1、2020湘教版七年级数学下册-4子目内容4.5.1垂线垂线 画框的边线，画框的边线，观察观察屋架的横梁与支撑梁等都相交成多少度的角？屋架的横梁与支撑梁等都相交成多少度的角？十字路口两条笔直的街道，十字路口两条笔直的街道，问题问题1：结论 两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时(易知其余易知其余三个角也是直角三个角也是直角)，这两条直线叫做这两条直线叫做互相垂直互相垂直，其中每一条直线叫做另一条的其中每一条直线叫做另一条的垂线垂线，它们的交点叫做它们的交点叫做垂足垂足.O垂直概念：垂直概念：垂直用符号垂直用符号“”表示，如图，表示，如图，AB与与CD
2、垂直垂直(O为垂足为垂足)，记做，记做ABCD，读做，读做AB垂直于垂直于CD.ACDO 符号语言：符号语言：因为因为AB CD 所以所以AOC=90 反之反之 因为因为AOC=90 所以所以ABCD问题问题2：（1）两条直线垂直和相交是什么关系？）两条直线垂直和相交是什么关系？（2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系 有有3种：相交，平行，垂直？种：相交，平行，垂直？垂直是相交的特殊情况垂直是相交的特殊情况 不能不能,平面内两条直线的位置有相交和平行平面内两条直线的位置有相交和平行两种关系两种关系问题问题2：（3）如何判定两条射线垂直？两条线段
3、呢？如何判定两条射线垂直？两条线段呢？（4）你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？两条线段垂直、两条射线垂直、线段与两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直直，都是指它们所在的直线垂直 两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足.如图如图 直线直线CD是是AB 的斜线，的斜线，同样直线同样直线 AB也是也是CD的斜线，的斜线，点点O是斜足是斜足.结论
4、(1)如图，在同一平面内，如果如图，在同一平面内，如果al，bl，那么，那么ab吗？吗？动脑筋动脑筋因为因为1=2=90，它们是同位角，它们是同位角，所以所以ab.问题问题3：追问：追问：你还能利用平行线的其它判定方法说明你还能利用平行线的其它判定方法说明ab吗？吗？结论结论 在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.(2)如图，设如图，设ab，la，那么，那么lb吗？吗？因为因为la，所以所以1=90.因为因为ab，所以所以2=1=90，从而从而lb.问题问题3：动脑筋动脑筋追问：追问：你还能利用平行线的其它性质说明你还能利用平行线的其它性质说明 lb
5、 吗？吗？结论结论 在平面内，如果一直线垂直于两平行线中的一条，那在平面内，如果一直线垂直于两平行线中的一条，那么这条直线必垂直于另一条么这条直线必垂直于另一条.举举例例例例1 在如图在如图3-86的简易屋架中，的简易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于都垂直于CG，若，若1=60，求，求2的度数的度数.解解因为因为BD，AE都垂直于都垂直于CG，所以所以 BDAE(在平面内，垂直于同一条直线的在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行两条直线平行).).从而从而 2=1=60(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等).).举举例例例例2 如图如图3-87，已知，已知CDAB，1=2，求求B
6、FE的度数的度数.解解因为因为1=2，所以所以EFCD(同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行).).又因为又因为CDAB，所以所以 EFAB(一直线若垂直于两平行线中的一条，一直线若垂直于两平行线中的一条，必垂直于另一条必垂直于另一条).).即即BFE=90.练习练习1.如图如图3-88，直线，直线AB，CD相交于相交于O，EOCD，BOE=60，求，求AOC的度数的度数.答：答：因为因为EOCD 所以所以EOD=90，又又BOE=60，所以所以BOD=90-BOE=30.所以所以AOC=BOD =30(对顶角相等对顶角相等).).O2.如图如图3-89，ABAD，CDAD，B=56，
7、求，求C.答：答：因为因为CDAD，ABAD，所以所以ABCD (在平面内垂直于同一条直线的两条直线平行在平面内垂直于同一条直线的两条直线平行).).所以所以B+C=180(同旁内角互补同旁内角互补).).已知已知B=56，所以所以C=180-56=124.子目内容4.5.2点到直线的距离点到直线的距离无数条无数条动脑筋动脑筋问题问题4：用三角尺或量角器画已知直线用三角尺或量角器画已知直线l l的垂线的垂线 （1）用三角尺或量角器画已知直线）用三角尺或量角器画已知直线l l的垂的垂 线，这样的垂线能画出几条？线，这样的垂线能画出几条？问题问题4：用三角尺或量角器画已知直线用三角尺或量角器画已知
8、直线l l的垂线的垂线（1）用三角尺或量角器画已知直线）用三角尺或量角器画已知直线l l的垂线，这的垂线，这样的垂线能画出几条？样的垂线能画出几条？（2）经过一点画已知直线）经过一点画已知直线l l的垂线，这样的垂线的垂线，这样的垂线能画出几条？能画出几条？经过一点画已知直线经过一点画已知直线l的垂线有几种情况？的垂线有几种情况？通过画图，你发现过一个点可以画几条直线通过画图，你发现过一个点可以画几条直线与已知直线垂直？与已知直线垂直？动脑筋动脑筋过一点过一点P一定有一条直线与直线一定有一条直线与直线l垂直垂直.问题问题5：平面内过一点平面内过一点P能够有两条或两条以上的直线与直线能够有两条或
