个整体，与将女生看成一个整体，与3 3名男生在一起名男生在一起进行全排列，有进行全排列，有A A4 44 4种方法，再将种方
12、法，再将4 4名女生进行全排列，名女生进行全排列，也有也有A A4 44 4种方法，故共有种方法，故共有A A4 44 4A A4 44 4576576种种(5)(5)(插空法插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有应先排女生，有A A4 44 4种方法，再在女生之间及首尾空出种方法，再在女生之间及首尾空出的的5 5个空位中任选个空位中任选3 3个空位排男生，有个空位排男生，有A A5 53 3种方法，故共种方法，故共有有A A4 44 4A A5 53 31 4401 440种种(6)(6)把甲、乙及中间把甲、乙及中间3 3人看作一个整体，第一步
13、先人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有排甲、乙两人有A A2 22 2种方法，再从剩下的种方法，再从剩下的5 5人中选人中选3 3人人排到中间，有排到中间，有A A5 53 3种方法，最后把甲、乙及中间种方法，最后把甲、乙及中间3 3人看人看作一个整体，与剩余作一个整体，与剩余2 2人全排列，有人全排列，有A A3 33 3种方法故共种方法故共有有A A2 22 2A A5 53 3A A3 33 3720720种种1、把、把6名实习生分配到名实习生分配到7个车间实习个车间实习,共共有多少种不同的分法？有多少种不同的分法？2、某、某8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8名乘客人名乘客人,他
14、们到各自的一层下电梯他们到各自的一层下电梯,下电梯的方下电梯的方法法 。7678探究二：探究二：重排问题的求幂法重排问题的求幂法议议展展 解：把解：把n个不同元素放在圆周个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列末位之分，下列n个普通排列：个普通排列：在环排问题中只算一种，因为旋转后
15、可以重合，故认在环排问题中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，为相同，n个元素的环排列数有个元素的环排列数有 种种.因此可将某个元因此可将某个元素固定展成单排，其它的（素固定展成单排，其它的（n-1）个元素全排列）个元素全排列.123234111,;,;,nnnna a aaa a aa aa aa!nn（n-1）！）！探究三探究三 ：环排问题线排法：环排问题线排法议议展展把把n个不同元素放在圆周个不同元素放在圆周n个无编号位置上，它有多少个无编号位置上，它有多少种不同的排法？种不同的排法？探究四：探究四：1、将10个竞赛名额分给三个班，每班至少1个名额，共有多少种分法？的正整数解的组数
16、？、求方程1224321xxxx元素相同问题的隔板法元素相同问题的隔板法议议展展解:将10个相同的竞赛名额分给三个班，可理解为将10个完全相同的名额排成一列，在它们之间的9个空隙中选2个插入2块隔板，把名额分成3组即可，则它的方法数有种。3628929C解:可理解为将12个完全相同的小球排成一列，在它们之间的11个空隙中选3个插入3块隔板，把球分成4组即可，则它的方法数有种。1652391011311C课堂小结课堂小结1、计数问题的处理：、计数问题的处理：分类加法和分步乘法原理；分类加法和分步乘法原理；2、附带条件计数问题或类似排列或组合问题的处理方法、附带条件计数问题或类似排列或组合问题的处
17、理方法:直接法和间接法直接法和间接法3、特殊类型及方法、特殊类型及方法 (1)特殊元素或特殊位置的特殊元素或特殊位置的优先安排法（两优法）优先安排法（两优法）；(2)相邻问题的相邻问题的捆绑法捆绑法；(3)不相邻问题的不相邻问题的插空法插空法；(4)定序问题的定序问题的相除法相除法(缩倍法缩倍法)；(5)多排问题的多排问题的单排法单排法；(6)重排问题的重排问题的求幂法求幂法；(7)环排问题的环排问题的线排法；线排法；(8)分组分配问题的分组分配问题的先选后排法；先选后排法；(9)元素相同问题的元素相同问题的隔板法。隔板法。4、三种特殊类型：、三种特殊类型：(1)分组分配问题分组分配问题先分后
18、排；先分后排；(2)组排问题组排问题先组后排；先组后排；(3)染色问题染色问题分类分步计数原理分类分步计数原理评评1 1从从1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有，这样的三位数共有()A A9 9个个 B B2424个个 C C3636个个 D D5454个个2 2某外商计划在某外商计划在5 5个候选城市投资个候选城市投资3 3个不同的个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过项目，且在同一个城市投资的项目不超过2 2个，个，则该外商不同的投
19、资方案有则该外商不同的投资方案有()A A6060种种 B B7070种种 C C8080种种 D D120120种种检检DD3 3电视台连续播放电视台连续播放6 6个广告，其中含个广告，其中含4 4个不同的商业个不同的商业广告和广告和2 2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式共有告，则不同的播放方式共有()A A6 6种种 B B2424种种 C C4848种种 D D720720种种【解析解析】据题意知据题意知4 4个不同的商业广告可排在中间个不同的商业广告可排在中间的的4 4个位置上共有个位置上共有A A4 44 4种方法，
20、再将种方法，再将2 2个公益广告排在首个公益广告排在首末末2 2个不同的位置共有个不同的位置共有2 2种方法，根据分步乘法计数原理种方法，根据分步乘法计数原理可得不同的播放方式共有可得不同的播放方式共有2A2A4 44 44848种种检检C4 4：1)1)平面平面M M内有内有5 5个点，平面个点，平面N N内有内有4 4个点，且平面个点，且平面M M与平面与平面N N互相平行，这九个点最多能构成多少个四互相平行，这九个点最多能构成多少个四面体？面体？2 2）由）由1212人组成的课外文娱小组，其中人组成的课外文娱小组，其中5 5人只会跳舞，人只会跳舞，5 5人只会唱歌，人只会唱歌，2 2人既会跳舞又会唱歌。若选人既会跳舞又会唱歌。若选4 4个会个会跳舞和跳舞和4 4个会唱歌的去排节目，共有多少种选法？个会唱歌的去排节目，共有多少种选法？1322315454541)120CCCCCC2241340442552562572)525C C CC C CC C C检检
