1、2022-10-71P112习题习题4.3 13(3).20(3).P121习题习题4.4 3(2)(5).4.5(2).P122综合题综合题 10.12.15(2).17.作业作业:复习复习:P113121预习预习:P1241332022-10-72第十三讲第十三讲 泰勒公式泰勒公式二、带皮亚诺余项的泰勒公式二、带皮亚诺余项的泰勒公式三、带拉格朗日余项的泰勒公式三、带拉格朗日余项的泰勒公式四、五个常用函数的四、五个常用函数的泰勒泰勒公式公式一、函数逼近、泰勒多项式一、函数逼近、泰勒多项式五、五、泰勒泰勒公式的应用公式的应用2022-10-73（二）函数近似（二）函数近似 用用多项式多项式逼近
2、函数逼近函数.逼近有两种看法：逼近有两种看法：（1）在一点附近近似这个函数好；）在一点附近近似这个函数好；泰勒公式泰勒公式 （2）在区间上整体逼近得好。）在区间上整体逼近得好。傅立叶级数、正交多项式傅立叶级数、正交多项式)()()(00 xxfxfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （一）（一）比较比较一、函数逼近、泰勒多项式一、函数逼近、泰勒多项式2022-10-74)()()()(,000000 xxoxxxfxfxfxxxf 有有时时则则当当可可微微在在点点如如果果函函数数的一次多项式的一次多项式右端是右端是)(0 xx )(,00 xxxx 误误差差是是时时当当在讨
3、论函数的微分时，已经得出在讨论函数的微分时，已经得出:,10有有一一阶阶近近似似公公式式时时当当 xx)()()(000 xxxfxfxf 2022-10-75)()()(xRxPxfnn ).(,)(00 xfxxx的的附附近近可可以以近近似似表表示示使使它它在在的的高高次次多多项项式式希希望望找找一一个个关关于于)()(xPxfn 如何提高近似公式的精度如何提高近似公式的精度？)(:xRn误误差差nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 （1）怎样确定系数？）怎样确定系数？（2）怎样确定误差？）怎样确定误差？2022-10-76要要求求：)()(00 xfxPn )()
4、(00 xfxPn .)()(0)(0)(xfxPnnn xy0 xo)(xfy)(0 xf)()(00 xfxPn 2022-10-77nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 10021)()(2)(nnnxxnaxxaaxP20032)()1()(232)(nnnxxannxxaaxPnnnannnxP12)2)(1()()(.代入上述条件得到代入上述条件得到),(00 xfa ),(01xfa ),(202xfa .)(!0)(xfannn 2022-10-78nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 即即),(
5、00 xfa ),(01xfa ,!2)(02xfa .!)(,0)(nxfann 于是于是阶阶泰泰勒勒多多项项式式点点的的在在nxxf0)(2022-10-79有有时时当当则则阶阶导导数数有有在在点点若若函函数数,00 xxnxf)()(!)()(!2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf )()()(,00 xxxRxxnn 其其中中)(皮皮亚亚诺诺余余项项二、带皮亚诺余项的泰勒公式二、带皮亚诺余项的泰勒公式定理定理1:1:2022-10-710有有时时当当,00 x阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式n)0()(!)0(!2)0()0()0()()(
6、2 xxxnfxfxffxfnnn2022-10-711证证)(!)()(!2)()()()()(00)(200000nnnxxnxfxxxfxxxfxfxfxR nnxxxxxR)()(lim00 10)()(lim0 nnxxxxnxR20)(1()(lim0 nnxxxxnnxR)(!)(lim0)1(0 xxnxRnnxx )()()()(lim!10)(00)1()1(0 xfxxxfxfnnnnxx 应用应用罗必达法则罗必达法则0 只须证明只须证明能否再用能否再用罗比达法则？罗比达法则？应用导数定义应用导数定义不能再用不能再用罗必达法则罗必达法则！0)()(!10)(0)(xfxf
7、nnn2022-10-71210)1(00)(200000)(!)1()()(!)()(!2)()()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf 10)1()()!1()()(nnnxxnfxR)(0之之间间与与在在xx 拉拉格格朗朗日日余余项项有有则则导导数数阶阶的的各各阶阶到到内内有有开开区区间间在在内内的的在在某某个个包包含含点点若若函函数数),(,)1(1),(0baxnbaxf 三、带拉格朗日余项的泰勒公式三、带拉格朗日余项的泰勒公式定理定理2:2:2022-10-713!)1()()()()1(10 nfxxxRnnn)(!)()(!2)()()()()(00)(20
8、0000nnnxxnxfxxxfxxxfxfxfxR 证明思路分析证明思路分析带拉格朗日余项的泰勒公式变形为带拉格朗日余项的泰勒公式变形为)(:)1(nnR右右端端分分子子为为 xnnxx)1(10)(:右右端端分分母母为为应用应用柯西中值定理柯西中值定理2022-10-714证证作辅助函数作辅助函数)(!)()(!2)()()()()()(00)(200000nnnxxnxfxxxfxxxfxfxfxRxF 10)()(nxxxG,0)(0)(00 xGxF,0)(0)(00 xGxF 0)(0)(0)(0)(xGxFnn2022-10-715连续使用（连续使用（n+1）次柯西中值定理）次柯
