1、2.2.4点到直线的距离核心素养 1.会用向量工具推导点到直线的距离公式.(逻辑推理)2.掌握点到直线、两条平行直线之间的距离公式.(数学抽象)3.能应用两个距离公式解决有关距离问题.(数学运算)思维脉络激趣诱思知识点拨某人在一片丘陵上开垦了一块田地某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水在丘陵的上方架有一条直的水渠渠,此人想从水渠上选择一个点此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的通过一条管道把水引到田地中的一个点一个点P处处,要想使这个管道的长度理论上最短要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计应该如何设计?激趣诱思知识点拨1.点到直线的距离(1)定义:
2、平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.(2)图示:名师点析(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.激趣诱思知识点拨微判断答案:微练习点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()答案:C微思考激趣诱思知识点拨2.两条平行直线之间的距离(1)定义:两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)图示:(3)求法:可以转化为点到直线的距离,也可以直接套用公式.(4)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间
3、的距名师点析(1)把直线方程化为直线的一般式方程;(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.激趣诱思知识点拨微判断(1)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行线间的距离.()(2)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.()答案:(1)(2)微练习答案:B 激趣诱思知识点拨微思考直线l关于点P的对称直线l与已知直线l的位置关系是怎样的?提示:直线l关于点P的对称直线l与已知直线l平行,且点P到两直线的距离相等.探究一探究二素养形成当堂检测点到直线的距离点到直线的距离例1(1)求点P(2,-3)到下列直线的距离.探究一探究
4、二素养形成当堂检测(2)已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得即x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.探究一探究二素养形成当堂检测(方法二)由题意得lAB或l过AB的中点.当lAB时,设直线
5、AB的斜率为kAB,即x+3y-5=0.当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 1.应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.(3)直线方程Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.2.用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.探究一探究二素养形成当堂检测延伸探究 若将本例(2)改为“已知直线l经过
6、点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为.解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.答案:x+3y-5=0探究一探究二素养形成当堂检测两条平行直线之间的距离两条平行直线之间的距离例2(1)已知两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为.(2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为.(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0间的距离相等,则直线l的方程为.探究一探究二素养形成当堂检测探究一探究二
7、素养形成当堂检测探究一探究二素养形成当堂检测探究一探究二素养形成当堂检测答案:(1)A(2)B(3)x+2y-3=0 探究一探究二素养形成当堂检测易错点易错点因对斜率的情况考虑不全面而致错因对斜率的情况考虑不全面而致错案例 求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.探究一探究二素养形成当堂检测正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51
8、=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.防范措施在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.探究一探究二素养形成当堂检测1.点(1,-1)到直线y=1的距离是()答案:D 答案:B 探究一探究二素养形成当堂检测3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于()答案:C 探究一探究二素养形成当堂检测4.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的
9、点的坐标是.解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小,答案:(5,-3)探究一探究二素养形成当堂检测5.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为,它们之间的距离为.解析:由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1.经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.m=-1.探究一探究二素养形成当堂检测6.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.解:(方法一)点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,直线l的方程是y=2或x-y+2=0.探究一探究二素养形成当堂检测(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),直线l的方程是x-y+2=0.当直线lAB时,A,B两点到直线l的距离相等.直线AB的斜率为0,直线l的斜率为0,直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.
