1、2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何2核心素养 1.理解实数与数轴上的点的一一对应关系.(数学抽象)2.掌握数轴上两点形成的向量的坐标及两点间的距离公式、中点坐标公式.(逻辑推理)3.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式.(逻辑推理)4.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性.(数学运算、直观想象)思维脉络激趣诱思知识点拨数学家笛卡尔某天躺在床上静静地思考,思考着如何确定事物的位置,这时他发现苍蝇粘在蜘蛛网上,蜘蛛迅速爬过去把它捉住,笛卡尔此时恍然大悟思考(1)同学们能说出笛卡尔的新想法吗?(2)若蜘蛛由位置A爬到位置B,如图
2、所示,你能算出A,B两点间的距离吗?激趣诱思知识点拨1.数轴上的基本公式(1)数轴的定义给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.(2)数轴上的基本公式激趣诱思知识点拨微判断如果数轴上两个向量相等,那么这两个向量的坐标相等.()答案:微思考激趣诱思知识点拨微练习答案:-822激趣诱思知识点拨2.平面直角坐标系中的基本公式(1)平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式:微练习已知点A(4,12),在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标.解得x=9或x=-1.所以点P的坐标为(9,0)或(-1,0).激趣诱思知识点拨微思考P(x,
3、y)关于G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?提示:P(x,y)关于G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).微判断若ABC三个顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则ABC的答案:激趣诱思知识点拨3.坐标法通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算等解决问题,这种解决问题的方法称为坐标法.微练习在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,A.2B.4C.5D.10答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测数轴上的坐标运算数轴上的坐标运算例1已知数轴上两点A(a),B(5),分别求出满足下列条件
4、时a的取值.两点间距离为5;两点间距离大于5;两点间距离小于3.解:数轴上两点A,B之间的距离为|AB|=|5-a|.根据题意得|5-a|=5,解得a=0或a=10.根据题意得|5-a|5,即5-a5或5-a-5,故a10.根据题意得|5-a|3,即-35-a3,故2a8.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 1.向量的数量(或坐标)与向量的长度是不同的量,向量的数量(或坐标)是在向量的长度前面加上向量的方向符号,它可能为正也可能为负,还可以为零.向量的数量(或坐标)的绝对值等于向量的长度.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1|x-1|+|x+2|的最小值为.解析:|
5、x-1|可以看作数轴上点x与1之间的距离,|x+2|=|x-(-2)|可以看作数轴上点x与-2之间的距离.所以|x-1|+|x+2|就表示数轴上点x与1和-2之间的距离之和.借助于数轴可以看出,当x位于-2,1之间(包括-2,1)时,x与-2,1之间的距离之和最小,最小值为3.故|x-1|+|x+2|的最小值为3.答案:3探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测平面直角坐标系中两点之间距离公式的应用平面直角坐标系中两点之间距离公式的应用例2已知点A(a,3),B(3,3a+3)之间的距离为5,求a的值.分析由两点之间的距离公式可以表示出|AB|,而|AB|=5,可得关于a的方程,解方程即可求出
6、a的值.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 1.距离公式还可以变形为|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.2.在涉及求平方和的最小值的问题时,可通过两点之间距离公式的形式进行构造变形,利用动点到定点的最小距离求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2已知A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为()探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:B 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测平面直角坐标系内中点坐标公式的应用平面直角坐标系内中点坐标公式的应用例3已知ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都
7、在坐标轴上,求点C的坐标.分析由于AC,BC的中点的连线为ABC中位线,应与底边AB平行.又因为边AB与x轴、y轴均不平行,所以两中点不会在同一条坐标轴上.根据坐标轴上点的坐标的特点即可求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 1.对于平面内中点坐标公式需要从以下两方面来认识(1)从公式上看,根据方程思想,可以知二求一,即只要知道公式两边的任意两个量,就可以求出第三个量.(2)从图像上看,只要知道任意两个点,就可以求出第三个点.2.对本题而言,讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是关键.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3已知
8、A(x,5)关于C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是()答案:D 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测坐标法在平面几何图形中的应用坐标法在平面几何图形中的应用例4已知ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|=|BC|.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测证明:如图所示,以RtABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 建立平面直角坐标系的常见技巧(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上.(2)如
9、果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑其作为坐标轴.(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴.事实上,建立不同的平面直角坐标系,相关点的坐标不同,但不影响最后的结果.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究 本例中条件不变,试证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2.证明:如图所示,以RtABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点距离公式得|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2
10、.所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测易错点易错点因扩大取值范围而致错因扩大取值范围而致错错因分析没有验证等号是否成立,导致扩大了y的取值范围,实际上x是同步的,不能轻易分开.若分别讨论,必须验证等号成立的条件是否满足题意.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则y=|PA|+|PB|.这样求函数的最小值问题,就转化为在x轴上求一点P,使得|PA|+|PB|取得最小值问题.借助于光学的知识和对称的知识,如图所示,作出A关于x轴的对称点A(0,-1),连接BA交x轴于点P,可知|BA|即为|PA|+|PB|
11、的最小值.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.下列各组点中,点C位于点D的右侧的是()A.C(-3)和D(-4)B.C(3)和D(4)C.C(-4)和D(3)D.C(-4)和D(-3)答案:A答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知点A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案:B 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.已知ABC三个顶点坐标分别为A(2,1),B(-2,3),C(0,-1),则ABC重心G的坐标为.答案:(0,1)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.已知ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线的交点为E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标.