9、西中值定理)()()()()()()()()()(110010 GFxGxGxFxFxGxFxxxRnn )()()()()()()()()()(0202220101xGGxFFGFxGGxFF )()()()()()(0)()(0)()()()(xGGxFFGFnnnnnnnnnn !)1()()()()1()1()1(nfGFnnn 证毕证毕2022-10-7161000)1()()!1()()(nnnxxnxxxfxR)10(注意注意1 拉格朗日余项的其他形式拉格朗日余项的其他形式注意注意2 拉格朗日中值定理可以看成是拉格朗日中值定理可以看成是 0 阶阶 拉格朗日余项泰勒公式。拉格朗日余
10、项泰勒公式。注意注意3 两种形式余项的泰勒公式，各自成立两种形式余项的泰勒公式，各自成立 的条件不同。应用范围不同。的条件不同。应用范围不同。)()()()(00 xxfxfxf )(0之之间间与与在在xx 2022-10-717)0()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2之之间间与与在在xxnfxnfxfxffxfnnnn 注意注意4.)(,00幂幂展展开开的的就就用用点点的的泰泰勒勒公公式式xxx 00 x)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf或者或者麦克劳林公式麦克劳林公式2022-10-718四、
11、五个常用函数的麦克劳林公式四、五个常用函数的麦克劳林公式 0)()1(0 xexfx12)!1(!1!211 nnxxnexnxxe xnxnxexfexfexf )(,)(,)()1()(1)0(,1)0(,1)0()(nfff efn )()1(xx,0之之间间与与在在)0(0的的泰泰勒勒公公式式 x2022-10-7190sin)()2(0 xxxf,),2sin(cos)(,sin)(xxxfxxf1)0(,0)0(,1)0(,0)0(ffff 12,)1(2,02sin)0(1)(knknnfkn),2sin()()(nxxfn2)1(sin)()1(nxxfn2)1(sin)()1
12、(nnfn ),2,1(k2022-10-720)(!)12()1(!5!3sin1212153xRkxxxxxkkk )sin(!)2()(212 kkxxRkk xx 之之间间与与在在0 0cos)()3(0 xxxf)(!)2()1(!4!21cos2242xRkxxxxkkk )212cos(!)12()(122 kkxxRkk xx 之之间间与与在在0 2022-10-7210)1ln()()4(0 xxxf,11)(xxf ,)1(1)(2xxf ,)1(2)1()(32xxf nnnxnxf)1(!)1()1()(1)(1)1()1(!)1()(nnnxnxf!2)0(,1)0(
13、,1)0(,0)0(ffff!)1()1()0(1)(nfnn1)1()1(!)1()(nnnnf 2022-10-722)()1(32)1ln(132xRnxxxxxnnn 11)1)(1()1()(nnnnnxxR xx10之之间间与与在在 0)1()()5(0 xxxf)(!)1()1(!2)1(1)1(2xRxnnxxxnn xx1,0之之间间与与在在 2022-10-723 五个常用函数的麦克劳林公式五个常用函数的麦克劳林公式12)!1(!1!211 nnxxnexnxxe 12212153!)12()12(sin!)12()1(!5!3sin kkkxkkkxxxxx )(!1!2
14、112nnxxoxnxxe )(!)12()1(!5!3sin212153kkkxokxxxxx 2022-10-72422242!)22()1(sin!)2()1(!4!21cos kkkxkkkxxxx )(!)2()1(!4!21cos12242 kkkxokxxxxnxxxxxnn 132)1(32)1ln(11)1)(1()1(nnnnx)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx 2022-10-725112)1(!)1()()1(!)1()1(!2)1(1)1(nnnxnnxnnxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx 2022-10-726)(
15、)1(11132nnnxoxxxxx 1 )(!)2(!)32()1(211121nnkkkxoxkkxx 21 )(!)2(!)12()1(211112nnkkkxoxkkxx 21 2022-10-727.1ln)(103余余项项的的四四阶阶泰泰勒勒公公式式处处带带在在写写出出函函数数例例Lagrangexxxxf 0)1(,ln)(3 fxxxf1)1(,ln3)(22 fxxxxf5)1(,5ln6)(fxxxxf11)1(,11ln6)(fxxf6)1(,6)()4()4(fxxf解解2022-10-7282)5(2)5(6)(,6)(fxxf于于是是524323)1(!56)1(!
16、46)1(!311)1(!25)1(ln xxxxxxx)1,(之之间间与与在在其其中中x 2022-10-729 000ln)(3xxxxxf若若二阶二阶四阶四阶0)2(1)1(00 xx11)1(0例例同同 x0)2(0 x0)0(f0lnlimlnlim)0(2030 xxxxxfxx)0(ln3)(22 xxxxxf0ln3limln3lim)0(0220 xxxxxxxfxx2022-10-730)0(ln65)(xxxxxf33)(!31000ln)(xfxxxxxf )0(ln611)(xxxf33!3ln611000ln)(xxxxxxf 三阶呢？三阶呢？ln65limln65lim)0(00 xxxxxfxx 不存在不存在！2022-10-731.616421)(20432式式次次泰泰勒勒多多项项式式和和泰泰勒勒公公的的在在写写出出例例 xxxxxxf661421)1(f3224382)(xxxxf 27268)(xxxf xxf1446)(144)()4(xf0)()5(xf21)1(f70)1(f150)1(f144)1()4(f432)1(6)1(25)1(35)1(216)(xxxxxf解解
