1、2.6.2双曲线的几何性质核心素养 1.掌握双曲线的简单几何性质.(直观想象)2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(逻辑推理)3.通过具体实例初步了解直线与双曲线相交的相关问题.(数学运算)思维脉络激趣诱思知识点拨火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物物.建在水源不十分充足的地区的电厂建在水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水为了节约用水,需建造一个需建造一个循环冷却水系统循环冷却水系统,以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用使用.大型电厂采用的冷却构筑
2、物多为双曲线型冷却塔大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.这样从结这样从结构上最稳定构上最稳定,强度高强度高,能够获得更大的容积能够获得更大的容积,气流顺畅气流顺畅,对流冷却效果对流冷却效果好好,造型美观造型美观.激趣诱思知识点拨双曲线的几何性质 标准方程图形激趣诱思知识点拨标准方程性质范围x-a或xa yRy-a或ya xR对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线y=xy=x离心率a,b,c间的关系c2=a2+b2(c
3、a0,cb0)名师点析(1)双曲线与椭圆的六个不同点:双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e10e0,n0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测例2已知F1,F2为双曲线 (a0,b0)的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且PF1F2=30,求该双曲线的渐近线方程.分析求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率,也就是求a,b间的关系.本题利用双曲线的定义和直角三角形边、角之间的关系,求a,b间的关系.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养
4、形成当堂检测反思感悟 1.根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中,最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲线的渐近线方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测由双曲线的几何性质求标准方程由双曲线的几何性质求标准方程例3根据以下条件,求双曲线的标准方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方
5、程的形式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧(5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=(0).(6)渐近线为axby=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=(0).探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系例4(1)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中:y=x+1;y=2;y=x;y=2x+1.其中是“单曲型直线
6、”的是.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)已知双曲线焦距为4,焦点在x轴上,且过点P(2,3).求该双曲线的标准方程;若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1,求直线m被双曲线截得的弦长.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.直线与双曲线位置关系的判定方法通常把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a0的情况下考查方程的判别式.(1)0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.(2)=0时,直线与双曲线只有一个公共点.(3)0时,直线与双曲线
7、没有公共点.当a=0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.双曲线的弦长公式和直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样.设直线y=kx+b与双3.如果利用“点差法”解题,其过程是无法保证直线与双曲线相交的,因此必须对所得直线方程的存在性进行验证.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3(1)已知双曲线方程为x2-=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则l共有()A.4条 B.3条 C.2条 D.1条解析:因为双曲线方程为x2-=1,则P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,
8、与双曲线只有一个公共点,另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的有3条.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测(3)已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;若直线l与双曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为 ,求实数k的值.探究一探究二探究
9、三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测专项探究专项探究离心率问题离心率问题 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测归纳总结求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法列出含有a,b,c的齐次方程或不等式,借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程或不等式求解.(2)求解时,若用到特殊几何图形,可运用几何性质使问题简化.探究一探究二探究三素养形成当堂检测迁移应用1(2019浙江,2)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是()答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:D 探究一
10、探究二探究三素养形成当堂检测1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为()答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:AD 探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是.解析:令y=0,得x=-4,等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),答案:x2-y2=8探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:探究一探究二探究三素养形成当堂检测|PF|-|AP|=2a=4,|QF|-|QA|=2a=4,+得|PF|+|QF|-|PQ|=8,周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.答案:32探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测