9、两条以上的直线与直线l l垂直吗？垂直吗？假如过点假如过点P有一条直线有一条直线al，还有一条直线，还有一条直线b l，则，则ab，但是，但是a与与b有公共点有公共点P，这是不可能的这是不可能的动脑筋动脑筋结论结论垂线性质垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直已知直线垂直过点过点P画出射线画出射线AB或线段或线段AB的垂线的垂线练习练习如图，设如图，设PO垂直于直线垂直于直线l，O为垂足，线段为垂足，线段PO叫做叫做点点P到直线到直线l的垂线段的垂线段经过点经过点P的其他直线交的其他直线交l于于A，B，C，D,线段线段PA，PB，P
10、C，PD，都不是垂线段，称为斜线段都不是垂线段，称为斜线段动脑筋动脑筋问题问题6：(1)观察图中的线段，观察图中的线段，PA，PB，PC，PD，PO哪条线段最短哪条线段最短？垂线段垂线段PO最短最短 用圆规比较垂线段用圆规比较垂线段 PO和斜线段和斜线段 PA，PB，PC，PD的长度，的长度，可可知线段知线段PO最短最短问题问题6：(1)观察图中的线段，观察图中的线段，PA，PB，PC，PD，PO哪条线段最短？哪条线段最短？动脑筋动脑筋(2)你有什么办法来检验你的发现是否正确呢？你有什么办法来检验你的发现是否正确呢？结论结论垂线性质垂线性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中直线外一点与
11、直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短，垂线段最短.垂线段最短垂线段最短.或者简单地说成：或者简单地说成：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的点到直线的距离距离点到直线的距离：点到直线的距离：如图，垂线段如图，垂线段PO的长度叫做的长度叫做P点到直线点到直线l l的距离的距离.问题问题7：(1)你能量出点你能量出点P到直线到直线l 的距离吗？的距离吗？做一做做一做AP答：答：过过C引引l 的垂线，的垂线，Cl 设设D为垂足，为垂足，水泵房应建在水泵房应建在D处处.D做一做做一做问题问题7：(2)如图，某工厂要在河岸如图，某工厂要在河岸l上建
12、一个水泵房引水到上建一个水泵房引水到C处，处，问建在哪个位置上才最节省水管？为什么？问建在哪个位置上才最节省水管？为什么？我们可以把点到直线的距离转化为点到点的距离我们可以把点到直线的距离转化为点到点的距离问题问题8：你能列举生活中类似的实例吗？你能列举生活中类似的实例吗？说一说说一说 体育课上测量同学们体育课上测量同学们的跳远成绩的跳远成绩举举例例例例 如图，在三角形如图，在三角形ABC中，中，ABC=90，BDAC,垂足为垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.求：（求：（1）点）点A到直线到直线BC的距离；的距离；（2）点）点B到直线到直线AC的距离的距离解解(1)因为因为ABC=9
13、0，所以所以ABBC所以线段所以线段AB即为点即为点A到直线到直线BC的垂的垂线段线段.因为因为AB=5,所以所以点点A到直线到直线BC的距离为的距离为5（2）因为）因为BDAC 所以线段所以线段BD的长度的长度点点B到直线到直线AC的距离的距离11=22AB BCAC BD因因为为 5 1260=1313AB BCBDAC所所以以 所以点所以点B到直线到直线AC的距离为的距离为6013小结与复习小结与复习1.什么是垂直？垂直和相交有什么关系？什么是垂直？垂直和相交有什么关系？我们是如何刻画两直线垂直的位置关系的？我们是如何刻画两直线垂直的位置关系的？2.垂线有哪些性质？垂线有哪些性质？例例1
14、（2011河北）如图，河北）如图，1+2=（）A.60 B.90C.110 D.180 B中考中考 试题试题例例2（2012 山东）如图，山东）如图，AB CD,DBBC,1=40 则则2 的度数是（的度数是（）A.40 B.50C.60 D.140 B解答解答:因为因为AB CD,DBBC,1=40,所以所以3=1=40.因为因为DBBC,所以所以2=90-40=50.例例3（2012 宜昌）如图，将三角尺与直尺贴在一起宜昌）如图，将三角尺与直尺贴在一起,使三角尺的直角的顶点使三角尺的直角的顶点 C(ACB=90)在直尺的一边上在直尺的一边上,若若1=60,则则2 的度数等于（的度数等于（）
15、A.75 B.60C.45 D.30 D解答解答:根据题意得根据题意得,ADC=BEF=90 因为因为1=60,所以所以A=90-1=30.因为因为ACB=90,所以所以B=90-A=60.所以所以2=90-B=30 例例4（2012 吉林）如图，在吉林）如图，在RtABC中，中，C=90，D为边为边CA延长线上的一点延长线上的一点,DE AB,ADE=42,则则B 的大小等于（的大小等于（）A.42 B.45C.48 D.58 C解答解答:因为因为DE AB,ADE=42,所以所以CAB=42.因为因为C=90,所以所以B=90-42=48.例例4（2012 衡阳）如图，直线衡阳）如图，直线a 直线直线c，直线，直线b 直线直线c，若，若1=70,则则2=（）A.70 B.90C.110 D.80 A解答解答:因为直线因为直线a 直线直线c，直线，直线b 直线直线c所以所以ab.所以所以1=3.因为因为3=2所以所以 2=1=70.
